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Terminale STGANNALES de bac sur la fonction ln-CORRECTIONS2010-2011

EXERCICE 1Pondichéry 2011 - 5 points

1. On af?(x) = 30×1

x-10 =30-10xx.

2. Commexest supérieur à zéro, le signe def?(x) est celui du numérateur :

30-10x= 10(3-x) qui est du signe de 3-x.

Donc :

•si 1?x <3, f?(x)>0; la fonctionfest donc croissante sur [1 ; 3[; •f?(3) = 0; •si 3< x?8, f?(x)<0; la fonctionfest donc décroissante sur ]3 ; 8]. 3. xy y=f(x) 1 1 0 x f(x) 1 0

2 10.8

3 13

4 11.6

5 8.3 6 3.8 7-1.6 8-7.6

4. Le maximum de la fonction correspond àx= 3, soit pour 3 objets fabriqués, un bénéfice de 13 dizaines

d"euro soit 130 euros.

5. On constate qu"à partir de 7 objets produits le bénéfice devient négatif (17 euros de perte).

EXERCICE 21.fest dérivable sur [0,5 ; 6] et sur cet intervalle : f ?(x) = 2-4×1 x=2x-4x=2(x-2)x.

2. Commex >0, le signe def?(x) est celui dex-2. Doncx-2>0??x >2, alorsf?(x)>0 : la

fonctionfest croissante sur [2; 6]; x-2<0??x <2, alorsf?(x)<0 : la fonctionfest décroissante sur [0,5; 2].

3. On vient de voir quef?(2) = 0 : le coefficient directeur de la tangente à la la courbeCest égal au

nombre dérivéf?(2) = 0; donc la tangente est horizontale. Une équation deTesty= 2×2-3-4ln(2) = 1-4ln(2).

4. Sur [0,5; 2] la fonction décroît def(0,5) = 1-3-4ln(0,5) =-2 + 4ln(2)≈0,772 à

f(2) = 1-4ln(2)≈ -1,772. Sur [2; 6], la fonction croît def(2) = 1-4ln(2)≈ -1,772 àf(6) = 9-4ln(6)≈1,833. Conclusion : l"équationf(x) = 0 n"a qu"une seule solutionx0sur l"intervalle [2 ; 6].

La calculatrice donne :

f(4,5)≈ -0,02 etf(4,5)≈0,1, donc 4,5< x0<4,6. f(4,51)≈ -0,005 etf(4,52)≈0,006.

Conclusion :x0≈4,51.

5.f(1) =-1 etf?(1) =-2.

Une équation deT1est de la formey=-2x+b.

Orx= 1?y=-1 =-2×1 +b??b= 1.

Une équation deT1est doncy=-2x+ 1.

lycée Bertran de Born - Périgueux Terminale STGANNALES de bac sur la fonction ln-CORRECTIONS2010-2011

ANNEXE 1 à rendre avec la copie

xy O 12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5 6 7 8 T T1 EXERCICE 31.f?(x) = 2×0,5x-13 +55x+ 3=x-13 +55x+ 3=(x-13)(x+ 3) + 55x+ 3 x2+ 3x-13x-39 + 55 x+ 3=x2-10x+ 16x+ 3.

Or (x-2)(x-8) =x2-2x-8x+ 16 =x2-10x+ 16.

Doncf?(x) =(x-2)(x-8)

(x+ 3).

2. Commex?1, x+ 3?4>0, donc le signe def?(x) est celui de son numérateur que l"on trouve en

faisant un tableau de signes : x x-2 x-8 (x-2)(x-8)

Signe def?(x)

1 2 8 13

0++ -0+ 0-0+ 0-0+

3. Le signe de la dérivée donne les variations def:

x Signe def?(x)

Variations

def

1 2 8 13

0-0+ ≈3.75≈3.75 ≈4.52≈4.52 ≈ -0.12≈ -0.12 ≈16.47≈16.47

EXERCICE 41.f(0) = 0. Le nombre dérivéf?(0) est le coefficient directeur de la tangente au point

O est égale à 5 :f?(0) = 5.

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2. On trace la droite d"équationy= 1,5. Elle coupe la courbe (Cf) en trois points dont les abscisses sont

à peu près : 0,6; 1,7 et 3,2.

Partie B

1.fest dérivable sur [-0,5 ; 5] et sur cet intervalle

f ?(x) = 2x-9 +14 x+ 1.

2.f?(x) =(2x-9)(x+ 1) + 14

x+ 1=2x2+ 2x-9x-9 + 14x+ 1=2x2-7x+ 5x+ 1.

Or (2x-5)(x-1) = 2x2-2x-5x+ 5 = 2x2-7x+ 5, donc

f ?(x) =(2x-5)(x-1) x+ 1.

3. On a-0,5?x?5?0,5?x+ 1?6, doncx+ 1>0 et le signe def?(x) est celui du numérateur

est celui du produit (2x-5)(x-1) que l"on trouve grâce à un tableau de signes. x 2x-5 x-1 (2x-5)(x-1)

Signe def?(x)

Variations def

1 2 8 13

0++ -0+ 0-0+ 0-0+ ≈1.427≈1.427 ≈1.7≈1.7 ≈1.29≈1.29 ≈5.08≈5.08

4. Une équation de la droite (T) est :

y=f(0) +f?(0)(x-0) = 0 + 5x= 5x. 12345
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4 5-1-2 Cf(T) O lycée Bertran de Born - Périgueuxquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2