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Leçon n°11 : L'effet Doppler PHR 004 L'effet Doppler est le décalage de fréquence d'une onde acoustique ou électromagnétique La formule générale est :

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c'est la loi relativiste de composition des vitesses (écrite avec des unités telles que c= 1 ) o En 1907, 1?, von LAUE avait remarqué que la formule de Fresnel est

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IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

L"EFFET DOPPLER

J. Roussel

Département Physique

Ecole Nationale Supérieure de Chimie de Rennes

Avril 2014Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

1Effet Doppler Classique

Effet dû au mouvement de la source

Effet dû au mouvement du récepteur

Formulation générale

2Effet Doppler Relativiste

Formulation générale

Effet Doppler longitudinal

Effet Doppler transversal

3Applications

Le radar Doppler

Elargissement des raies spectrales

Applications en astrophysiqueNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Introduction

Mai 1842

Christian Doppler p résenteà l"A cadémieRo yaledes Sciences de Bohème un mémoire sur la couleur des étoiles et tente d"expliquer l"influence de la vitesse d"une source lumineuse sur sa couleur perçue. 1845
Le chimiste et météo rologueBuys Ballot démontre expérimentalement le phénomène prévu par Doppler pour les ondes acoustiques. 1848
Hypp olyteFizeau met en évidence l"effet Doppler p ourla lumière. C"est pourquoi on parle de l"effet Doppler-Fizeau. 1871
Première mesure d"un décalage s pectrald"une étoile (Sirius) par l"astronome W. Huggins. Il détermine la vitesse de Sirius par rapport au Soleil : 45 km/s.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Position du problème

Dans un référentiel donné, unesource Sémet une onde à une

fréquence0et se déplace à la vitesse!vs.Unrécepteur Rse déplace à la vitesse!vret reçoit ces ondes avec

une fréquence0.On noteracla vitesse de propagation des ondes.On notera !ule vecteur unitaire dirigéde la source vers le récepteur.L"approximation classique consiste à supposer quevr3:108et v s3:108.! u! vsSource S! vrRécepteur RNotes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement de la sourceAnalyse simple La source est en mouvement et la source est fixe. On considère que la source émet des impulsions.R! vsS(t1)d

1S(t1+T0)!

vsd

2Signal émission réception

1er bip instantt1t

01=t1+d1=c2ème bipt

2=t1+T0t

02=t2+d2=cNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement de la sourceAnalyse simple

La période des bips recus est donc

0=t02t01=T0+d2d1c

Or on a

(d1=SR(t1) d

2=SR(t2)'SR(t1) + (t2t1)dSRdt

De plus la vitesse de la source s"écrit

vs=d!RSdt=d!SRdt=)!vs!u=d!SR!udt=dSRdt

Ainsi on a

T 0=T0

1!vs!uc

=)0=01!vs!ucNotes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement de la sourceCas particuliers

0=01!vs!uc

(1)Si la source se dirige vers le récepteur : vs!u=vs=)0=01vsc La fréquence perçue est plus grande quand la source se rapprocheSi la source s"éloigne du récepteur : vs!u=vs=)0=01+vsc La fréquence perçue est plus petite quand la source s"éloigneNotes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement du récepteurAnalyse simple La source est maintenant fixe et le récepteur en mouvement.

SR(t01)!

vs! vsR! vsR(t02)Signal émission réception

1er bip instantt1t01=t1+SR(t01)=c2ème bipt

2=t1+T0t

02=t2+SR(t02)=cNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement du récepteurAnalyse simple

La période des bips recus est donc

0=t02t01=T0+SR(t02)SR(t01)c

=T0+(t02t01)dSRdtc

Par ailleurs,

dSRdt=d!SR!udt=!vr!uAinsi on a T

0=T01!vr!uc

=)0=0

1!vr!uc

Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet dû au mouvement du récepteurCas particuliers 0=0

1!vr!uc

Si le récepteur se dirige vers la source :

vr!u=vr=)0=0 1+vrc La fréquence perçue est plus grande quand le récepteur se rapproche de la sourceSi le récepteur s"éloigne de la source : vr!u=vr=)0=0 1vrc La fréquence perçue est plus petite quand la source s"éloigneNotes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Formulation généraleFormulation générale

Enoncé

Soit une source en mouvement à la vitessevsdans un référentiel émettant une onde de fréquence0. Un récepteur en mouvement à la vitessevrmesurera une fréquence0donnée par

0=01!vr!uc

1!vs!uc

Si les vitesses sont faibles devantc, on pourra retenir 0=0

1+!vs=r!uc

où !vs=rdésigne la vitesse relative de la source par rapport au récepteur.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Formulation généraleDécalage spectral

Le décalage spectral est le décalage relatif en fréquence ou en longueur d"onde. Pour les petites vitesses on a : 00 0=

0=!vs=r!uc

Conséquences :

Décalage spectral maximum quand

!vs=rk!u.Pas de décalage spectrale transversal :=0 quand!vs=r?!u.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

La lumière est une onde qui se propage à la

vitessec=3:108m:s1dans le vide quel que soit le référentiel dans lequel on fait la mesure. Ce fait érigé en principe est a l"origine de la théorie de la Relativité Restreinte (1905). Dans ce cadre, un changement de référentiel s"accompagne d"une modification des échelles de temps et d"espace. C"est dans ce cadre qu"il faut traiter la lumière et les effets associés tel que l"effet Doppler.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Formulation générale

Considérons une source lumineuse se déplaçant à la vitessevset émettant une onde de fréquence0. Un récepteur se déplace à la vitesse v

ret mesure une fréquence0.Dans le cas où les vitesses sont faibles devant c, on se ramène à la

formule de l"effet Doppler classique : 0=0

1+!vs=r!uc

Das le cas où les vitesses sont relativistes, c"est-à-dire non négligeables devant c, on doit utiliser la formule relativiste. Il s"agit de la formule précédente multipliée par le facteur relativiste défini par =1p1(vs=r=c)21On écrira donc

Formule Doppler-Fizeau

0= 0

1+!vs=r!ucNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet Doppler longitudinalEffet Doppler longitudinal Si la source se déplace en direction du récepteur la fréquence augmente : 0= 0

1+vs=rc

Si la source se déplace en direction opposée au récepteur, la fréquence diminue : 0= 0

1vs=rc

On retrouve les formules classiques quandvs=rc.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Effet Doppler transversalEffet Doppler transversal La relativité prévoit un phénomène nouveau! sivs=r?!u, on a 0= 0> 0 Effet qui n"a pas d"équivalent classique. L"effet est cependant très difficile

à mettre en évidence.Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Le radar DopplerPrincipe

SM RS" v2 !v! uUne source émet une onde électromagnétique en direction d"une surface réfléchissante.La lumière réfléchie semble provenir de S".

Si M se déplace à la vitessevc, S" va à la vitesse 2v.D"après la loi de l"effet Doppler, on a donc

0=0

1+2vcosc

Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Le radar DopplerRadar de contrôle routier ou vélocimètre

Figure:

Rada rfixe

Fréquence utilisée :0=24;125GHz(ondes centimétriques).Décalage Doppler : v30m:s1=) 02vc

2:107Radar fixe :=25°.Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Le radar Doppler

Mesure du décalage par effet de battement : On mélange l"onde émise avec l"onde reçue décalée en fréquence : cos(20t) +cos(20t) =2cos(20t)cos(t) L"onde résultante est modulée en amplitude à la fréquence : b= =02vcosc kHzS

1: Signal de fréquence0t

2: Signal de fréquence0=0+ t=)Signal mélangéS1+S2t

1=Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Elargissement des raies spectralesSpectre d"émission atomique

Figure:

Le sp ectred"émission d "ungaz est comme une ca rted"identité Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Elargissement des raies spectralesLargeur naturelle d"une raie spectrale

Le profil d"une raie spectrale est donné par

la courbe de Lorentz.Lalargeur naturelleest la largeur à mi-hauteur de la raie spectrale.Elle est liée à la durée de vie du niveau excitéviala relation d"incertitude d"Heinsenberg :

E=~=)=121=2Ordre de grandeur108s,

1=210 MHz.1=2=2FréquenceIntensitéI() =Imax2

2+(0)2Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Elargissement des raies spectralesAgitation moléculaire Dans un gaz de température non nulle, les molécules ont des vitesses aléatoirement distribuées qui respectent la loi de Maxwell-Boltzmann

N(v) =N(0)emv22kBTaveckB=R=Na=1;38:1023J:K1

Par effet Doppler ces atomes émettent une onde qui sera reçue par un observateur fixe avec une fréquence décalée =0(1v=c) =)v=c0 0 Or, l"intensité lumineuse émise à la fréquenceest proportionnelle au nombre d"atomes ayant la vitessev. Ainsi on trouve

I() =Imaxemc2(0)22kBT20Notes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Elargissement des raies spectralesIntensité spectrale

Profil gaussien centré en0et d"écart-type:

I =Imaxe(0)222

Largeur à mi-hauteur :

1=2=p8ln2=0r8ln2kBTmc

D"où

1=2 0=1=2

0=r8ln2kBTmc

21=2=p8ln2FréquenceIntensitéraie à 0 K

raie élargie par effet DopplerNotes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Elargissement des raies spectralesExemples

Transition atomique du laser rouge He-Ne (T=400 K et m=20 uma) :

0=632nm=)1=2=2pmet1=2=1500MHzRaie H

du spectre solaire (T=5700 K etm=1 uma) :

0=656nm=)1=2=30pmet1=2=25GHzNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Applications en astrophysiqueCe que l"on pense avant 1929 L"univers est à grande échelle homogène et isotrope (principe cosmologique).L"univers est statique.

1916 : Pour que ses équations de la relativité générale aboutissent à

un univers statique, Einstein introduit une constante :la constante cosmologique.La plus grande bêtisede sa vie selon lui. R 12 gRg =8Gc

4TNotes

IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Applications en astrophysiqueLoi de Hubble

1929 : Hubble observe des Céphéides dans le nuage de Magellan. Il déduit

leur distancedgrâce à la relation période-luminosité établie par Leavitt.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications

Applications en astrophysiqueLoi de Hubble

Il mesure la vitesse de ces étoiles par décalage Doppler z=00 0=vrc oùvrest la vitesse radiale d"éloignement c"est-à-dire la vitesse de la source projetée sur la ligne de visée. Plus les étoiles s"éloignent plus

le spectre stellaire se décale vers le rouge (redshift).Hubble trouve une relation linéaire entre vitesse et distance

v=H0davecH0=400km:s1:Mpc À l"époque la constante de Hubble est mal estimée car les étoiles observées sont trop proches. A l"heure actuelle on estime la constante de Hubble à H

0=728km:s1:Mpc1

avec 1 Mpc = 1 Mégaparsec = 3,26.10

6al.La loi de Hubble exprime que l"univers est en expansion, ce qui laisse

penser qu"il a eu une origine qu"on appelle le big-bang.Notes IntroductionEffet Doppler ClassiqueEffet Doppler RelativisteApplications Applications en astrophysiqueExemple en radioastronomie En radioastronomie, une raie une raie spectrale est très souvent observée : c"est la raie hyperfine à 21 cm de l"hydrogène neutre. =21cmet0=1420;4MHz Exemple :Raie HI émise par la galaxie UGC 11707.! S(Jy) !(MHz) v(km.s !1 Figure4.9-Si gnalHiobservéendirectiond elagalaxi eUGC11707avecleradiotélescopede

140pi eds(43mdediamètre )duNRA OàG reenBank (VirginieOccidentale).

Ons upposequelegazHiestther malisé,desortequelatempérature cinétiq ueTdum ilieuest

égaleàlatempéra tur ed"excit ationT

x del atransi tionhyperfine,qu"onnommedanscecas précis températuredespinetqu "onnoteT s àT s danslafo rmuledonna ntlecoe!cientd"abso rptionmonochromatique K c 2 8"! 3 0 A ulquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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L"EFFET DOPPLER

J. Roussel

Département Physique

Ecole Nationale Supérieure de Chimie de Rennes

Avril 2014Notes

1Effet Doppler Classique

Effet dû au mouvement de la source

Effet dû au mouvement du récepteur

Formulation générale

2Effet Doppler Relativiste

Formulation générale

Effet Doppler longitudinal

Effet Doppler transversal

3Applications

Le radar Doppler

Elargissement des raies spectrales

Applications en astrophysiqueNotes

Introduction

Mai 1842

Position du problème

1S(t1+T0)!

2Signal émission réception

1er bip instantt1t

01=t1+d1=c2ème bipt

2=t1+T0t

02=t2+d2=cNotes

La période des bips recus est donc

0=t02t01=T0+d2d1c

Or on a

2=SR(t2)'SR(t1) + (t2t1)dSRdt

De plus la vitesse de la source s"écrit

Ainsi on a

1!vs!uc

0=01!vs!uc

SR(t01)!

1er bip instantt1t01=t1+SR(t01)=c2ème bipt

2=t1+T0t

02=t2+SR(t02)=cNotes

La période des bips recus est donc

0=t02t01=T0+SR(t02)SR(t01)c

Par ailleurs,

0=T01!vr!uc

1!vr!uc

1!vr!uc

Si le récepteur se dirige vers la source :

Enoncé

0=01!vr!uc

1!vs!uc

1+!vs=r!uc

Formulation généraleDécalage spectral

0=!vs=r!uc

Conséquences :

Décalage spectral maximum quand

La lumière est une onde qui se propage à la

Formulation générale

1+!vs=r!uc

Formule Doppler-Fizeau

1+!vs=r!ucNotes

1+vs=rc

1vs=rc

à mettre en évidence.Notes

Le radar DopplerPrincipe

1+2vcosc

Figure:

Rada rfixe

2:107Radar fixe :=25°.Notes

Le radar Doppler

1: Signal de fréquence0t

2: Signal de fréquence0=0+ t=)Signal mélangéS1+S2t

1=Notes

Figure:

Le profil d"une raie spectrale est donné par

E=~=)=121=2Ordre de grandeur108s,

1=210 MHz.1=2=2FréquenceIntensitéI() =Imax2

2+(0)2Notes

N(v) =N(0)emv22kBTaveckB=R=Na=1;38:1023J:K1

I() =Imaxemc2(0)22kBT20Notes

Profil gaussien centré en0et d"écart-type:

Largeur à mi-hauteur :