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Corrig´es d"exercices pour le TD 3
N"h´esitez pas `a relever les ´eventuelles fautes dans ce document ! Soit (E,d) un espace vectoriel muni d"une distance v´erifiant Pour tousx,y?Eetλ?R, d(λx,λy) =|λ|d(x,y).Pour tousx,y,z?E,d(x+z,y+z) =d(x,y).
Montrer quedprovient d"une norme, c"est-`a-dire qu"il existe une normeNsurEtelle que pour tous x,y?E,d(x,y) =N(x-y). Solution .Si une telle norme existe, elle est n´ecessairement d´efinieparN(x) =N(x-0) =d(x,0).
Montrons donc queN:x?→d(x,0) est une norme surEtelle que pour tousx,y?E, d(x,y) =N(x-y).Tout d"abord cette derni`ere propri´et´e est v´erifi´ee carpour tousx,y?E, en utilisant (ii) on obtient
N(x-y) =d(x-y,0) =d(x-y+y,y) =d(x,y).
Il reste seulement `a v´erifier queNest une norme : - Homog´en´eit´e : pour toutx?Eetλ?R, N(λx) =d(λx,0) =d(λx,λ0) =|λ|d(x,0) d"apr`es (i) =|λ|N(x). - D´efinie positivit´e : pour toutx?E, N(x) =d(x,0)≥0, etN(x) = 0?d(x,0) = 0?x= 0 cardest une distance.
- In´egalit´e triangulaire: soientxetydeux ´el´ements deE. En utilisant l"in´egalit´e triangulaire pourd,
=d(x,0) +d(y,0) d"apr`es (ii) =N(x) +N(y), ce qui prouve le r´esultat.Nest donc bien une norme qui a les propri´et´es demand´ees. Pour (x,y)?R2, on poseN(x,y) = max{|x|,|y|,|x-y|}. Montrer queNest une norme surR2. Dessiner la boule unit´e associ´ee.Solution .
- Homog´en´eit´e : pour tout (x,y)?R2etλ?R, N(λ(x,y)) =N(λx,λy) = max{|λx|,|λy|,|λx-λy|} = max{|λ||x|,|λ||y|,|λ||x-y|} =|λ|max{|x|,|y|,|x-y|} =|λ|N(x,y). - D´efinie positivit´e : pour tout (x,y)?R2, N(x,y)≥0, etN(x,y) = 0? |x|=|y|=|x-y|= 0?(x,y) = (0,0).
1 - In´egalit´e triangulaire: soient (x,y) et (z,t) deux ´el´ements deR2. On a N((x,y) + (z,t)) =N(x+z,y+t) = max{|x+z|,|y+t|,|(x+z)-(y+t)|} = max{|x+z|,|y+t|,|(x-y) + (z-t)|} =N(x,y) +N(z,t), ce qui prouve le r´esultat.Pour dessiner la boule unit´e, on remarque que
et l"on repr´esente donc facilement la boule unit´e pourN.Montrer que tout parall´elogramme non aplati centr´e en 0 est la boule unit´e d"une norme surR2.
Solution .Les droites portant deux cˆot´es oppos´es du parall´elogramme ´etant parall`eles non confondues,
il existe des r´eelsa,b,c,dtels quead-bc?= 0 et tels que les quatre droites portant les cˆot´es ont pour
´equation cart´esienne?ax+by=±1,
cx+dy=±1.On montre alors facilement (comme pour la norme infini, ou la norme de l"exercice pr´ec´edent) que
N(x,y) = max{|ax+by|,|cx+dy|}d´efinit une norme surR2dont notre parall´elogramme est la bouleunit´e. La propri´et´e la moins ´evidente `a v´erifier est lad´efinie positivit´e, et pour cela on remarque que
N(x,y) = 0??ax+by= 0,
cx+dy= 0.?(x,y) = (0,0), car le d´eterminant de ce syst`eme estad-bc?= 0.Montrer que dans la d´efinition d"une normeNsur un espace vectorielE, on peut remplacer l"in´egalit´e
et soitλ?[0,1]. En utilisant l"in´egalit´e triangulaire et l"homog´en´eit´e deN, on obtient
convexe.alors l"in´egalit´e triangulaire est ´evidemment v´erifi´ee. Sixetysont tous deux non nuls, posons
z=x+yN(x) +N(y).
z=N(x)N(x) +N(y)xN(x)+N(y)N(x) +N(y)yN(y).
Sachant que
x 2Normeslp
Pourx= (x1,...,xn)?Rn,etp?]0,+∞[, on pose
?x?p=? n? i=0|xi|p? 1/p ,et?x?∞= max{|xi|;i= 1,...,n}.2.Montrer que? · ?pn"est pas une norme pourp?]0,1[.
3.Montrer que? · ?pest une norme pourp?[1,∞].
4.Montrer que pour toutx?Rn,?x?p→ ?x?∞quandp→+∞.
Solution .
1.CommeBpest sym´etrique par rapport aux deux axes de coordonn´ees, il suffit de tracer le graphe de
x?→(1-xp)1/ppourx?[0,1] puis de compl´eter par sym´etrie. On obtient ainsi le borddeBp.2.Les pointsx= (1,0,...,0) ety= (0,1,0,...,0) v´erifient
?x+y?p= 21 p>2 =?x?p+?y?psip?]0,1[.L"in´egalit´e triangulaire n"´etant pas v´erifi´ee,? · ?pn"est pas une norme.
3.Toutes les propri´et´es sont ´evidentes sauf l"in´egalit´e triangulaire pourp?[1,+∞[. En utilisant
l"exercice pr´ec´edent, on voit qu"il suffit de v´erifier queBpest convexe. Soient doncx,y?Bpetλ?[0,1].
On remarque que la fonctiont?→tpest convexe sur [0,+∞[ car sa d´eriv´ee est croissante. On a donc
?λx+ (1-λ)y?pp=n? i=0(λ|xi|+ (1-λ)|yi|)p n? i=0λ|xi|p+ (1-λ)|yi|p Ainsiλx+ (1-λ)y?Bp, qui est donc convexe. On a donc bien montr´e que? · ?pest une norme.4.On remarque que pour toutx?Rn,
ce qui prouve le r´esultat lorsquep→+∞.NormesLp.
Pourf?E=C0([a,b];R) etp?[1,+∞[, on pose
?f?p=? ?b a |f(x)|pdx? 1/p ,et?f?∞= max{|f(x)|;x?[a,b]}.1.Montrer que? · ?pest une norme pourp?[1,∞].
2.Montrer que pour toutf?E,?f?p→ ?f?∞quandp→+∞.
Solution .
1.C"est exactement la mˆeme preuve que dans l"exercice pr´ec´edent : toutes les propri´et´es sont ´evidentes
sauf l"in´egalit´e triangulaire pourp?[1,+∞[. En utilisant l"exercice pr´ec´edent, on voit qu"il suffit de
3 la fonctiont?→tpest convexe sur [0,+∞[ car sa d´eriv´ee est croissante. On a donc ?λf+ (1-λ)g?pp=? b a b a (λ|f(x)|+ (1-λ)|g(x)|)pdx b aλ|f(x)|p+ (1-λ)|g(x)|pdx
Ainsiλf+ (1-λ)g?Bp, qui est donc convexe. On a donc bien montr´e que? · ?pest une norme.2.Soitx0?[a,b] tel que?f?∞=|f(x0)|. Soitε?]0,|f(x0)|[ fix´e. Par continuit´e de|f|, il existe
δ?]0,(b-a)/2[ tel que pour toutx?[a,b]∩]x0-δ,x0+δ[, Alors ?b a |f(x)|pdx≥? [a,b]∩]x0-δ,x0+δ[|f(x)|pdx≥δ(|f(x0)| -ε)p. Ainsi Puisqued1/p→1 quandp→+∞pour toutd >0, il existep0>0 tel que pour toutp > p0, On reconnaˆıt la d´efinition de la limite, et le r´esultat suit.Soit (E,? · ?) unR-espace vectoriel norm´e, etKune partie convexe born´ee sym´etrique par rapport `a 0
telle que 0?◦K.On d´efinit pourx?E, g(x) = inf?λ >0;x
λ?K?
1.Montrer quegest bien d´efinie, et que c"est une norme surE.
Solution .
1.Montrons quegest bien d´efinie: pour toutx?E,x/λ→0 lorsqueλ→+∞. Comme 0 appartient `a
l"int´erieur deK, pourλassez grandx/λ?K.Donc{λ >0;x/λ?K}est non vide. Cette partie deR
´etant de plus minor´ee, elle admet une borne inf´erieure. Montrons queg(tx) =|t|g(x) pour toutx?Eett?R. Sit >0 d"abord, ceci revient `a montrer que infλ >0;tx
λ?K?
=tinf?λ >0;xλ?K?
Six/λ?K,alors (tx)/(tλ)?K, et donc
infλ >0;tx
λ?K?
et donc inf?λ >0;x
λ?K?
En passant `a l"inf `a droite surλ, on obtient l"in´egalit´e≥. Sit= 0, c"est ´evident, carg(0) = 0.Enfin sit <0,on remarque que infλ >0;tx
λ?K?
= inf?λ >0;-txλ?K?
4 carKest sym´etrique par rapport `a 0. Or-t >0, donc d"apr`es le cas "t >0 ", on a g(tx) = inf?λ >0;tx
λ?K?
=-tinf?λ >0;xλ?K?
=|t|inf?λ >0;xλ?K?
=|t|g(x).Sig(x) = 0,alors il existe une suite (λn) de r´eels strictement positifs convergeant vers 0 et telleque
pour toutn,x/λn?K.Alors six´etait non nul, la suite (x/λn) ne serait pas born´ee, car lorsquen→+∞,
la norme ?xλn????
=?x?λn→+∞. Pourtant l"ensembleKest born´e et contient tous lesx/λn, ce qui est absurde. Doncx= 0.Montrons enfin l"in´egalit´e triangulaire: soientx,y?E. Soientλ >0 etμ >0 tels quex/λ?Ket
y/μ?K.Alors x+ySachant que
λ+μ+μλ+μ= 1
et que chacun de ces nombres est positif, on en d´eduit que x+y est une combinaison convexe dex/λ?Ket dey/μ?K. Par convexit´e deK, on a donc x+y En passant `a l"inf `a droite surλpuisμ, on en d´eduit que ce qui prouve l"in´egalit´e triangulaire. g. Montrons que{x?E;g(x)<1} ?K: soitx?Etel queg(x)<1.Alors il existeλ?]0,1[ tel que x/λ?K.En ´ecrivant x=λxλ+ (1-λ)0,
on voit quexest combinaison convexe de deux ´el´ements deKqui est convexe, et donc appartient `aK.
Montrons enfin que
◦K={x?E;g(x)<1}. Soitxun point int´erieur `aK. Alors, commex/(1-ε)→x lorsqueε→0+, on en d´eduit que pour toutε >0 assez petit, x1-ε?K.
quex/(1-ε)?K.De plus comme 0 est int´erieur `aK, il exister >0 tel queB(0,r)?K.MontronsqueB(x,εr)?K, ce qui prouvera quexest int´erieur `aK. Soity?B(x,εr),que l"on ´ecrit sous la
formey=x+zo`u?z?< εr.Alorsz/εest de norme strictement inf´erieure `ar, et donc appartient `a
B(0,r)?K.De plus,x/(1-ε)?K, et
y=x+z= (1-ε)x1-ε+εzε
est donc combinaison convexe de deux ´el´ements deKqui est convexe; par cons´equenty?K, et ce pour
touty?B(x,εr).Ceci ach`eve la d´emonstration. 5SoitE=C0([0,1],R). On d´efinit pourf?E,
N1(f) =?
1 0 x|f(x)|dx N2(f) =?
?1 0 x|f(x)|2dx? 1/21.V´erifier queN1etN2d´efinissent des normes surE.
⎷2N2(f) (c"est-`a-dire queN2domineN1).3.Montrer qu"en revancheN1ne domine pasN2, et donc que ces deux normes ne sont pas ´equivalentes
(Consid´ererfnd´efinie parfn(x) =n-n2xsix?[0,1/n],fn(x) = 0 six?[1/n,1]).Solution .
1.Cas deN1: pour v´erifier queN1(f) = 0 impliquef= 0, on remarque que la fonctionx?→x|f(x)|est
continue et positive sur [0,1], d"int´egrale nulle, elle doit donc ˆetre nulle. On en d´eduit quef(x) = 0 pour
toutx?]0,1],et par continuit´e enx= 0,f(x) = 0 pour toutx?[0,1].Le reste des propri´et´es d"une
norme est facile `a v´erifier, comme dans le cas de la normeL1.Cas deN2: l"application
(f,g)?E2?→ ?f,g?:=? 1 0 xf(x)g(x)dxest un produit scalaire surE, car c"est une application bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive (la preuve
de la d´efinie positivit´e ´etant similaire `a la preuve pr´ec´edente pourN1). On sait alors que l"application
f?E?→? ?f,f? est une norme. Or cette application n"est autre queN2, car ?f,f?=? ?1 0 x|f(x)|2dx? 1/2 N2est donc une norme surE.
2.Soitf?Eune fonction quelconque, etg?Ela fonction constante ´egale `a 1. D"apr`es l"in´egalit´e de
Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire?·,·?, appliqu´ee `a|f|etg, on a N1(f) =?
1 0 ?1 0 xdx?1/2??1
0 x|f(x)|2dx? 1/2 =1 ⎷2N2(f) ce qui montre queN2domineN1.3.Consid´erons la suite de fonctions (fn) d´efinie par l"´enonc´e. Alors un calcul facile montre que
N1(fn) =1
6netN2(fn) =1⎷12.
Il ne peut donc pas exister de constanteC >0 telle que NLes deux normes ne sont pas ´equivalentes.
D´eterminer si les applications lin´eaires suivantes sontcontinues et si oui calculer leur norme (l∞est muni
de le norme infini):1.φ: (un)n?N?l∞?→u0?R(Rest muni de la valeur absolue).
2.ψ: (un)n?N?l∞?→(un+1)n?N?l∞.
6Solution .1.Pour toute suite (un)?l∞,
et la suite (un) constante ´egale `a 1 est telle que|u0|=?(un)?∞. Ceci montre que l"application lin´eaireφ
est continue de norme 1.2.Pour toute suite (un)?l∞, et pour toutp?N,
et donc, en passant au sup `a gauche pourp?N,on obtientDe plus la suite (un) constante ´egale `a 1 est telle que?ψ((un))?∞=?(un)?∞. Ceci montre que
l"application lin´eaireψest continue de norme 1.D´eterminer si les applications lin´eaires suivantes sontcontinues, et si oui calculer leur norme:
1.T:?(C0([0,1],R),? · ?∞)→(R,| · |)
f?→f(0)2.L:?(C0([0,1],R),? · ?1)→(R,| · |)
f?→f(0)Solution .
1.Pour toutf?E,
v´erifie|T(f)|= 1 =?f?∞. Ceci montre que|||T|||= 1.2.Consid´erons la suite de fonctions (fn)n≥1d´efinie par
f n(x) =?1-nxsix?[0,1/n]
0 six?[1/n,1].
Alors il est clair que?fn?1= 1/2n→0 lorsquentend vers +∞, de sorte que (fn) converge vers la
fonction nullef, alors queL(fn) = 1 ne tend pas versL(f) = 0.L"applicationLn"est donc pas continue.