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Chapitre 4

Nombres complexes et exponentielle

complexe

Sommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .

85

4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .

85

4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants

89 4.1 Denition

Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.

Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition

estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres

complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :

(c)k:pa;bq pka;kbq.

On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus

simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition

et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel2b2iba 2b2. La preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe

Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point

Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.

Dans cette representation :

(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzq

Mpz1qMpz`z1q

xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzq

Mpizqa"?epzq?mpzq "b

´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq

Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b

?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,

l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.

UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq

θ"argpzq r2πs

1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.

Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).

Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On a

alors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de

module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.

OMpzqMpz1qz

1"zˆpcos?`isin?q

xy4.3 Exponentielle complexe

Denition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;

(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.

Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la

formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| eDes v aleursparticuli eresdes fonctions sin uset cosin us,on d eduitles v aleursparticuli eressuiv antesde

l'exponentielle complexe. m aj 28 ao^ut, 201783Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018 Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences0 6 4 3

2233456

e i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 23
34
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2

?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie

sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.

Consequence :

(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)

Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj

zzznfoishkkkkikkkkj e zezezezn. SinPZ, alorsn kaveckPNet alors, par denition, ezn1 ezk, maisezkekzdoncezn1e kzekzenz. Ennez01 par denition, mais 1e0e0zd'ouez0e0z.4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite

Denition 4.9SoitnPN. On appelle racinen-ieme de l'unite tout nombre complexe!tel que!n1. Remarque 4.10Pour toutkPZ, le nombre complexeei2kn ei2n kest une racinen-ieme de l'unite. De plus, s'il existepPZtel quek1kpn, alors : e i2k1n ei2pkpnqn ei2kn i2pei2kn ei2pei2kn pei2qpei2kn Proposition 4.11SoitnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racinesn-iemes de l'unite.

Ce sont les nombres :

e i2kn ei2n Preuve :Si!n1, alors!0, donc!reiavecr |!| PRetargp!q P r0;2r. On a alors : r nein1, d'ourn1 et doncr1 d'une part, etn0pmod 2qet doncn2k, c.-a-d.2kn aveckPZ, d'autre part. Ainsi, toute les racinesn-ieme de l'unite sont de la formeei2kn aveckPZ. De plus e i2k1n ei2kn si et seulement si2k1n 2kn r2s, c.-a-d. s'il existepPZtel que2k1n 2kn

2p, c.-a-d.

k

1kpn. Mais d'apres le theoreme de division euclidienne, pour toutk1PZ, il existe un unique couplepp;kq

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexes4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque

Denition 4.12SoientzPCetnPN. On appelle racinen-ieme deztout nombre complexe!tel que nz. Proposition 4.13SoientzeiPCetnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racines n-iemes dez. Ce sont les nombres : n?e i2kn

Preuve :c'est une consequence immediate de la proposition 4.11.4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque

D'apres la proposition 4.13 tout nombre complexe non nul a exactement 2 racines carrees, mais l'expression qui

en est donnee est sous forme polaire. On en donne ici une expression cartesienne.

SoitzaibPCet!xiytel que!2z; on a alors :

x

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