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BCPST 1.2Lycee Pierre de Fermat
Annee 2010-2011ToulouseChapitre 5
Espaces probablis
es finis1 Experience aleatoire1.1 Denition
On designe parexperience aleatoiretoute experience dont le resultat est soumis au hasard. Toutes les issues
possibles sont connuesa priorimais l'experience peut conduire a des resultats dierents quand on la repete de la
m^eme maniere.L'une des experiences aleatoires les plus simples est de lancer une piece de monnaie en l'air et d'observer sa face
visible lorsqu'elle retombe. Cette experience n'a que deux issues :pileouface. Generalement, nous tirons a pile
ou face pour departager deux adversaires car nous sommes convaincus d'avoir autant de chances de gagner que de
perdre. Mais que signie cette phrase? Lui donner un sens est justement l'objectif de la theorie des probabilites.
Parmi les experiences aleatoires
bien encore des situations de la vie courante (le temps exact d'attente d'un metro n'est pas previsible...). Dans
l'esprit du joueur ou de l'usager des transports urbains naissent alors des questions du type : quelles sont mes
chances de gagner avec ces cartes? Vais-je attendre le metro moins de 5 minutes? La theorie des probabilites
permet de repondre a ces questions en quantiant ces chances de succes par un nombre reel compris entre 0 et 1.
1.2 Univers
La premiere etape dans l'etude d'une experience aleatoire en mathematiques consiste a preciser l'ensemble des
resultats possibles.Denition 1.On appelleuniversassocie a une experience aleatoireEl'ensemble des tous les resultats possibles
(appeles aussieventualites) deE. Traditionnellement, l'univers est noteCette annee, on se limitera aux experiences comportant un nombre nis d'eventualites et, dans la suite,
designera un ensemble ni non vide.Exemple 2.
Experience 1On eectue un lancer de pile ou face :
=fP;Fg.Experience 2On lance un de a6faces :
Experience 3On lance un de et on regarde la parite : Experience 4On lance deux des et on regarde la somme : Experience 5On lance trois fois un de successivement et on note les resultats obtenus : =J1;6K3. Experience 6On choisit au hasard5cartes dans un jeu de32cartes. est l'ensemble des parties a5elements de l'ensemble des32cartes. 1.3Evenements
Lorsque l'on eectue une experience aleatoire, certains faits lies a l'experience peuvent se produire ou non : on les
appelleevenements. Denition 3.On appelleevenementassocie a une experience aleatoireEd'univers toute partie deExemple 4.
Experience 2On lance un de a6faces.
L'ensemble vide?est appeleevenement impossible.
L'univers
est appeleevenement certain.Les singletonsf!g,!2
, sont appelesevenements elementaires. L'ensemble des evenements associes a une experience d'univers est doncP( On pourra ainsi utiliser le langage de la theorie des ensembles a bon escient. Remarque 6.On confond souvent l'evenement en tant que partie de et saphrase descriptive(traduction enfrancais), que l'on notera entre guillemets. On utilisera alors plut^ot le langage de la logique :Phrase descriptivePartie de
correspondante
SiA\B=?, on dit queAetBsontincompatibles.
SiAB, on dit que l'evenementAimpliquel'evenementB.Exemple 8.
Experience 2On lance un de a6faces. Avec les m^emes notations que dans l'exemple??:BimpliqueC.
BetDsont incompatibles.
Denition 9.SoitEune experience aleatoire d'universOn appellesysteme complet d'evenements de
toute famille d'evenements(A1;:::;Am)(m2N) veriant : les evenements sont deux a deux incompatibles :8i;j2J1;mK;(i6=j=)Ai\Aj=?) m[ i=1A i=On note alors
=mG i=1A i.Exemple 10.
Experience 2On lance un de a6faces. Alors
=J1;6K=AtD=f2;4;6g t f1;3;5g.Experience 4On lance deux des a6faces. Alors
=J1;6K2. Les evenementsA=2 Espaces probabilises nis
2.1 Espace probabilisable
Denition 11.Soit
un ensemble ni etP( )l'ensembles des parties deLe couple(
;P( ))est appeleespace probabilisable (ni).Remarque 12.P(
)verie plusieurs proprietes fondamentales, qui garantissent l'usage des notions ensemblistes usuelles : 2P(8 A2P(
);A2P(Sik>1est un entier etA1;:::;Ak2P(
), alorsk[ i=1A k2P(2.2 Probabilite
Denition 13.Soit(
;P( ))un espace probabilisable ni.On appelleprobabilite sur (
;P( ))ou simplementprobabilite sur , toute applicationP:P( )![0;1] satisfaisant : P( ) = 1,i.e.la probabilite de l'evenement certain est egale a1;8 (A;B)2P(
A\B=?=)P(A[B) =P(A)+P(B)
,i.e.la probabilite de l'union de deux evenements incompatibles est egale a la somme des probabilites de ces deux evenements.Le triplet(
;P( );P)est appeleespace probabilise ni, et pour toute partieA2P( ),P(A)est appeleeproba- bilite de l'evenementA.On a alors :
Corollaire 14.Soit(
;P( );P)un espace probabilise ni, etA;B2P( )deux evenements. Alors :P(A) = 1P(A);
P(?) = 0,i.e.la probabilite de l'evenement impossible vaut0;SiAB, alorsP(A)6P(B).
P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B).
Demonstration.Laissee en exercice.La generalisation a la reunion denevenements (n>2) imite ce qu'on a fait a propos des ensembles nis :
Theoreme 15(Crible de Poincare).
Soit( ;P( );P)un espace probabilise ni. Sin>1et siA1,A2,...,Ansont des evenements, alorsP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai) X16i X 16i + (1)n+1P n\ i=1A i! ;ou avec une autre ecriture : P n[ i=1A i! =nX k=10 (1)k+1X 16i1 k\ j=1A ij1 A1 A Remarque 16.Si les evenementsA1,A2,...,Ansont deux a deux incompatibles, on aP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai): Exercice 17.
Formule du crible pourn= 3:
Formule du crible pourn= 4:
Exercice 18.On dispose de trois bo^tes numerotees de1a3et de cinq jetons numerotes de1a5. On range au
hasard les jetons dans les bo^tes. Quelle est la probabilite qu'aucune bo^te ne soit vide? 2.3 Probabilite et evenements elementaires
SiA2P(
) est un evenement, on peut toujours exprimerP(A) en fonction des probabilites des evenements elementaires. Exemple 19.
Experience 2On lance un de a6faces. On a
=J1;6K. AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g).
Plus generalement :
Proposition 20.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et siPest une probabilite sur , alors : 8 k2J1;nK;P(f!ig)>0.
8 A2P(
);P(A) =X kj!k2AP(f!kg): En particulier :nX
k=1P(f!kg) = 1. Reciproquement :
Proposition 21.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et sip1;:::;pnsont des reels positifs tels quenP k=1p k= 1, alors il existe une et une seule probabilitePsur telle queP(f!kg) =pkpour toutk2J1;nK. 2.4 Equiprobabilite
Exemple 22.Considerons l'experience aleatoire qui consiste en un pile ou face. L'univers associe est alors
=fP;Fg. Et la probabilite associee est denie parP(P) =petP(F) = 1p, ou06p61(l'existence et l'unicite d'une telle probabilite est assuree par le paragraphe precedent). De maniere intuitive : si la piece est equilibree, alorsp= 1p=1 2. si la piece est truquee, alorsp6=1 2. Par exemple, si la piece a deux faces pile, alorsp= 1et1q= 0: il
n'y a aucune chance de faire face! Une hypothese classique en theorie des probabilites consiste donc a supposer que tous les resultats d'une experience
aleatoire sontequiprobables, c'est a dire qu'ils ont la m^eme probabilite de realisation. Sous cette hypothese, le calcul
de la probabilite d'un evenement se ramene a un probleme de denombrement : il sut en eet de calculer le nombre
d'issues de l'experience realisant cet evenement. Denition 23.Soit(
;P( ))un espace probabilisable ni. On appelleprobabilite uniformel'applicationPude P( )dans[0;1]denie par : 8A2P( );Pu(A) =card(A)card( On dit aussi que l'experience a lieu en situation d'equiprobabilite. Quand le contexte d'equiprobabilite sera clair et sans ambigu te, on notera simplementPau lieu dePu. Exercice 24.Montrer qu'il s'agit bien d'une probabilite! Quand est-on en situation d'equiprobabilite?
Soitf!gun evenement elementaire. La denition de la probabilite uniforme nous donne P uf!g) =card(f!g)card =1card Cette probabilite sera donc utilisee a chaque fois que l'on sera en presence d'une experience ou les eventualites
ont toutes les m^emes chances de se realiser. Dans un enonce, cela se traduira souvent (attention aux pieges!) par
les expressionspour le tirage dans une urne,pour un jeu de pile ou
face ou encorepour un lancer de de... Exercice 25.
Experience 2On lance un de a6faces. On a :
=J1;6K. Supposons le de equilibre.
AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g) =36
=12 Supposons maintenant que le de soit truque de facon a ce que chaque face ait une probabilite d'apparition
proportionnelle au numero qu'elle porte. Alors :
P(f1g) =P(f2g) =P(f3g) =P(f4g) =P(f5g) =P(f6g) =
P(A) =P(f2;4;6g) =
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16i + (1)n+1P n\ i=1A i! ;ou avec une autre ecriture : P n[ i=1A i! =nX k=10 (1)k+1X 16i1 k\ j=1A ij1 A1 A Remarque 16.Si les evenementsA1,A2,...,Ansont deux a deux incompatibles, on aP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai): Exercice 17.
Formule du crible pourn= 3:
Formule du crible pourn= 4:
Exercice 18.On dispose de trois bo^tes numerotees de1a3et de cinq jetons numerotes de1a5. On range au
hasard les jetons dans les bo^tes. Quelle est la probabilite qu'aucune bo^te ne soit vide? 2.3 Probabilite et evenements elementaires
SiA2P(
) est un evenement, on peut toujours exprimerP(A) en fonction des probabilites des evenements elementaires. Exemple 19.
Experience 2On lance un de a6faces. On a
=J1;6K. AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g).
Plus generalement :
Proposition 20.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et siPest une probabilite sur , alors : 8 k2J1;nK;P(f!ig)>0.
8 A2P(
);P(A) =X kj!k2AP(f!kg): En particulier :nX
k=1P(f!kg) = 1. Reciproquement :
Proposition 21.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et sip1;:::;pnsont des reels positifs tels quenP k=1p k= 1, alors il existe une et une seule probabilitePsur telle queP(f!kg) =pkpour toutk2J1;nK. 2.4 Equiprobabilite
Exemple 22.Considerons l'experience aleatoire qui consiste en un pile ou face. L'univers associe est alors
=fP;Fg. Et la probabilite associee est denie parP(P) =petP(F) = 1p, ou06p61(l'existence et l'unicite d'une telle probabilite est assuree par le paragraphe precedent). De maniere intuitive : si la piece est equilibree, alorsp= 1p=1 2. si la piece est truquee, alorsp6=1 2. Par exemple, si la piece a deux faces pile, alorsp= 1et1q= 0: il
n'y a aucune chance de faire face! Une hypothese classique en theorie des probabilites consiste donc a supposer que tous les resultats d'une experience
aleatoire sontequiprobables, c'est a dire qu'ils ont la m^eme probabilite de realisation. Sous cette hypothese, le calcul
de la probabilite d'un evenement se ramene a un probleme de denombrement : il sut en eet de calculer le nombre
d'issues de l'experience realisant cet evenement. Denition 23.Soit(
;P( ))un espace probabilisable ni. On appelleprobabilite uniformel'applicationPude P( )dans[0;1]denie par : 8A2P( );Pu(A) =card(A)card( On dit aussi que l'experience a lieu en situation d'equiprobabilite. Quand le contexte d'equiprobabilite sera clair et sans ambigu te, on notera simplementPau lieu dePu. Exercice 24.Montrer qu'il s'agit bien d'une probabilite! Quand est-on en situation d'equiprobabilite?
Soitf!gun evenement elementaire. La denition de la probabilite uniforme nous donne P uf!g) =card(f!g)card =1card Cette probabilite sera donc utilisee a chaque fois que l'on sera en presence d'une experience ou les eventualites
ont toutes les m^emes chances de se realiser. Dans un enonce, cela se traduira souvent (attention aux pieges!) par
les expressionspour le tirage dans une urne,pour un jeu de pile ou
face ou encorepour un lancer de de... Exercice 25.
Experience 2On lance un de a6faces. On a :
=J1;6K. Supposons le de equilibre.
AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g) =36
=12 Supposons maintenant que le de soit truque de facon a ce que chaque face ait une probabilite d'apparition
proportionnelle au numero qu'elle porte. Alors :
P(f1g) =P(f2g) =P(f3g) =P(f4g) =P(f5g) =P(f6g) =
P(A) =P(f2;4;6g) =
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16i1 k\ j=1A ij1 A1 A Remarque 16.Si les evenementsA1,A2,...,Ansont deux a deux incompatibles, on aP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai): Exercice 17.
Formule du crible pourn= 3:
Formule du crible pourn= 4:
Exercice 18.On dispose de trois bo^tes numerotees de1a3et de cinq jetons numerotes de1a5. On range au
hasard les jetons dans les bo^tes. Quelle est la probabilite qu'aucune bo^te ne soit vide? 2.3 Probabilite et evenements elementaires
SiA2P(
) est un evenement, on peut toujours exprimerP(A) en fonction des probabilites des evenements elementaires. Exemple 19.
Experience 2On lance un de a6faces. On a
=J1;6K. AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g).
Plus generalement :
Proposition 20.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et siPest une probabilite sur , alors : 8 k2J1;nK;P(f!ig)>0.
8 A2P(
);P(A) =X kj!k2AP(f!kg): En particulier :nX
k=1P(f!kg) = 1. Reciproquement :
Proposition 21.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et sip1;:::;pnsont des reels positifs tels quenP k=1p k= 1, alors il existe une et une seule probabilitePsur telle queP(f!kg) =pkpour toutk2J1;nK. 2.4 Equiprobabilite
Exemple 22.Considerons l'experience aleatoire qui consiste en un pile ou face. L'univers associe est alors
=fP;Fg. Et la probabilite associee est denie parP(P) =petP(F) = 1p, ou06p61(l'existence et l'unicite d'une telle probabilite est assuree par le paragraphe precedent). De maniere intuitive : si la piece est equilibree, alorsp= 1p=1 2. si la piece est truquee, alorsp6=1 2. Par exemple, si la piece a deux faces pile, alorsp= 1et1q= 0: il
n'y a aucune chance de faire face! Une hypothese classique en theorie des probabilites consiste donc a supposer que tous les resultats d'une experience
aleatoire sontequiprobables, c'est a dire qu'ils ont la m^eme probabilite de realisation. Sous cette hypothese, le calcul
de la probabilite d'un evenement se ramene a un probleme de denombrement : il sut en eet de calculer le nombre
d'issues de l'experience realisant cet evenement. Denition 23.Soit(
;P( ))un espace probabilisable ni. On appelleprobabilite uniformel'applicationPude P( )dans[0;1]denie par : 8A2P( );Pu(A) =card(A)card( On dit aussi que l'experience a lieu en situation d'equiprobabilite. Quand le contexte d'equiprobabilite sera clair et sans ambigu te, on notera simplementPau lieu dePu. Exercice 24.Montrer qu'il s'agit bien d'une probabilite! Quand est-on en situation d'equiprobabilite?
Soitf!gun evenement elementaire. La denition de la probabilite uniforme nous donne P uf!g) =card(f!g)card =1card Cette probabilite sera donc utilisee a chaque fois que l'on sera en presence d'une experience ou les eventualites
ont toutes les m^emes chances de se realiser. Dans un enonce, cela se traduira souvent (attention aux pieges!) par
les expressionspour le tirage dans une urne,pour un jeu de pile ou
face ou encorepour un lancer de de... Exercice 25.
Experience 2On lance un de a6faces. On a :
=J1;6K. Supposons le de equilibre.
AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g) =36
=12 Supposons maintenant que le de soit truque de facon a ce que chaque face ait une probabilite d'apparition
proportionnelle au numero qu'elle porte. Alors :
P(f1g) =P(f2g) =P(f3g) =P(f4g) =P(f5g) =P(f6g) =
P(A) =P(f2;4;6g) =
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Exercice 17.
Formule du crible pourn= 3:
Formule du crible pourn= 4:
Exercice 18.On dispose de trois bo^tes numerotees de1a3et de cinq jetons numerotes de1a5. On range au
hasard les jetons dans les bo^tes. Quelle est la probabilite qu'aucune bo^te ne soit vide?2.3 Probabilite et evenements elementaires
SiA2P(
) est un evenement, on peut toujours exprimerP(A) en fonction des probabilites des evenements elementaires.Exemple 19.
Experience 2On lance un de a6faces. On a
=J1;6K.AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g).
Plus generalement :
Proposition 20.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et siPest une probabilite sur , alors :8 k2J1;nK;P(f!ig)>0.
8 A2P(
);P(A) =X kj!k2AP(f!kg):En particulier :nX
k=1P(f!kg) = 1.Reciproquement :
Proposition 21.Si
=f!1;:::;!ngest ni, et sip1;:::;pnsont des reels positifs tels quenP k=1p k= 1, alors il existe une et une seule probabilitePsur telle queP(f!kg) =pkpour toutk2J1;nK. 2.4Equiprobabilite
Exemple 22.Considerons l'experience aleatoire qui consiste en un pile ou face. L'univers associe est alors
=fP;Fg. Et la probabilite associee est denie parP(P) =petP(F) = 1p, ou06p61(l'existence et l'unicite d'une telle probabilite est assuree par le paragraphe precedent). De maniere intuitive : si la piece est equilibree, alorsp= 1p=1 2. si la piece est truquee, alorsp6=12. Par exemple, si la piece a deux faces pile, alorsp= 1et1q= 0: il
n'y a aucune chance de faire face!Une hypothese classique en theorie des probabilites consiste donc a supposer que tous les resultats d'une experience
aleatoire sontequiprobables, c'est a dire qu'ils ont la m^eme probabilite de realisation. Sous cette hypothese, le calcul
de la probabilite d'un evenement se ramene a un probleme de denombrement : il sut en eet de calculer le nombre
d'issues de l'experience realisant cet evenement.Denition 23.Soit(
;P( ))un espace probabilisable ni. On appelleprobabilite uniformel'applicationPude P( )dans[0;1]denie par : 8A2P( );Pu(A) =card(A)card( On dit aussi que l'experience a lieu en situation d'equiprobabilite. Quand le contexte d'equiprobabilite sera clair et sans ambigu te, on notera simplementPau lieu dePu. Exercice 24.Montrer qu'il s'agit bien d'une probabilite!Quand est-on en situation d'equiprobabilite?
Soitf!gun evenement elementaire. La denition de la probabilite uniforme nous donne P uf!g) =card(f!g)card =1cardCette probabilite sera donc utilisee a chaque fois que l'on sera en presence d'une experience ou les eventualites
ont toutes les m^emes chances de se realiser. Dans un enonce, cela se traduira souvent (attention aux pieges!) par
les expressions
Exercice 25.
Experience 2On lance un de a6faces. On a :
=J1;6K.Supposons le de equilibre.
AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g) =36
=12Supposons maintenant que le de soit truque de facon a ce que chaque face ait une probabilite d'apparition
proportionnelle au numero qu'elle porte.