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1Séquence 3 - MA12

Séquence 3

1

ère

partie :

Second degré

2 e partie :

Probabilités (1)

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2Séquence 3 - MA12

Second degré

1

ère

partie

Sommaire

1. Pré-requis

2. Forme canonique, étude dune fonction du second degré

3. Équation du second degré

4. Factorisation et signe du trinôme ax

2 + bx + c

5. Algorithmique

6. Synthèse de la partie 1 de la séquence

7. Exercices dapprofondissement

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3Séquence 3 - MA12

Définitions

Etant donnés trois nombres réels a, b et c, avec a≠0, la fonction f, définie sur ? par fx ax bx c() ,=++ 2 est appelée fonction polynôme de degré deux ou encore fonction du second degré.

La quantité ax bx c

2 ++ est appelée trinôme du second degré ou plus simplement trinôme.

L"équation ax bx c

2

0++=est appelée équation du second degré.

Définitions

Identités remarquables

Quels que soient les nombres réels a et b, les égalités suivantes sont toujours vraies : ? ()ab a abb+=++ 22 2
2 ? ()ab a abb-=-+ 22 2
2 ? ()() .abab a b+-=- 22

Propriété

Il faut bien connaître ces trois identités remarquables et savoir les manipuler dans les deux sens. Elles seront utilisées toutes les trois dans les transformations des trinômes du second degré et dans la résolution des équations du second degré, en particulier dans les transformations illustrées par les trois calculs qui suivent. ? On transforme xx 2

2+en reconnaissant qu"il s"agit du début d"un carré.

En effet, on sait que :

xx x 22

21 1++=+(), et donc on peut écrire :

xxx 22

211+=+-().

? On transforme xx 2

6-en reconnaissant qu"il s"agit du début d"un carré.

En effet, on sait que :

xx x 22

69 3-+=-(), et donc on peut écrire :

xxx 22

639-=--().

A B 1

Pré-requis

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4Séquence 3 - MA12

? Dans les deux cas précédents, le coefficient de x est un nombre entier qui est pair, on a pu alors l"utiliser facilement pour reconnaître le double produit d"une identité remarquable.

Voici maintenant le cas de

xx 2 5+.

On fait apparaître le double produit : xxx x

22
525

2+=+×, cest donc ici le

nombre 5 2 qui va jouer le rôle de b dans la formule générale.

Daprès lidentité remarquable :

xxx xx+( )=++5 225
25
2525
4 2 22
2 on a : xxx 22
55
225
4+=+(

Équations

Voici quelques exemples d"équations que vous devez savoir résoudre.

Équations du 1

er degré

Résoudre : 340x-=.Résoudre : -+=254x.

Solution :

34034
4 3xx x-=? =

L"ensemble S des solutions est

S =??????4 3.

Solution :

-=254 2 1 1 21
2xx x

Lensemble S des solutions est

S =??????1 2.

Équations produits

Résoudre ()( ).23470xx+-+=

On applique d"abord la règle du produit nul :

()( )23470230 470

23 47xx x x

xx x+-+=?+= -+= ?ou ou -=3 27
47
4oux.

Lensemble S des solutions est S

=-??????3 27
4;. C

Exemple 1

Exemple 2

Solution

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5Séquence 3 - MA12?

Quelques équations du second degré de forme

simple

Résoudre : 340

2 xx+=.Résoudre : x 2 30-=.

Solution :

340 340

0340
0 4 3 2 xx xx xx xx+=? += ou ou

Lensemble S des solutions est

S =-??????04 3;.

Solution :

xx xx xx x 222

30 3 0

330
30 30

3-=? -

?=ou o uux=-3

Lensemble S des solutions est

S 33;.
Dans les deux cas on sest ramené à un produit nul.

Sens de variation des fonctions

On rappelle plusieurs résultats sur le sens de variations de certaines fonctions. t La fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. t Soit x 0 un nombre réel, la fonction définie sur ? par xxx?()- 02 est décroissante sur x 0 ] et croissante sur [x 0

t Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel, les fonctions u et u + k ont

le même sens de variation sur I. t Soit u une fonction définie sur un intervalle I et un nombre réel, alors tTJ≥ 0, les fonctions u et u ont le même sens de variation sur I. u et u varient en sens contraire sur I.

Propriété

Tableaux de signes d"une expression factorisée

Représentation graphique des fonctions

Résolution graphique des équations, des inéquation s Ces notions ont été rappelées et utilisées dans les séquences précédentes. Fonctions polynômes de degré 2 dans le cours de

Seconde

Dans le cours de Seconde, des propriétés des fonctions du second degré ont été conjecturées, puis admises. Ces propriétés ont été démontrées dans la séquence 2, et d"autres seront revues et démontrées dans les chapitres de cette séquence.

Exemple 3

Remarque

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6Séquence 3 - MA12

2

Forme canonique, étude d"une

fonction du second degré

Activités

1. Activité 1

ABCD est un rectangle tel que AB=10 et AD=6.

Soit x un nombre de lintervalle [0 ; 6] et E, F, G, H, les points appartenant respectivement aux segments [AB], [BC], [CD], [DA] tels que

AE BF CG DH====x.

On appelle ax()laire du quadrilatère EFGH.

Exprimer ax()en fonction de x.

Vérifier que ax x() ( ) .=-+2428

2 En déduire que la fonction a,dé“nie sur lintervalle [0 ; 6] par la relation précédente, admet un minimum pour une valeur de x que lon précisera ; quelle est la valeur de ce minimum ?

2. Activité 2

Compléter les égalités suivantes en ne faisant figurer x que dans un carré de la forme ()xa+ 2 ou ().xa- 2 xx 22

69++=(...) ;

xx 22

6+= -(...) ... ;

xx 222

68 8+-= --= -(...) ... (...) ... ;

xx 2

7-=... ;

xx x x 222

75 5-+=- -+=- -( ...) ... ( ...) ... ;

696 6 6

222
xx x x+= = +- 6916
22
xx x+-= +-( ...) .... A

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7Séquence 3 - MA12

3. Activité 3

On considère la fonction f définie sur ? par fx x() ( ) .=+-213 2 Afficher la courbe représentant la fonction f sur votre calculatrice. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations de la fonction f ? Étudier le sens de variation de la fonction f sur l"intervalle ?. Cours

1. Forme canonique

Théorème 1

Tout trinôme du second degré ax bx c

2 ++ avec a≠0,peut sécrire sous la forme ax bx c a x 22
++= - +()αβoù α et βsont des constantes réelles. On utilise les identités remarquables pour transformer comme on la vu dans les activités : Soit ax bx c 2 ++avec a≠0, on a : ax bx c a xb axc ax b ab a 22
2

22++= +

2 22
22
2 c ax b aab ac ax b aab aac a ax b abac a 22
2 2 44
4 2 4 4.

Donc on a bien ax bx c a x

22
++= - +(),αβavecα=- b a 2 et β=-- bac a 2 4 4. Il nest pas nécessaire de retenir lexpression de βen fonction des coefficients a, b et c ; par contre il est indispensable de retenir le principe du calcul. B

Démonstration

Remarque

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8Séquence 3 - MA12

La forme ax bx c

2 ++s"appelle la forme développée du trinôme.

La forme ax()-+αβ

2 sappelle la forme canonique du trinôme. (L"adjectif canonique signifie en général conforme aux règles, ici canonique désigne, comme souvent en mathématiques, la meilleure forme ou la plus simple.)

Mettre sous forme canonique le trinôme

33083
2 xx-+. On suit la même démarche que dans le cas général :

3 30 83 3 10 83

3 5 25 83

35
22
2 2 xx xx x x-+= - + =-+75 83 358
2 ().x

Donc : 33083358

22
xx x-+=-+().

2. Utilisation de la forme canonique pour

démontrer des propriétés d"une fonction du second degré La forme canonique est la meilleure forme (voir le commentaire de vocabulaire ci-dessus) pour démontrer des propriétés des fonctions du second degré admises en classe de Seconde.

Nous allons illustrer cela avec deux

fonctions : la fonction f définie sur ? par fx x() ( )=+-213 2 et la fonction g dé“nie sur ? par gx x() , .=- - -05 1 2 Afficher sur la calculatrice la représentation graphique des deux fonctions f et g dans un repère orthogonal, et faire des conjectures sur des propriétés de chacune de ces deux fonctions. Démontrer que chacune de deux fonctions possède un extremum, en donner la valeur ainsi que la valeur de x pour laquelle il est atteint. Étudier le sens de variation de la fonction g (celui de la fonction f a été étudié dans l"activité 3). Montrer que chacune des représentations graphiques admet un axe de symétrie que l"on précisera.

Vocabulaire

Exemple 4

Solution

Exemple 5

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9Séquence 3 - MA12

Représentation graphique de la fonction f.

Rappel : on appelle

parabole la courbe représentative d"une fonction du second degré.

Représentation graphique de la fonction g

O2 -1 -1 -2 j i -2 O2 2 ...1 ...2 j i

Conjectures :

? la fonction f semble avoir pour minimum -3 atteint pour x=-1 ; ? la fonction f semble être d"abord décroissante sur ];]-∞ -1, puis être croissante sur [; [-+∞1 ? et enfin la courbe représentative de f semble avoir la droite d"équation x=-1pour axe de symétrie.Conjectures : ? la fonction g semble avoir pour maximum -1 atteint pour x=05, ; ? la fonction g semble être d"abord croissante sur ];,]-∞05, puis être décroissante sur [,; [05+∞ ? et enfin la courbe représentative de g semble avoir la droite d"équation x=05,pour axe de symétrie.

Pour démontrer que f a pour minimum -3,

atteint pour x=-1,il suf“t de prouver que, pour tout réel x, on a fx()≥-3 et que légalité est réalisée pour x=-1.

Or, pour tout réel x, on a : ()x+≥10

2 donc 210 2 ()x+≥ et donc 2133 2 () ,x+-≥-soit fx() .≥-3

Dautre part, f()( ) .-=-+ -=-11133

2 Les deux conditions sont donc réalisées : la fonction f a donc pour minimum ...3 atteint pour x=-1.

Pour démontrer que g a pour maximum -1,

atteint pour x=05,il suf“t de prouver que, pour tout réel réalisée pour x=05,.

Or, pour tout réel x, on a : (,)x-≥05 0

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