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1 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 1) Définition Exemples et contre-exemples : -
f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)=x 2 -5x+4 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8est une fonction polynôme de degré 4. Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur
par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". 2) Représentation graphique Exemple : La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
2 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que2
()fxax bxc=++. - Si a est positif, f est d'abord décroissante, puis croissante : " cuvette ». - Si a est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante : " colline ». a > 0 a < 0 II. Résolution d'une équation du second degré Exemple : L'équation
3x 2 -6x-2=0est une équation du second degré. Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme
ax 2 +bx+c=0 où a, b et c sont des réels avec a≠0 . Définition : On appelle discriminant du trinôme ax 2 +bx+c , le nombre réel, noté Δ, égal à b 2 -4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x 2 -6x-2=0 est : ∆ = (-6)2 - 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60. En effet, a = 3, b = -6 et c = -2.3 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : Soit Δ le discriminant du trinôme
ax 2 +bx+c . - Si Δ < 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 n'a pas de solution réelle. - Si Δ = 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a une unique solution : x 0 b 2a . - Si Δ > 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a deux solutions distinctes : x 1 -b-Δ 2a et x 2 -b+Δ 2a . Remarque : Les solutions d'une équation du second degré s'appellent les racines de ax 2 +bx+c. Méthode : Résoudre une équation du second degré Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE Résoudre les équations suivantes : a)
2x 2 -x-6=0 b) 4x 2 -12x+9=0 c) x 2 +3x+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2x 2 -x-6=0: a = 2, b = -1 et c = -6 donc Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 x 2 x (-6) = 1 + 48 = 49. Comme Δ > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : ()
1 1493 2222
b x a 2 149
2 222
b x a b) Calculons le discriminant de l'équation 4x 2 -12x+9=0
: a = 4, b = -12 et c = 9 donc Δ = b2 - 4ac = (-12)2 - 4 x 4 x 9 = 144 - 144 = 0. Comme Δ = 0, l'équation possède une unique solution :
x 0 b 2a -122×4
12 8 3 2 c) Calculons le discriminant de l'équation x 2 +3x+10=0: a = 1, b = 3 et c = 10 donc Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 x 1 x 10 = 9 - 40 = -31. Comme Δ < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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