Utiliser un raisonnement par l'absurde ou par contraposition > Effectuer un Méthode 1 2 — Comment démontrer une proposition par disjonction de cas
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Logique Raisonnement par disjonction des cas Soit P et Q deux propositions Pour montrer que « P ⇒ Q » , on sépare l'hypothèse P de départ en différents
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V J'ai placé les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases du carré ci- dessous J'ai ensuite effectué les produits suivant la direction de chacune des flèches
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2 Raisonnement par disjonction de cas termes, on étudie tout les cas possibles ) et qui signifiait inférence, est un raisonnement logique composé de trois
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Lors d'un raisonnement par disjonction des cas, on étudie tous les cas possibles en faisant au préalable un tri pour restreindre le nombre de cas à étudier
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b) Raisonnement par disjonction de cas Définition : Si l'on souhaite vérifier une assertion P(x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre l'assertion pour
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de se placer dans le cas o`u P est vraie et montrer que Q est vraie Le début de la Le raisonnement par contraposition s'utilise lorsque l'assertion (non Q) est plus facile `a formaliser que P ou lorsqu'il Disjonction des cas Une assertion P
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Raisonnements par récurrence Exercice 1 1 □□D Objectif : récurrence triple, rien que ça □DD Objectif : raisonnement par disjonction de cas Montrer
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Pour tous ces exercices , faire l'effort d'appliquer le raisonnement demandé Exercice 1 Montrer par disjonction des cas que pour tout n , n (n +1 ) est un entier
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LOGIQUE ET RAISONNEMENTS3??
Le d'exposer théorie ?les incontournables ?manipuler les quantificateurs ?raisonner par implication ou par ´equivalence ?utiliser un raisonnement par l"absurde ou par contraposition ?effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double ?et plus si affinit´es ?appliquer une r´ecurrence forte ?raisonner par analyse-synth`ese ??4CHAPITRE 1Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ
R´esum´e de cours
?Notions de logiqueD´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´e math´ematique qui
peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.Soitune proposition. On appellen´egationde et on note la proposition d´efinie par : ? est vraie lorsqueest fausse; ? est fausse lorsqueest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle conjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsqueetsont vraies; ? est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle disjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie; ? est fausse lorsqueetsont fausses. D´efinition : Implication -.Soitetdeux propositions. On appelle implication deparla proposition . Cette proposition se note.Vocabulaire :la propositionse lit
impliqueou encoresialors Remarque :lorsqueest vraie, on dit queest unecondition suffisantepour avoir, ou queest unecondition n´ecessairepour avoir. D´efinition : R´eciproque -.Soitetdeux propositions. On appelle r´eciproque de l"implication.D´efinition :
´Equivalence -.Soitetdeux propositions. On appelle ´equivalence deetla propositionet. Cette proposition se note.Vocabulaire :la propositionse lit
si et seulement si. Remarque :lorsqueest vraie,est unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir . Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques : PQVVFVVVV
VFFFVFF
FVVFVVF
FFVFFVV
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??
Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, sietsont vraies alorsest vraie. C"est le principe de d´eduction D´efinition : Contrapos´ee -.Soitetdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica- tionl"implication T h ´e o r `e m e 1 . 1 . -Soitetdeux propositions. L"implicationet sa contrapos´ee sont´equivalentes. Autrement dit :
Proposition 1.2.-Soitetdeux propositions. Alors :
?QuantificateursD´efinition :Soit()une propri´et´e d´ependant d"un param`etre, o `uest un ´el´ement d"un en-
semble.Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour tous les ´el´ements
de, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur universelet se litquel que soit. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour au moins un ´el´ementde, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur existentielet se litil existe. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantifi cateurs -. ?La n´egation de la proposition ()est: () ?La n´egation de la proposition ()est: () Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4.- Propri´et´e fondamentale de-.Toute partie non vide deadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si