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Liste plus complète des propriétés du produit scalaire de vecteurs u, v et w le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire à U et V dont la

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Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG) Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan Vidéo https:// youtu

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vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires Table des mati`eres 4 Déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire 3 4 1 Méthode

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Deux vecteurs sont dits perpendiculaires (ou orthogonaux) s'ils sont Le vecteur nul est ici considéré comme étant perpendiculaire `a tout vecteur 3 2 Espace

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Le vecteur →n est normal à 乡 si et seulement si le vecteur →n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan 乡 c) Retour sur la position relative d'une  

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On dit que les vecteurs ⃗⃗⃗ et ⃗⃗ sont orthogonaux si les droites ( AB) et (CD) sont perpendiculaires Propriété 8 : Deux vecteurs ⃗⃗⃗ et  

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repère * repérer une droite → deux points (O,I) distincts OU un point (O) et un vecteur i (non nul) * repérer le plan → trois points (O,I,J) non alignés OU un point  

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La perpendiculaire à d passant par M coupe d en H Le point H est appelé le projeté orthogonal du point M sur la droite d • La distance MH est appelée la 

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Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul • La norme La norme d'un vecteur est la racine de son carré scalaire : A AA =

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1

CHAPITRE III

Calcul vectoriel

2

Calcul vectoriel

Représentation des points et vecteurs 3D

(x,y,z) X Z Y

Origine

Coordonnées cartésiennes

(axe vertical) (profondeur)

Système gaucher en infographie

(axe horizontal) 3

Calcul vectoriel

Soient

U = (u 1 , u 2 , u 3 ) et V = (v 1 , v 2 , v 3 ) 2 vecteurs 3D,

P = (p

1 , p 2 , p 3 ) et Q = (q 1 , q 2 , q 3 ) 2 points 3D, l'additi on d'un point avec un vecteur est un point : P + U.

Soit DIST(

U V 2 i=1,2,3 (u i -v i 2 longueur d'un vecteur U U | = Nor m e( U ) = DIST((0,0,0), U i=1,2,3 u i 2 |Q - P | = distance entre les points P et Q,

UNITAIRE(

U ) = vecteur unitaire obtenu de U U U u u = Q - P P Q Arithmétique vectoriellea) l'addition de 2 vecteurs U et V U V = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 b) la soustracti on de 2 vecteurs U et V U V = (u 1 -v 1 , u 2 -v 2 , u 3 -v 3 c) la multiplication d'un vecteur U par un scalaire r r * U = (r u 1 , r u 2 , r u 3 4

Produit scalaire de 2 vecteurs

le produit scal aire de 2 vecteurs U et V U V U V | * cos ß où e st l'angle entre les droites définies par le prolonge m e nt de U et V Si U et V sont des vecteurs unitaires, U V = cos ß.

Dans un espace orthonor

mé, on a aussi: U V = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Si U et V sont des directions perpendiculaires alors U V = 0. NOTE U V Si V est unitaire alors U V U | cos = projection de U sur V 5

CALCUL VECTORIEL

Liste plus complète des propriétés

du produit scalaire de vecteurs u, v et w v w w v u + w v u v w v (s u v = s ( u v v 2 v v Note < 90 si v w > 0 = 90 si v w = 0 > 90 si v w < 0 v et w sont normaux (orthogonaux ou perpendiculaires) si v w = 0. 6

Produit vectoriel de 2 vecteurs

le produit vectoriel de 2 vecteurs U et V. U x V = (u 2 v 3 -u 3 v 2 , u 3 v 1 -v 3 u 1 , u 1 v 2 -u 2 v 1 le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire U et V dont la grandeur est donnée par: U x V U V | * sin ß o est l'angle entre les 2 vecteurs U et V

Cette grandeur a pour valeur la su

rface du parallélogra m m e de côtés U et V a x b a b a xquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40