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2014-2015Logique

Raisonnement par l"absurde

Pour prouver qu"une proposition P est vraie, on suppose que Pest fausse et on aboutit à une contradiction.

Exemple 1

Démontrons par l"absurde que 0 n"a pas d"inverse.

On suppose que 0 a un inversea, alorsa×0 = 1.

Or, 0×a= 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde.

Donc 0 n"a pas d"inverse.

Exemple 2

Démontrons par l"absurde que : pour tout nombre réelx?=-2, on ax+ 1x+ 2?= 1. On suppose qu"il existe un nombre réelx?=-2 tel quex+ 1 x+ 2= 1.

Pour tout réelx?=-2,x+ 2

x+ 1= 1??x+ 2 =x+ 1??2 = 1, ce qui est absurde.

On a donc : pour tout réelx?=-2,x+ 2

x+ 1?= 1.

Exemple 3

Démontrons, par l"absurde, que⎷2 est un nombre irrationnel.

On suppose que⎷

2 est un nombre rationnel.

Il s"écrit donc⎷

2 =pq, avecpetqdeux entiers naturels premiers entre eux.

On en déduit alorsp=q⎷

2 puisp2= 2q2.

p

2est donc un nombre pair, et par conséquentpest un nombre pair (pour une démonstration,

voir fiche raisonnement par contraposée), il s"écritp= 2p?,p?étant un entier naturel.

On a alors (2p?)2= 2q2??4p?2= 2q2??2p?2=q2.

On en déduit, de même que précédemment, queqest un nombre pair. On aurait doncpetqpairs, ce qui absurde car on a supposé quepetqétaient premiers entre eux.

On en conclut donc que⎷

2 est un nombre irrationnel.

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