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Exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points D' après l'AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie

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Exercice 3 Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité 5 points

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voi-

ture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu'elle a sélectionnés. Sarah a construit le graphe ci-

dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentes les routes ou pistes :

1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.

1.a. Déterminer l'ordre du graphe.

1.b. Déterminer si le graphe est connexe.

1.b. Déterminer si le graphe est complet.

2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.

3. On appelle M la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l'ordre al-

phabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice M ainsi que la matrice M4.

M=(000000011

000000100

000001011

000000110

100000110

001010101

.........111001 .........100000 .........011100) M4=(123168141315210

35569116312

1652411232126520

86111013149314

1492313282929830

131121142938321540

1562692932431414

2353815141521

101220143040342149)3.a. Il manque certains coefficients de la matrice M. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de

cette matrice.

3.b. Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B en D.

4. Sur le graphe pondéré ci-après, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilométre entre les différents

lieux :

ES Amérique du Nord juin 2017

Déterminer à l'aide de l'algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d'aller du sommet B (Lagon

Bleu) au sommet D (Chute d'eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet à emprunter.

ES Amérique du Nord juin 2017

CORRECTION

1.a. L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

Il y a 9 sommets donc l'ordre du graphe est 9.

1.b. Il existe toujours une chaîne reliant deux sommets distincts du graphe, donc le graphe est connexe.

1.c. Les sommets R et V ne sont pas adjacents (il n'existe pas d'arête reliant ces deux sommets) donc le graphe

n'est pas complet.

2. Sarah peut emprunter toutes les routes une et seule fois si et seulement si le graphe admet une chaîne eulé-

rienne.

Théorème d'Euler

Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré

impair est 0 ou 2.

On détermine le degré de chaque sommet et on donne les résultats sous la forme d'un tableau.

Il y a 5 sommets de degré impair.

Sarah ne peut pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.

3.a. Les sommets sont classés dans l'ordre alphabétique, la matrice M=(mij) est la matrice associée au graphe

i et j sont des entiers compris entre 1 et 9. mij est le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne. mij=1 S'il existe une arête reliant le ième sommet au jème sommet sinon mij=0 m71=0 m72=1 m73=0 m81=1 m82=0 m83=1 m91=1 m92=0 m93=1 On donne la partie manquante de la matrice M sous la forme d'une matrice carréé 3x3. (010 101

101)3.b.

M4=(m'ij) m'ij est le nombre de chaînes de longueur 4 reliant le ième sommet au jème sommet.

B est le 1er sommet et D le 2ème sommet.

m'12=m'21=3. Il existe 3 chaînes de longueur 4 permettant d'aller de B à D.

Ces trois chemins sont :

B-R-H-M-D

B-V-L-M-D

B-V-I-M-D

4. On utilise l'algorithme de DIJKSTRA pour déterminer la distance minimale perettant d'aller du sommet B

(Lagon bleu) au sommet D (chute d'eau de Dettifoss).

Pour le tableau on place en premier le sommet B et en dernier le sommet D entre les deux on place les

sommets par ordre alphabétique.

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La distance minimale permettant d'aller du somme B au sommet D est 617 km.

Le trajet à emprunter est : B-R-H-M-D

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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ES Amérique du Nord juin 2017

1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.

1.a. Déterminer l'ordre du graphe.

1.b. Déterminer si le graphe est connexe.

1.b. Déterminer si le graphe est complet.

2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.

3. On appelle M la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l'ordre al-

M=(000000011

000000100

000001011

000000110

100000110

001010101

35569116312

1652411232126520

86111013149314

1492313282929830

131121142938321540

1562692932431414

2353815141521

101220143040342149)3.a. Il manque certains coefficients de la matrice M. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de

3.b. Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B en D.

4. Sur le graphe pondéré ci-après, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilométre entre les différents

ES Amérique du Nord juin 2017

Bleu) au sommet D (Chute d'eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet à emprunter.

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CORRECTION

1.a. L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

Il y a 9 sommets donc l'ordre du graphe est 9.

1.b. Il existe toujours une chaîne reliant deux sommets distincts du graphe, donc le graphe est connexe.

1.c. Les sommets R et V ne sont pas adjacents (il n'existe pas d'arête reliant ces deux sommets) donc le graphe

2. Sarah peut emprunter toutes les routes une et seule fois si et seulement si le graphe admet une chaîne eulé-

Théorème d'Euler

Il y a 5 sommets de degré impair.

3.a. Les sommets sont classés dans l'ordre alphabétique, la matrice M=(mij) est la matrice associée au graphe

101)3.b.

B est le 1er sommet et D le 2ème sommet.

Ces trois chemins sont :

B-R-H-M-D

B-V-L-M-D

B-V-I-M-D

4. On utilise l'algorithme de DIJKSTRA pour déterminer la distance minimale perettant d'aller du sommet B

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Le trajet à emprunter est : B-R-H-M-D