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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat STI2D - Antilles-Guyane?

10 septembre2019

Exercice14points

1. a.La première courbe ne convient pas carfn"est pas positive sur l"intervalle ]-1 ; 1[.

b.La deuxième courbe ne convient pas carfn"est pas positive sur ]-∞;-1[ : c.Pour la troisième courbe tout convient les variations, le signe de la fonction et on a bien f(2)=0. d.Pour la quatrième courbe il y a une incohérence : la fonction n"est pas définie en-1 et ensuite elle est définie en-1 :f(-1)=-1!

2.Les deux fonctions sont positives sur l"intervalle [0; 1], donc on a :

A(D)=?

1 0 (g(x)-f(x))dx=? 1

0?x2+x+2-4x3-?dx=?x3

3+x22+2x-x4?

1 0= 1 3

3.On lit sur le graphique 0,68≈P(μ-σ;μ+σ).

Doncμ=5 etσ=2.

4.On ap(X<7)=7-3

0,8a=6,4??a=8.

Exercice25points

PartieA

Chaque jour il y a 1000 naissances et 500 décès, donc chaque jour la colonie s"accroit de 1000-500=

500 individus.

Le nombre d"individus est représenté par une suite arithmétique de premier termea0=40000 et de

raisonr=500. Sinest le nombre de jours, il faut donc résoudre l"inéquation :

40000+500n?50000??500n?10000??n?20.

La population atteindra les 50000 individus au bout de 20 jours.

PartieB

1. u n+1=0,8un+500. On a doncu1=0,8×u0+500=0,8×40000+500=32000+500=32700. Un jour après le début des pulvérisations, le nombre d"abeilles est égal à 32700.

2.On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnpar :vn=un-2500.

a.On avn+1=un+1-2500=0,8un+500-2500=0,8un-2000.

Or 2000=2000×0,8

0,8=0,8×20000,8=0,8×2500.

Finalement : pour tout natureln,vn+1=0,8vn.

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCLA. P. M. E. P.

b.Le résultat précédent montre que la suite(vn)est une suite géométrique de raison 0,8 de

premier termev0=u0-2500=50000-2500=47500. On sait qu"alors pour tout naturelbn,vn=v0×0,8n=47500×0,8n.

Il faut étudier l"inéquationvn<5000, soit

47500??0,8n<25475??

0,8 n<1

19??nln0,8-ln19ln0,8(car ln0,8<0).

Or-ln19

ln0,8≈13,2. Donc le nombre d"abeilles passera au dessous du seuil de 5000individus durant le 14ejour.

Autre méthode

Comme lim

n→+∞0,8n=0,car0<0,8<1,onendéduitque limn→+∞47500×0,8n=0etdonc limn→+∞un=

2500<5000.

Ceci montre qu"il existe un jour où la population passant sous les 5000 la colonie d"abeilles sera en danger.

PartieC

On an?30,np=500×0,2=100 etn×(1-p)=500×0,8=400; on peut donc calculer l"intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % qui est égal à :

0,2-1,96?

0,2×0,8

500; 1,96+1,96?

0,2×0,8

500?
≈[0,164 ; 0,236]. Or sur l"échantillon la fréquence observée est égale à : 102

500=2041000=0,204.

Comme 0,204?[0,164 ; 0,236], on peut considérer que la proportionp=0,2 est crédible.

Exercice37points

Danscet exercice,on s"intéresse auxbatteries des voitures électriques. La charge(énergierestituable)

est exprimée en kilowattheure.

Conformément à l"usage commercial, on appelle capacité la charge complète d"une batterie.

PartieA

3.1.La puissance de charge "Rapide /fg est égale à 400×63=25200 W soit 25,2 kW.

Donc le temps de charge est égale à

60

23,2≈2,38 h soit 2h et 0,38×60=22,8 min donc environ

2 h 23 min.

2. y ?+0,55y=12,1.

a.On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur

[0 ;+∞[ par : f(t)=Ke-0,55t+12,1

0,55=Ke-0,55t+22 avecK?R.

b.Au tempst=0, la batterie est déchargée doncf(0)=0. c.D"après la question précédente : Doncfest définie sur [0 ;+∞[ par :f(t)=-22e-0,55t+22.

Antilles-Guyane210 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCLA. P. M. E. P. d.On af(t)=11?? -22e-0,55t+22=11??11=22e-0,55t??12=e-0,55t= ??ln12= -0,55t?? -ln2=-0,55t?? ln2=0,55t??t=ln2

0,55≈1,260.

1,26 h=1 h et 0,26×60 min soit 15,6 min.

Le temps de demi-charge est à peu près égal à 1 h 16 min. e.Une batterie de marque A a une capacité de 22 kW. Elle sera à 80%de sa capacité soit à

22×0,80 au bout d"un tempsttel que :

22-22e-0,55t=22×0,8, soit en simplifiant par 22 :

1-e-0,55t=0,8??e-0,55t=0,2, d"où par croissance de la fonction logarithme népérien:

-0,55t=ln0,2??t=ln0,2 -0,55. Or ln0,2 -0,55≈2,92625 soit 1 h et 0,92625×60≈55,56 La batterie est à 80% de sa charge à un peu moins de 3 h : le document 3 dit vrai.

PartieB

g(x)=-0,04x3+7,2x2-240x+3000.

1. a.La fonction polynômegest dérivable surRet sur cet intervalle :

g

b.La dérivée degest un trinôme du second degré :Δ=14,42-4×(-0,12)×(-240)=207,36-

115,2=92,16>0, avec 92,16=9,62.

Les racines du trinôme sont donc :

x

1=-14,4+9,6

2×(-0,12)=4,80,24=20 etx2=-14,4-9,62×(-0,12)=240,24=100.

On sait queg?(x)<0, sauf sur l"intervalle [20; 100] oùg?(x)?0.

La fonction est donc décroissante sauf sur l"intervalle [20; 100] où elle est croissante, d"où

le tableau de variations suivant : x0 20 100 120 g ?(x)-0+0- g(x)3000

76011000

8760
c.La résistance maximale estg(100)=11000, obtenue à 100°.

2. a.D"après le tableau de variations, on cherche sur l"intervalle [20; 100]. la calculatrice donne

g(50)=4000 etg(60)=5880, donc la température appartient à [50; 60], puis g(55)=4925 etg(56)=5114,6, donc la température appartient à [55; 56]. Le message d"alerte apparaît sur l"ordinateur de bord du véhicule entre 55° et 56°. b.On considère l"algorithme suivant : x←20 y←760

Tant quey<5000

x←x+1 y←-0,04x3+7,2x2-240x+3000

Fin Tant que

Antilles-Guyane310 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCLA. P. M. E. P.

Exercice44points

1. a.On sait que cosπ

4=sinπ4=?

2

2, donc

z 1=?

2eiπ4=?2?cosπ4+isinπ4?=?2?

?2 2+i? 2 2? =1+i. b.•En remplaçant dans l"équation : (2+i)(1+i)=1+3i??2+2i+i-1=1+3i qui est vraie.

•En résolvant l"équation :

(2+i)z=1+3i??z=1+3i

2.On calcule d"abord le module dez2:

z2|2=1+3=4=22, donc|z2|=2.

On factorise ce module dans l"écriture dez2:

z 2=2? 1 2+i? 3 2?

On reconnait-1

2=cos2π3et?

3

2=sin2π3, donc

z

2=2?cos2π

3+isin2π3?=2ei2π3.

3.On a doncz3=4e7π

6.

D"autre partz21×z2=??

=4ei?3π6+4π6?=4ei7π6.

On a doncz3=z21×z2.

4.Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?

O ;-→u,-→v?

On considère les trois points A, B et C d"affixes respectiveszA=1+i,zB=-1+i? 3 et z C=-2? 3-2i. a.Voir à la fin. b.On a--→OB?-1? 3? et--→OC?-2? 3 -2?

Calculons le produit scalaire

--→OB·--→OC=-1×(-2?

3)+?3×(-2)=2?3-2?3=0; les vec-

teurs--→OB et--→OC sont orthogonaux, donc les droites (OB) et (OC) sont perpendiculaires, donc le triangle OBC est rectangle en O.

Antilles-Guyane410 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCLA. P. M. E. P.

Annexe de l"exercice 4

À rendreavecla copie

O-→u-→

v?? A B C

Antilles-Guyane510 septembre 2019

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20