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Université Mohammed Premier
Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Oujda Filière STPI (1ère année) Prof. R. MALEK 2018/2019Cours dElectrostatique
Filière STPI
Pr. Rachid MALEK
I- Le champ électrostatique
1. Notions générales
a. Phénomènes électrostatiques b. Structure de la matière c. Les divers états de la matière d. Matériaux isolants et conducteurs2. Force et champ électrostatiques
a. La force de Coulomb b. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle c. Champ créé par un ensemble de charges d. Propriétés de symétrie du champ électrostatique II- Lois fondamentales de lélectrostatique1. Flux du champ électrostatique
a. Notion dangle solide b. Le Théorème de Gauss c. Exemples dapplication d. Lignes de champ2. Circulation du champ électrostatique
a. Notion de potentiel électrostatique b. Potentiel créé par une charge ponctuelle c. Potentiel créé par un ensemble de charges3. Le dipôle électrostatique
a. Potentiel créé par deux charges électriques b. Champ électrostatique créé à grande distance c. Complément : développements multipolairesIII- Conducteurs en équilibre
1. Conducteurs isolés
a. Notion déquilibre électrostatique b. Quelques propriétés des conducteurs en équilibre c. Capacité dun conducteur isolé d. Superposition détats déquilibre2. Systèmes de conducteurs en équilibre
a. Théorème des éléments correspondants b. Phénomène dinfluence électrostatique c. Coefficients dinfluence électrostatique3. Le condensateur
a. Condensation de lélectricité b. Capacités de quelques condensateurs simples c. Association de condensateursIV- Energie et actions électrostatiques
1. Energie potentielle électrostatique
a. Energie électrostatique dune charge ponctuelle b. Energie électrostatique dun ensemble de charges ponctuelles c. Energie électrostatique de conducteurs en équilibre d. Quelques exemples2. Actions électrostatiques sur un conducteur en équilibre
a. Notions de mécanique du solide b. Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé c. Calcul des actions électrostatiques à partir de lénergie d. Exemple du condensateur e. Exemple du dipôleFormulaire d'électrostatique
Champ électrostatique
Créé par une particule:
EMq ru()=1 4 02Créé par n charges ponctuelles:
EMq ru i i i in 1 4 02 1 Créé par une distribution continue:EM dEM dEMdq ru() () ()== avec 1 4 02Distributions de charges :
linéique: dq = dl surfacique: dq = d S volumique: dq = d 2 3 VPotentiel électrostatique
Créé par une charge ponctuelle
VMq rV()=+1 4 00Créé par n charges ponctuelles
VMq rV i i in 1 4 010Créé par une distribution continue
VMdq rV()=+ 1 4 00Conducteurs en équilibre
Champ à proximité (Th de Coulomb) :
En=0Capacité d'un conducteur isolé :
CQ V= où Q = d S 2Surface
Coefficients dinfluence (n conducteurs) :
QCV CC
iijj jn ij ji 1 avecCapacité dun condensateur
CQUUVV==Š où
12Propriétés fondamentales
Flux (Th. de Gauss) :
EdSQ Sint 0Circulation :
VA VB Edl E V
AB gradEnergie potentielle électrostatique
D'une charge ponctuelle :
WqV eD'un conducteur isolé :
WQVCV e ==1 2122
D'un système de n conducteurs :
WQV e in ii 1 2 1Force électrostatique
Sur une particule chargée (Coulomb)
FqE=Sur un conducteur en équilibre
FdF EdSPdSn
Sext SS 222Expression via l'énergie (condensateur)
FWUC e grad grad 2 2Dipôle électrostatique
Moment dipolaire électrique :
pqd=Potentiel à grande distance :
VMpu()=
4 02Energie électrostatique
WpE eextForce et moment électrostatiques
Fgrad p E p E
ext ext = et 1Chapitre I- Le champ électrostatique
I.1- Notions générales
I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électriqueQuiconque a déjà vécu lexpérience désagréable dune " décharge électrique » lors dun
contact avec un corps étranger connaît un effet électrostatique. Une autre manifestation delélectricité statique consiste en lattraction de petits corps légers (bouts de papier par ex.)
avec des corps frottés (règles, pour continuer sur le même ex.). Ce type de phénomène est
même rapporté par Thalès de Milet, aux alentours de 600 av. J.-C. : il avait observé lensemble de ces manifestations, provient de " elektron », qui signifie ambre en grec.Létude des phénomènes électriques sest continuée jusquau XIXème siècle, où sest
élaborée la théorie unifiée des phénomènes électriques et magnétiques, appelée
électromagnétisme. Cest à cette époque que le mot " statique » est apparu pour désigner les
phénomènes faisant lobjet de ce cours. Nous verrons plus loin, lors du cours sur le champmagnétique, pourquoi il en est ainsi. On se contentera pour linstant de prendre lhabitude de
parler de phénomènes électrostatiques. Pour les mettre en évidence et pour apporter une interprétation cohérente, regardons deux expériences simples.Expérience 1 :
Prenons une boule (faite de sureau ou de polystyrène, par ex.) et suspendons-la par un fil.Ensuite on approche une tige, de verre ou dambre, après lavoir frottée préalablement : les
deux tiges la boule.Par contre, si lon approche simultanément les deux tiges côte à côte, rien ne se passe.Verre ou Ambre++++++++++
Verre Ambre Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteusedélectricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires (car capables
dannuler les effets de lautre). On a ainsi qualifié arbitrairement de lélectricité
contenue dans le verre (frotté avec de la soie), et de celle portée par lambre (idem, ou encore du plastique frotté avec de la fourrure). 2Expérience 2 :
Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en contact avec une tige frottée(elles sont " électrisées »), et suspendons-les côte à côte. Si elles ont été mises en contact
toutes deux avec une tige de même matériau, elles se .Par contre, si elles ont été mises en contact avec des tiges de matériau différent (ex. A avec du
verre frotté et B avec de lambre frotté), alors elles . Si, du fait de leur attraction, elles viennent à se toucher, on observe quelles perdent alors toute électrisation : elles prennent une position déquilibre vis-à-vis du leur poids. Cette expérience est assez riche. On peut tout dabord en conclure que deux corps portant uneélectricité de même nature (soit positive, soit négative) se repoussent, tandis quils sattirent
sils portent des électricités contraires.Mais cette expérience nous montre également que cette électricité est capable, non seulement
dagir à distance (répulsion ou attraction), mais également de se déplacer dun corps à un
autre. Mais alors quest-ce qui se déplace ?Si lon suspend les boules à une balance, même très précise, nous sommes incapables de
détecter la moindre variation de poids entre le début de lexpérience et le moment où elles
sont électrisées. Pourtant, le fait quil soit nécessaire quil y ait un contact entre deux
matériaux pour que lélectricité puisse passer de lun à lautre, semble indiquer que cette
électricité est portée par de la matière.On explique lensemble des effets délectricité statique par lexistence, au sein de la matière,
de particules portant une charge électrique q, positive ou négative, et libres de se déplacer.
Cest Robert A. Millikan qui a vérifié pour la première fois en 1909, grâce à une expérience
mettant en jeu des gouttes dhuile, le fait que toute charge électrique Q est quantifiée, cest à
dire quelle existe seulement sous forme de multiples dune charge élémentaire e, indivisible
(Q=Ne). La particule portant cette charge élémentaire est appelée lélectron.Dans le système dunités international, lunité de la charge électrique est le Coulomb
(symbole C). Des phénomènes délectricité statique mettent en jeu des nanocoulombs (nC)
voire des microcoulombs (µC), tandis que lon peut rencontrer des charges de lordre duCoulomb en électrocinétique.
3 Lensemble des expériences de la physique (et en particulier celles décrites plus haut) nepeuvent sexpliquer que si la charge électrique élémentaire est un invariant : on ne peut ni la
détruire ni lengendrer, et ceci est valable quel que soit le référentiel. Cest ce que lon décrit
par la notion dinvariance relativiste de la charge électrique.I.1.2- Structure de la matière
La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée datomes. Ceux-ci
sont eux-mêmes constitués dun noyau (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel" gravite » une sorte de nuage composé délectrons et portant lessentiel de la masse. Ces
électrons se repoussent les uns les autres mais restent confinés autour du noyau car celui-cipossède une charge électrique positive qui les attire. On attribue cette charge positive à des
particules appelées protons. Cependant, le noyau atomique ne pourrait rester stable sil nétait
composé que de protons : ceux-ci ont en effet tendance à se repousser mutuellement. Il existe donc une autre sorte de particules, les neutrons (découverts en 1932 par Chadwick) portant une charge électrique nulle. Les particules constituant le noyau atomique sont appelées les nucléons. Dans le tableau de Mendeleev tout élément chimique X est représenté par la notation . Le nombre A est appelé le nombre de masse : cest le nombre total de nucléons (protons et neutrons). Le nombre Z est appelé le nombre atomique et est le nombre total de protons constituant le noyau. La charge électrique nucléaire totale est donc Q=+Ze, le cortègeélectronique possédant alors une charge totale Q=-Ze, assurant ainsi la neutralité électrique
dun atome.Exemple : le Carbone
612possède 12 nucléons, dont 6 protons (donc 6 électrons) et 6 neutrons, le Cuivre 2963
63 nucléons dont 29 protons (donc 29 électrons) et 34 neutrons.
Latome de cuivre existe aussi sous la forme
2964, cest à dire avec 35 neutrons au lieu de
34 : cest ce quon appelle un isotope.
Valeurs des charges électriques et des masses des constituants atomiques dans le SystèmeInternational :
Electron: q =-e =-1.602 10 C m =9.109 10 kg
Proton: q = +e =1.602 10 C m =1.672 10 kg
Neutron: q =0 C m =1.674 10 kg e-19 e-31 p -19 p-27 nn -27 Comme on peut le remarquer, même une charge de lordre du Coulomb (ce qui est énorme), correspondant à environ 10 18 électrons, ne produit quun accroissement de poids de lordre de 10 12- kg : cest effectivement imperceptible. Si les électrons sont bien des particules quasi-ponctuelles, les neutrons et les protons en revanche ont une taille non nulle (inférieure à 10 15- m). Il savère quils sont eux-mêmesconstitués de quarks, qui sont aujourdhui, avec les électrons, les vraies briques élémentaires
de la matière. Les protons ainsi que les neutrons forment ainsi une classe de particules appelée
les baryons. A lheure actuelle, lunivers (ou plutôt lensemble reconnu de ses manifestations) est descriptible à laide de quatre forces fondamentales : 41) La force nucléaire faible, responsable de la cohésion des baryons (quarks-quarks);
2) La force nucléaire forte, responsable de la cohésion du noyau (protons-neutrons) ;
3) La force électromagnétique, responsable de la cohésion de latome (électrons-nucléons) ;
4) La force gravitationnelle, responsable de la structure à grande échelle de lunivers
(cohésion des corps astrophysiques, cohésion des systèmes planétaires, des galaxies, des amas galactiques, moteur de la cosmologie).I.1.3- Les divers états de la matière
La cohésion de la matière est due à linteraction entre ses constituants, interaction mettant en
jeu une énergie de liaison. Or, chaque constituant (atome ou molécule) possède lui-même de
lénergie cinétique liée à sa température (énergie dagitation thermique). La rigidité dun état
particulier de la matière dépend donc de limportance relative de ces deux énergies (cinétique
et liaison).Si lon prend un gaz constitué datomes (ou de molécules) neutres, alors linteraction entre
deux constituants est assez faible : elle ne se produit que lorsquils sont assez proches pourquil y ait répulsion entre les électrons périphériques. Ainsi, chaque atome est relativement
libre de se déplacer dans lespace, au gré des " collisions » avec dautres atomes.Si lon refroidit ce gaz, certaines liaisons électrostatiques qui étaient négligeables auparavant
peuvent devenir opérantes et lon obtient alors un liquide. Si lon chauffe ce gaz, de lénergie
est fournie à ses constituants, les molécules se brisent et, si lon continue à chauffer, on peut
même libérer un ou plusieurs électrons périphériques des atomes, produisant ainsi un gaz
dions ou plasma. Dans un solide au contraire, les liaisons entre chaque atome sont beaucoup plus fortes et les atomes ne bougent quasiment pas, formant un cristal. La force de cette cohésion dépendbeaucoup dun solide à lautre. Ainsi, elle est très puissante si les atomes mettent en commun
leur cortège électronique (liaison covalente comme pour le diamant et liaison métallique, comme pour le Cuivre) et beaucoup plus faible si les cortèges électroniques de chaque atome restent intouchés (liaison ionique, comme pour le sel).Enfin, la matière molle (caoutchouc, plastiques, textiles, mousses) possède une hiérarchie du
point de vue de sa cohésion : elle est constituée déléments " solides » (macromolécules liées
par des liaisons covalentes) interagissant entre eux par des liaisons ioniques (électrostatiques).
I.1.4- Matériaux isolants et matériaux conducteursUn matériau est ainsi constitué dun grand nombre de charges électriques, mais celles-ci sont
toutes compensées (même nombre délectrons et de protons). Aux températures usuelles, la
matière est électriquement neutre. En conséquence, lorsque des effets délectricité statique se
produisent, cela signifie quil y a eu un déplacement de charges, dun matériau vers un autre :
cest ce que lon appelle lélectrisation dun corps. Ce sont ces charges, en excès ou en
manque, en tout cas non compensées, qui sont responsables des effets électriques sur ce corps (ex : baguette frottée). 5Un matériau est dit conducteur parfait si, lorsquil devient électrisé, les porteurs de charge
non compensés peuvent se déplacer librement dans tout le volume occupé par le matériau. Ce sera un isolant (ou diélectrique) parfait si les porteurs de charge non compensés nepeuvent se déplacer librement et restent localisés à lendroit où ils ont été déposés.
Un matériau quelconque se situe évidemment quelque part entre ces deux états extrêmes.Cette propriété de conduction de lélectricité sera abordée plus loin, dans le Chapitre sur
lélectrocinétique.Refaisons une expérience délectricité statique : prenons une baguette métallique par la main
et frottons-la avec un chiffon. Cela ne marchera pas, la baguette ne sera pas électrisée.Pourquoi ? Etant nous-mêmes dassez bons conducteurs, les charges électriques arrachées au
chiffon et transférées à la baguette sont ensuite transférées sur nous et lon ne verra plus
deffet électrique particulier au niveau de la baguette. Pour que cette expérience marche, il est
nécessaire disoler électriquement la baguette (en la tenant avec un matériau diélectrique).
I.2- Force et champ électrostatiques
I.2.1- La force de Coulomb
Charles Auguste de Coulomb (1736-1806) a effectué une série de mesures (à laide dune
balance de torsion) qui lui ont permis de déterminer avec un certain degré de précision les propriétés de la force électrostatique exercée par une charge ponctuelle 1 sur une autre charge ponctuelle 21) La force est radiale, cest à dire dirigée selon la droite qui joint les deux charges ;
2) Elle est proportionnelle au produit des charges : attractive si elles sont de signe opposé,
répulsive sinon ;3) Enfin, elle varie comme linverse du carré de la distance entre les deux charges.
Lexpression mathématique moderne de la force de Coulomb et traduisant les propriétés ci-
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