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16 jui 2016 · Réponse a Page 2 Corrigé du baccalauréat STI2D STL spécialité SPCL A P M E P EXERCICE 

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?Corrigé du baccalauréat Métropole 16 juin 2016?

STI2D-STLspécialitéSPCL

EXERCICE13 points

1.Un argument du nombre complexe 2+2i est égal à :

a.-π

4b.-9π4c.2?2d.π4

?2+2i???

22+22=?8=2?2 donc 2+2i=2?2?

?2 2+i? 2 2? =2?2? cosπ4+i sinπ4?

Réponse d.

2.Le nombre complexe eiπ

5×ei2π15est égal à :

a. 1 2+? 3 2i b.?3

2+12ic.0,5+0,866i

d.0,5+0,8660254038i e iπ

5×ei2π15=ei?π5+2π15?

=eiπ3=cosπ3+i sinπ3=12+i? 3 2

Réponse a.

3.On considère les points A et B d"affixes respectiveszA=2eiπ

3etzB=52ei5π6. Le triangle OAB

est : a.isocèle en O b.rectangle en O c.rectangle et isocèle en B d.isocèle en B --→OA ;--→OB? =arg?zB-zO zA-zO? =arg? 5

2ei5π6

2eiπ3?

5π

6-π3=π2(mod 2π)

Donc le triangle OAB est rectangle en O.

OA=|zA|=2 et OB=|z5|=5

2donc OA?=OB

Donc le triangle OAB n"est pas isocèle en O.

OO? AA BB 1i

Réponse b.

4.Pour tout nombre réelθ, le nombre complexe eiθ+1

eiθest égal à : a.2cos(θ) b.cos(θ)+i sin(θ)c.1 d.2i sin(θ) e iθ+1 eiθ=eiθ+e-iθ=cos(θ)+i sin(θ)+cos(-θ)+i sin(-θ) Or cos(-θ)=cos(θ) et sin(-θ)=-sin(θ) donc : cos(θ)+i sin(θ)+cos(-θ)+i sin(-θ)=cos(θ)+i sin(θ)+cos(θ)-i sin(θ)=2cos(θ)

Réponse a.

Corrigédu baccalauréat STI2D STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Un centre de vacances possède une piscine de 600 m

3soit 600000 litres. L"eau du bassin contient

du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégradeet 25% de celui-ci dispa-

raît chaque jour, en particulier sous l"effet des ultra-violets et de l"évaporation. Le 31 mai à 9 h, le

responsable analyse l"eau du bassin à l"aide d"un kit distribué par un magasin spécialisé.

Le taux de chlore disponible dans l"eau est alors de 1,25 mg/L(milligrammes par litre).

Document

Réglementationdes piscines publiques

ParamètrescontrôlésSeuils de qualité régle-mentaireIncidences sur la qualitéde l"eau

<2 mg/L : sous chloration

Au minimum 2 mg/LRisque de prolifération

Présence de Chlorebactérienne dans l"eau

Au maximum 4 mg/L>4 mg/L : surchloration

Irritation de la peau

Source : Agence Régionale de Santé

À partir du 1

erjuin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l"entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine.

Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsablesouhaite savoir si cet apport journalier

en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l" Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.

Partie A

présente dans l"eau du bassin len-ième jour suivant le jour de l"analyse, immédiatement après l"ajout dechlore.Ainsiu0est laquantité dechlorele 31 mai à9 hetu1est laquantité de chlore le 1 erjuin à 9 h après l"ajout de chlore. a.Le 31 mai à 9h, il y a une concentration de chlore de 1,25 mg/L; la piscine contient soit 750 grammes.

Doncu0=750.

La concentration de chlore était de 1,25 mg/L donc inférieure à 2 mg/L, donc le res- ponsable ne pouvait pas donner l"accès à la piscine le 31 mai à9h. b.Chaque jour, le chlore perd 25% de sa masse donc le 1erjuin il en reste :

750-25

100×750=562,5 g.

On rajoute tous les matins 570 g de chlore doncu1=562,5+570=1132,5. c.La masse de chlore perd 25% tous les jours donc elle est multipliée par 1-25

100=0,75.

De plus, on rajoute 570 g chaque matin.

Donc on passe de la masse de chlore au journà la masse de chlore au journ+1 en multipliant par 0,75 puis en ajoutant 570; autrement dit, pour tout entier natureln, u n+1=0,75un+570. d.On calculeu2=0,75u1+570=0,75×1132,5+570=1419,375. u 2 u1=1419,3751132,5≈1,25;u1u0=1132,5750=1,51;u2u1?=u1u0donc la suite (un) n"est pas géo- métrique.

2.Soit l"algorithme ci-dessous :

Métropole216 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

Variablesu:un nombre réel

N:un nombre entier naturel

k:un nombre entier naturel

Initialisation :Saisir la valeur deN

uprend la valeur 750

Traitement :Pourkallant de 1 àN

uprend la valeur 0,75u+570

Fin du Pour

Sortie :Afficheru

a.Cet algorithme permet de calculeruNpourNentier naturel. b.On complète le tableau suivant pourN=3 : VariablesInitialisationÉtape 1Étape 2Étape 3 u7501132,51419,3751634,53125 la piscine contient 600000 litres d"eau, il faut une masse dechlore comprise entre

2×600000=1200000 mg et 4×600000=2400000 mg, autrement dit il faut que la

masse de chlore soit comprise entre 1200 et 2400 grammes. La piscine pourra donc être ouverte pourn=2 soit le 2 juin à 9 h. c.La quantité de chlore le 15ejour estu15≈2259,554 grammes (à la calculatrice).

Partie B

Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On notednl"écart de quantité de chlore d"un jour à

l"autre en grammes. Pour tout entier natureln, on adn=un+1-un.

1. a.d0=u1-u0=1132,5-750=382,5;d1-=u2-u1=1419,375-1132,5=286,875;

d

2=u3-u2=1634,53125-1419,375=215,15625

b. d2 d1=215,15625286,875=0,75 etd1d0=286,875382,5=0,75 doncd0,d1etd2semblent être les termes d"une suite géométrique de raison 0,75.

2.un+1=0,75un+570=un-0,25un+570 doncun+1-un=-0,25un+570.

3.On admet que pour tout entier natureln, on adn+1=0,75dn; donc la suite (dn) est une

suite géométrique de raisonq=0,75 et de premier termed0=382,5. a.La suite (dn) est une suite géométrique de raisonq=0,75 et de premier terme d

0=382,5 donc, pour tout entier natureln, on a :dn=d0×qn=382,5×0,75n.

b.dn=382,5×0,75n??un+1-un=382,5×0,75n?? -0,25un+570=382,5×0,75n ??un=2280-1530×0,75n c.-1<0,75<1 donc limn→+∞0,75n=0 donc limn→+∞un=2280 Si le processus se poursuit sur le long terme, la masse de chlore dans la piscine va tendre vers 2280 grammes, ce qui permet de laisser la piscineouverte.

Métropole316 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

EXERCICE34 points

Quand l"oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre

carré(W/m

2), le niveau sonore du bruitresponsable de cette intensité acoustique est exprimé en

décibels (dB).

Document

Échellede bruit

Sources sonoresIntensitéNiveauSensation auditive acoustiquesonore (W/m2)arrondi

éventuellement

à l"unité

Décollage de la Fusée Ariane106180Exige une protection spéciale Turboréacteur102140Exige une protection spéciale Course de Formule 110130Exige une protection spéciale

Avion au décollage1120Seuil de douleur

Concert et discothèque10-1110Très difficilement supportable Baladeur à puissance10-2100Très difficilement supportable maximum

Moto10-570Pénible à entendre

Voiture au ralenti10-750Bruit courant

Seuil d"audibilité10-120,08Silence anormal

1.Quand l"intensité acoustique passe de 1 à 10, le niveau sonore passe de 120 à 130; quand

l"intensité passe de 10 à 100, le niveau sonore passe de 130 à 140. Il semble donc que quand l"intensité acoustique est multipliée par 10, le niveau sonore augmente de 10.

2.La relation liant l"intensité acoustiquexoùxappartient à l"intervalle?10-12;106?et le

niveausonoreestdonnéepar:f(x)=10 a.f(10x)=10 10 La conjecture émise en question1.est donc vérifiée. b.L"intensité acoustique d"une moto est de 10-5W/m2donc l"intensité acoustique de deux motos est de 2×10-5W/m2. Le niveau sonore de deux motos est donc :f?2×10-5?≈73 dB.

3.Pour éviter tout risque sur la santé, le port d"un casque de protection acoustique est donc

est conseillé est le nombrexsolution de l"inéquationf(x)>85; on résout cette inéqua- tion : f(x)>85??10 ln(x)>-35×ln(10)

10??x>e-35×ln(10)

10 e -35×ln(10) est conseillé.

Métropole416 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

EXERCICE46 points

LespartiesA et B sont indépendantes.

Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d"un tablier qui, une fois relevé,

permet le passage de bateaux de différentes tailles.

Position haute

tablier du pont chenal maritime route routePosition basse tablier du pont chenal maritimeroute route Hauteur du tablier en position haute : 7 mètres

Longueur du tablier : 30 mètres

Temps de montée du tablier : 2 minutes

Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes

Temps de descente du tablier : 2 minutes

Partie A - Sur la route

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont esten position haute. On s"inté-

resse ici au temps d"attenteD, exprimé en minutes, de l"automobiliste avant qu"il puissefranchir le canal, pont baissé (hors incident).

1.• Si le tablier se met à descendre dès que la voiture s"arrête,le temps d"attente sera de 2

minutes. • Si le tablier arrive en position haute au moment où la voiture s"arrête, le temps d"at- tente sera de 8+2=10 minutes. Le temps minimum d"attente d"un automobiliste quand le tablier est en position haute, est donc de 2 minutes, le temps maximum de 10 minutes.

2.On admet que le temps d"attente, en minutes, de l"automobiliste pour franchir le pont est

une variable aléatoireDqui suit la loi uniforme sur l"intervalle[2 ; 10].

D"après le cours :E(D)=2+10

2=6. Le temps d"attente moyen d"un automobiliste est de

6 minutes.

3.La probabilité que le temps d"attente de l"automobiliste nedépasse pas 5 minutes est :

P(D?5)=5-2

10-2=38=0,375.

Partie B - Sur l"eau

Lorsqu"un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoireTqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=0,05. Ce temps est appelé temps de latence.

1.E(T)=1

λ=10,05=20. Cela signifie que le temps moyen de latence est de 20 heures.

2.On considère la fonctionfdéfinie sur[0 ;+∞[parf(x)=0,05e-0,05x.

a.SoitFla fonction définie sur[0 ;+∞[parF(x)=-e-0,05x. F

Métropole516 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D STL spécialité SPCLA. P. M. E. P. b.On rappelle que pour tout nombre réeltde[0 ;+∞[,P(T?t)=? t 0 f(x)dx.

P(T?t)=?

t 0 f(x)dx=? F(x)? t

3. a.La probabilité que le temps de latence soit inférieur à 12 heures est :

b.La probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour est : c.En utilisant l"événement contraire :P(12?T?24)=1-(P(T<12)+P(T>24)) =1-(0,45+0,30)=0,25.

Métropole616 juin 2016

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