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Licence Mathématiques
Exercices Espaces Vectoriels Normés et
Topologie
TD LM2
Pascal Lefèvre
Il est important que chercher les exercices à l"avance pour profiter réellement des TD. Par ailleurs, une banque de sujets d"examen est disponible sur mon site personnel http://lefevre.perso.math.cnrs.fr/ ExercicesEspaces Vectoriels Normés et Topologie.2
1 Décrassage: suites numériques.
Exercice 1.1
Soient deux suitespanqnPNetpbnqnPNder0;1stelles que le produitanbnconverge vers1. Montrer que chacune des suites converge vers1.Indication : on pourra raisonner en termes de sous-suites ou trouver un argument très élémentaire (niveau première).
Exercice 1.2
1) SoitPR. Montrer que la suite
e in nPNconverge si et seulement si0r2s.
2) SoitPR. On veut montrer que la suiteu
n n¥1diverge oùunnieilnpnq.
On suppose le contraire.
a) De quelle forme est nécessairementen considérant la sous-suiteu 2m mPN? b) Même question avec la sous-suiteu 3m mPN. c) Conclure.
Exercice 1.3
Théorème de Cesàro.
SoitpanqnPNune suite de complexes. On lui associe la suite suivante définie pour toutnPN par n1n1n k0a k:
1) On suppose quepanqnPNest convergente vers`. Montrer quep
nqnPNconverge aussi vers`.
2) Donner un exemple où la suitepanqnPNdiverge et la suitep
nqnPNconverge.
3) On suppose quepanqnPNdiverge vers8. Montrer quep
nqnPNdiverge aussi vers8.
4) On suppose que la suitepanqnPNest croissante.
Montrer que la suitepanqnPNconverge si et seulement si la suitep nqnPNconverge.
5)(généralisation: Cesàro à poids)
SoitpnqnPNune suite de réels strictement positifs. A toute suitepanqnPNde complexes, on associe ~an° n k0kak° n k0k: Montrer l"équivalence entre les deux assertions suivantes : (i) La série 8¸ k0 kdiverge. (ii) Pour toutepanqnPNconvergente versa, la suitep~anqnPNassociée converge aussi versa.
Exercice 1.4
Soitz0PC. On définit la suitepznqnPNpar la relation de récurrence:zn1zn |zn|2
1) On suppose quez0PR: que se passe-t-il ?
2) Dans la suitez0RRet on écritz00ei0où0¡0et0Ps ;0rYs0;r.
(i) Expliciter les relations de récurrence pour les module et argument dezn. (ii) Conclure sur la convergence et déterminer la limite depznqnPN. ExercicesEspaces Vectoriels Normés et Topologie.3
Exercice 1.5
SoitpxnqnPNune suite bornée de réels.
1) Montrer que les suitespsnqnPNetpinqnPNsuivantes sont bien définies :
s nsup k¥nx kininfk¥nxk:
2) Montrer que ces deux suites sont convergentes. On notelimxnla limite depsnqnPNetlimx
n la limite depinqnPN.
3) Montrer quelimxnest la plus grande valeur d"adhérence depxnqnPNet quelimx
nest la plus petite valeur d"adhérence depxnqnPN.
4) Etablir le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles.
5) Montrer quepxnqnPNconverge si et seulement silimx
nlimxn.
Exercice 1.6
1) Soienta bdeux réels.
On veut montrer qu"il existekPZetnPNtels quelnpnq 2kP ra;bs. a) Justifier qu"il existe un entiern0¥1tel que:@n¥n0;lnpn1q lnpnq ba. b) Conclure en choisissantkPZtel quelnn
02k a.
2) PournPN,n¥1, on pose :unsinplnpnqq.
(i) Montrer que cette suite est dense dansr1;1s. (ii) Est-ce que cette suite converge ?
Exercice 1.7
Sous-groupes additifs deR.On étudie les sous-groupes depR;q. SoitHun sous-groupe additif deRnon réduit à0,c"est à dire:Hcontient0(mais pas seulement) et pour tousx;yPH, on a encorexyPH.
On poseinftxPH|x¡0u. Justifier l"existence de.
1) On veut montrer que si¡0,HZ.
i) En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, montrer quePH. En déduire
ZH.
2) Montrer que si0,Hest dense dansR.
3) Soienta;bPR, montrer queaZbZest dense dansRssiab
RQ.
4) Montrer quecospZqest dense dansr1;1s.
5) Soienta;bPR, montrer queaNbZest dense dansRsiab
RQet quesinpNqest dense
dansr1;1s. ExercicesEspaces Vectoriels Normés et Topologie.4
2 Normes - Convergence de suites dans un E.V.N.
Exercice 2.1
SoitE;}:}unpKqespace vectoriel normé. Justifier que si deux suitesx n nPNetx1n nPNconvergent vers`et`1, alors pour tous;1PK, la suitex n1x1n nPNconverge vers`1`1.
Exercice 2.2
Montrer que les boules ouvertes et fermées dans un espace vectoriel normé sont convexes.
Exercice 2.3
Justifier que les exemples du cours sont bien des normes.
Exercice 2.4
SoitE;}:}unpKqespace vectoriel normé non trivial (non réduit àt0u. Montrer que pour toutaPEet toutr¥0, la sphèreSpa;rqest non vide.
Exercice 2.5
SoitPun polynôme (non nul!). On considèreN:Cpr0;1sq ÝÑRl"application définie par
Npfq sup
tPr0;1s|Pptq:fptq|pourfPCpr0;1sq.
Justifier queNest une norme surCpr0;1sq.
Exercice 2.6
Justifier les résultats sur le produit dans le cours.
Exercice 2.7
On se place dansMdpCql"espace des matrices carrées d"ordredà coefficients complexes.
1) SoientA
n nPNune suiteMdpCqetAPMdpCq.
Montrer queA
n le termepi;jqdeAnconverge vers le termepi;jqdeA.
2) SoientA
n nPNetB n nPNdeux suitesMdpCqconvergentes resp. versAetBdansMdpCq.
Montrer queA
nBn nconverge versAB.
Exercice 2.8
SoitAPMdpCq. On suppose que la suiteAn
nconverge vers une matriceP. Montrer queP est une matrice de projection.
Exercice 2.9
SoitAPMdpCq, antisymétrique. On suppose que la suiteAn nconverge vers une matriceL.
Que peut-on dire deL?
ExercicesEspaces Vectoriels Normés et Topologie.5
Exercice 2.10
SoitAPMdpCq. On noteAnIA Ann¸
k0A kpourn¥1.
1) On suppose que la suite
A n n¥1converge vers une matriceB. Montrer queIAest inversible et queB pIAq1.
2) Montrer que la réciproque est fausse: trouver un exemple oùA
n n¥1diverge etIA inversible.Indication: chercher un exemple dans un cadre très très simple...
Exercice 2.11
(à nouveau Cesàro) SoientpE;}:}qunpKqespace vectoriel normé etpxnqnPNune suite deE. On lui associe la suite suivante définie pour toutnPNpar n1n1n k0x k: On suppose quepxnqnPNest convergente vers`PE. Montrer quep nqnPNconverge aussi vers`.
Exercice 2.12
On considère
Cpr0;1sq ÝÑR
fÞÝÑ }f}1» 1 0 |fptq|dt
1) Justifier que c"est une norme surCpr0;1sq.
2) Calculer}Xn}1oùnPN. Est-ce queXn
nPNconverge dansCpr0;1sq;}:}1?
3) Justifier que} }1et} }8ne sont pas équivalentes surCpr0;1sq.
4) Est-ce que ce résultat remet en cause le théorème du cours ? (lequel d"ailleurs?)
5) On veut montrer quepn1qXn
nPNdiverge dansCpr0;1sq;}:}1. a) On suppose que cette suite converge versf. (i) Pour toutaP r0;1r, justifier que a 0 1 0 |fptq pn1qtn|dt (ii) En déduire quef0. b) Conclure.
Exercice 2.13
SurEC1pr0;1sq, on considère}f} sup
tPr0;1s|f1ptq|pourfPE. Montrer que ce n"est pas une norme: quelle propriété est mise en défaut ? Est-ce que toutesquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
Topologie des espaces normés - Xiffr