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୓ൣ 2 ൢ ln቗ݱቘ͵ ୓ൢ቗2 ൣ ln቗ݱቘቘ୓͵ ቗ݱቘ൩ ln቗ݞ ఈൢ 2ݞଡ଼ఈቘ.

2ቘ Calculer lim

ఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ et montrer que la droite ቗ݝቘ d'équation ݲ ൩ ݱ est asymptote à ቗ࣺቘ

3ቘ Calculer lim

୓ln2͵ ቗ݱቘ൩ 0͵

· ln቗1ቘ൩ 0

· ln቗2ቘ൫ 0,69 à10

ଡ଼୓ près ൣ ln቗ݱቘ lim

ఈչ୑ݱ୓ൣ 2 ൩ ൣ2 et limఈչ୑ln቗ݱቘ൩ ൣ∞ donc par addition limఈչ୑ݮ቗ݱቘ൩ ൣ∞

lim

ఈչ୛௓ݱ୓ൣ 2 ൩ ൢ∞ et limఈչ୛௓ln቗ݱቘ൩ ൢ∞ donc, par addition limఈչ୛௓ݮ቗ݱቘ൩ ൢ∞

ݱ൩2ݱ

୓ൢ 4 ൣ 2ln቗ݱቘ

ݱ൩2቗ݱ

୓ൣ 2 ൢ ln቗ݱቘቘ

ݱ൩2ݮ቗ݱቘ

lim

ఈչ୑ݱ୓൩ 0 ; limఈչ୑2 ൣ ln቗ݱቘ൩ ൢ∞ et donc limఈչ୑቗2 ൣ ln቗ݱቘቘ୓൩ ൢ∞ et par addition limఈչ୑ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

lim

ఈչ୛௓ݱ୓൩ ൢ∞ ; limఈչ୛௓2 ൣ ln቗ݱቘ൩ ൣ∞ et donc limఈչ୛௓቗2 ൣ ln቗ݱቘቘ୓൩ ൢ∞ et par addition limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

௣ൣ ݱௗቘ୓ൢ቗ݲ௣ൣ ݲௗቘ୓൩ෂݱ୓ൢ቗ln቗ݱቘൣ 2ቘ୓൩ෂݱ୓ൢ቗2 ൣ ln቗ݱቘቘ୓൩ෂݟ቗ݱቘ

቗ݱቘ൩1

1 ൢ ݱ

lim

ఈչଡ଼୒1 ൢ ݱ ൩ 0 et limఈչ୑ln቗ݱቘ൩ ൣ∞ donccomposition, limఈչଡ଼୒ln቗1 ൢ ݱቘ൩ ൣ∞ d'où limఈչଡ଼୒ݟ቗ݱቘ൩ ൣ∞

lim

ఈչ୛௓1 ൢ ݱ ൩ ൢ∞ et limఈչ୛௓ln቗ݱቘ൩ ൢ∞ donc, par composition, limఈչ୛௓ln቗1 ൢ ݱቘ൩ ൢ∞ d'où limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

Nous avons déjà montré que lim

ఈչଡ଼୒ln቗1 ൢ ݱቘ൩ ൣ∞ ; de plus limఈչଡ଼୒1 ൣ ݱ ൩ 2 donc, par addition

lim lim ఈչ୛௓ݗ ൩ ൢ∞ et lim௮չ୛௓ ln቗ݗቘ ݗ൩ 0donc, par composition, limఈչ୛௓ ln቗1 ൢ ݱቘ

1 ൢ ݱ൩ 0

lim

1 ൣ ݱ

1 ൢ ݱ൩ limఈչ୛௓ൣݱ

൩ ൣ1 et limఈչ୛௓ ln቗1 ൢ ݱቘ

1 ൢ ݱ൩ 0 donc, par addition limఈչ୛௓

1 ൣ ݱ

1 ൢ ݱൢln቗1 ൢ ݱቘ

1 ൢ ݱ൩ 1

lim

ఈչ୛௓ݱ ൢ 1 ൩ ൢ∞ et par produit limఈչ୛௓ݠ቗ݱቘ൩ ൣ∞

1 ൢ ݱൣ 1 ൩ൣݱ

1 ൢ ݱ

ݱ ൣ1 0 ൢ∞

1

ݠ቗3ቘ൫ ൣ0,6͵

቗ݱቘ൩ ln቗ݞ

ఈൢ 2ݞଡ଼ఈቘ൩ lnቛݞఈ቗1 ൢ 2ݞଡ଼୓ఈቘቜ൩ ln቗ݞఈቘൢ ln቗1 ൢ 2ݞଡ଼୓ఈቘ

lim lim

ఈչ୛௓2ݞଡ଼ఈ൩ 0ൾ donc, par addition, limఈչ୛௓ݞఈൢ 2ݞଡ଼ఈ൩ ൢ∞. De plus, lim௮չ୛௓ln቗ݗቘ൩ ൢ∞ donc par composition,

lim lim

ఈչ୛௓ݟ቗ݱቘൣ ݱ ൩ limఈչ୛௓ln቗1 ൢ 2ݞଡ଼୓ఈቘ or limఈչ୛௓ൣ2ݱ ൩ ൣ∞

lim

௮չଡ଼௓ݞ௮൩ 0ൾ donc, par opérations, limఈչ୛௓1 ൢ 2ݞଡ଼୓ఈ൩ 1

lim

௮չ୒ ln቗ݗቘ൩ ln቗1ቘ൩ 0 donc, par composition, limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘൣ ݱ ൩ 0

ln ቗1 ൢ 2ݞ ୓ఈቘൢ ݱ ൣ ln቗2ቘ൩ lnቝ୓୛௵ోഀ ୓቞ ൩ lnቝ1 ൢ୒ lim ఈչଡ଼௓ݞ୓ఈ൩ 0 donc, limఈչଡ଼௓1 ൢ1 2

ݞ୓ఈ൩ 1. Par ailleurs, limఈչ୒ln቗ݱቘ൩ 0 donc, par composition

lim

ఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘൣ቗ൣݱ ൢ ln቗2ቘቘ൩ 0

ఈൣ 2ݞଡ଼ఈ

ݞఈൢ 2ݞଡ଼ఈ

ఈൣ 2ݞଡ଼ఈ൭ 0 ֻ ݞఈ൭ 2ݞଡ଼ఈֻ ୓ఈቘ൭ ln቗2ቘ car la fonction lnest strictement croissante ቗2ቘֻ

2ln቗2ቘֻ

2 ln቗2ቘ ୓ln቗2ቘ lim

ఈչଡ଼୒ݱ୓ൣ 2,2ݱ ൩቗ൣ1ቘ୓ൣ 2,2 ൥቗ൣ1ቘ൩ 3,2 et limఈչଡ଼୒ln቗ݱ ൢ 1ቘ൩ ൣ∞ donc par somme limఈչଡ଼୒ݟ቗ݱቘ൩ ൣ∞

lim

ఈչ୛௓ݱ୓ൣ 2,2ݱ ൩ limఈչ୛௓ݱ୓൩ ൢ∞ et limఈչ୛௓ln቗ݱ ൢ 1ቘ൩ ൢ∞ donc par somme limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

቗ݱቘ൩ 2ݱ ൣ 2,2 ൢ2,2

ݱ ൢ 1൩2ݱ

୓ൢ 2ݱ ൣ 2,2ݱ ൣ 2,2 ൢ 2,2

ݱ ൢ 1൩2ݱ

୓ൣ 0,2ݱ ݱ ൢ 1൩2ݱ቗ݱ ൣ 0,1ቘ

ݱ ൢ 1

ݱ ൣ1 0 0,1 ൢ∞

0 ൢ∞

ൣ∞ ݟ቗0,1ቘ ൣ ln቗ݱቘ 2 2ݱ ቜ0;ൢ∞

ݱ 0 4 ൢ∞

2ൣln4

൭ ln቗ݱቘ

ĭ͵ lim

ఈ൩ 0 lim lim ln቗ݗቘ

ݗ൩ 0ቮ donc, par composition et multiplication par ݧ , limஓչ୛௓ݟ௾቗ݱቘ൩ 0

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