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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l'épreuve : 4 heures tion d'une métropole est égal à 0, 1

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3) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 In = ∫ 1 0 (x + e−nx) dx = [x2

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Corrigé maths bac S Métropole Juin 2014 – Annales2maths Math93 23 juin 2014 – Bac S 2014 : Métropole Corrigé et sujet disponibles du Sujets et corrigés

SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014

Durée de l"épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉLes calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultatprécédemment donné dans le texte pour

aborder les questions suivantes, à condition de l"indiquerclairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute tracede recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu"il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises

en compte dans l"appréciation des copies.Avant de composer, le candidat s"assurera que le sujet comporte bien 6 pages

numérotées de 1/6 à 6/6.

14MASCSMLR1page 1 / 6

EXERCICE 1 (5 points)

Communà tous les candidats

PartieA

Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on désigne parC1la courbe représentative de la fonctionf1définie surRpar : f

1(x)=x+e-x

1.Justifier queC1passe par le pointAde coordonnées (0,1).

2.Déterminer le tableau de variation de la fonctionf1. On précisera les limites def1en+∞

et en-∞.

PartieB

L"objet de cette partie est d"étudier la suite

(In)définie surNpar :In=? 1

0?x+e-nx?dx.

O;-→ı,-→??

,pourtoutentiernatureln,onnote C nla courbe représentativede la fonctionfndéfinie surRparfn(x)=x+e-nx. Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbeCnpour plusieurs valeurs de l"entiernet la droiteDd"équationx=1.

O?ı?

A DC 1 C 2 C 3 C 4 C 6 C 15 C 60
a.Interpréter géométriquementl"intégraleIn. b.En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de lasuite (In)et salimiteéventuelle.Onpréciseralesélémentssur lesquelsons"appuie pour conjecturer.

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2.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

I n+1-In=? 1 0 e-(n+1)x?1-ex?dx. En déduire le signe deIn+1-Inpuis démontrer que la suite(In)est convergente.

3.Déterminer l"expression deInen fonction denet déterminer la limite de la suite(In).

EXERCICE 2 (5 points)

Communà tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

PartieA

de communicationmet en avant les caractéristiques suivantes : - la probabilitéqu"une personne malade présente un test positif est 0,99; - la probabilitéqu"une personne saine présente un test positif est 0,001. statistique permet d"estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la popula- tiond"unemétropoleest égal à0,1%.Onchoisitau hasardunepersonnedanscettepopu- lationet on lui fait subir le test. On noteMl"évènement " la personne choisie est malade » etTl"évènement " le test est positif ». a.Traduire l"énoncé sous la forme d"un arbre pondéré. b.Démontrer que la probabilitéP(T) de l"évènementTest égale à 1,989×10-3. c.L"affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier la réponse. Affirmation:" Siletestestpositif,ilyamoinsd"unechancesurdeuxquelapersonne soit malade ».

2.Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors quela probabilité qu"une per-

sonne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne parxla

proportionde personnes atteintesd"une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur dexle laboratoirecommercialise-t-il le test correspondant?

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PartieBLa chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d"un

médicament.

1.Uncompriméest conformesisamasseest compriseentre890et920 mg.Onadmetque la

masse en milligrammes d"un comprimé pris au hasard dans la production peut être mo- délisée par une variable aléatoireXqui suit la loi normaleN(μ,σ2) de moyenneμ=900 et d"écart-typeσ=7. a.Calculer la probabilité qu"un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arron- dira à 10 -2. b.Déterminer l"entier positifhtel queP(900-h?X?900+h)≈0,99 à 10-3près.

2.La chaine de production a été réglée dans le but d"obtenir au moins 97% de comprimés

conformes. Afin d"évaluer l"efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant

un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est sup-

posée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages

successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l"échan- tillonprélevé. Ce contrôleremet-il en questionles réglagesfaitspar le laboratoire?Onpourrautiliserun intervallede fluctuationasymptotique au seuil de 95%.

EXERCICE 3 (5 points)

Communà tous les candidats

On désigne par (E) l"équationz4+4z2+16=0 d"inconnue complexez.

1.Résoudre dansCl"équationZ2+4Z+16=0.

Écrire les solutionsde cette équation sous une forme exponentielle.

2.Ondésigneparale nombre complexedont le moduleest égal à 2 et dont unargument est

égal àπ

Calculera2sous forme algébrique.

En déduire les solutions dansCde l"équationz2=-2+2i?

3. On écrira les solutions sous

forme algébrique.

3. Restitutionorganisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexez=x+iyoùx?Rety?R, le conjugué dezest le nombre complexe zdéfini parz=x-iy.

Démontrer que :

- Pour tous nombres complexesz1etz2, z1z2=z1z2. - Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln, zn=?z?n.

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4.Démontrer que sizest une solution de l"équation (E) alors son conjuguézest également

une solutionde (E). En déduire les solutions dansCde l"équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidatsayant suivi l"enseignementde spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l"élevagede ses poissons. Tous les ans à la

même période : - il vide le bassin B et vend tous les poissons qu"il contenaitet transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B; - la vente de chaque poisson permet l"achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B. Pour tout entier naturel supérieurou égal à 1, on note respectivementanetbnles effectifs

de poissons des bassins A et B au bout denannées. En début de première année, le nombre de

poissons du bassin A esta0=200 et celui du bassin B estb0=100.

1.Justifier quea1=400 etb1=300 puis calculera2etb2.

2.OndésigneparAetBlesmatricestellesqueA=?0 21 0?

etB=?200100? etpourtoutentier natureln, on poseXn=?an b n? a.Expliquer pourquoi pour tout entier natureln,Xn+1=AXn+B. b.Déterminer les réelsxetytels que?x y? =A?x y? +B. c.Pour tout entier natureln, on poseYn=?an+400 b n+300? Démontrer que pour tout entier natureln,Yn+1=AYn.

3.Pour tout entier natureln, on poseZn=Y2n.

a.Démontrer que pour tout entier natureln,Zn+1=A2Zn. En déduire que pour tout entier natureln,Zn+1=2Zn. b.On admet que cette relation de récurrence permet de conclureque pour tout entier natureln, Y

2n=2nY0.

En déduire queY2n+1=2nY1puis démontrer que pour tout entier natureln, a

2n=600×2n-400 eta2n+1=800×2n-400.

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4.Le bassin A a une capacité limitée à 10000 poissons.

a.On donne l"algorithmesuivant.

Variables :a,petnsont des entiers naturels.

Initialisation: Demander à l"utilisateur la valeur dep.

Traitement : Sipest pair

Affecter ànla valeurp2Affecter àala valeur 600×2n-400. Sinon Affecter ànla valeurp-12Affecter àala valeur 800×2n-400.

Fin de Si.

Sortie : Affichera.

Que fait cet algorithme?Justifier la réponse.

b.Écrire un algorithme qui affiche le nombre d"années pendant lesquelles le piscicul- teur pourra utiliser le bassin A.

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quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014

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EXERCICE 1 (5 points)

Communà tous les candidats

PartieA

1(x)=x+e-x

1.Justifier queC1passe par le pointAde coordonnées (0,1).

2.Déterminer le tableau de variation de la fonctionf1. On précisera les limites def1en+∞

PartieB

L"objet de cette partie est d"étudier la suite

0?x+e-nx?dx.

O;-→ı,-→??

O?ı?

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2.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

3.Déterminer l"expression deInen fonction denet déterminer la limite de la suite(In).

EXERCICE 2 (5 points)

Communà tous les candidats

PartieA

2.Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors quela probabilité qu"une per-

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1.Uncompriméest conformesisamasseest compriseentre890et920 mg.Onadmetque la

2.La chaine de production a été réglée dans le but d"obtenir au moins 97% de comprimés

EXERCICE 3 (5 points)

Communà tous les candidats

1.Résoudre dansCl"équationZ2+4Z+16=0.

2.Ondésigneparale nombre complexedont le moduleest égal à 2 et dont unargument est

égal àπ

Calculera2sous forme algébrique.

3. On écrira les solutions sous

3. Restitutionorganisée de connaissances

Démontrer que :

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4.Démontrer que sizest une solution de l"équation (E) alors son conjuguézest également

EXERCICE 4 (5 points)

1.Justifier quea1=400 etb1=300 puis calculera2etb2.

2.OndésigneparAetBlesmatricestellesqueA=?0 21 0?

3.Pour tout entier natureln, on poseZn=Y2n.

2n=2nY0.

2n=600×2n-400 eta2n+1=800×2n-400.

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4.Le bassin A a une capacité limitée à 10000 poissons.

Variables :a,petnsont des entiers naturels.

Traitement : Sipest pair

Fin de Si.

Sortie : Affichera.

Que fait cet algorithme?Justifier la réponse.

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