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7 fév 2011 · 3 1 Définition Définition 7 : Une similitude est une transformation qui multiplie les distances par un réel positif ou qui conserve le rapport des

Relations entre les rapports Le rapport de similitude est désigné par K 1 Le rapport entre les mesures de longueurs des segments homologues est égal au

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Le rapport doit être le même pour tous les côtés Page 2 Similitude Une similitude est une transformation du plan qui associe des figures semblables

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Notes de cours 7 1 Les figures semblables et les rapports de similitude Définition L'homothétie est une transformation géo transformation géo figure initiale

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Définition 6 On appelle similitude plane toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances c'est-à-dire, si A, B, C, D, A′,B′,C′ et D′ sont

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V - Triangles semblables I - Généralités Définitions Similitude Soit k un réel strictement positif • Une similitude de rapport k est une transformation du plan f

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Définition Une similitude de rapport 1, c'est-à-dire une transformation qui conserve les distances, est appelée isométrie Exemple : • Les translations, les

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rapport de similitude et s'exprime sous la forme suivante Ex : Les triangles ABC, DEF et GHI sont semblables Le DEF est un agrandissement du ABC

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La composée de deux similitudes de rapport k et k' est une similitude de a) Définition : Une similitude est dite directe si elle conserve les angles orientés

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Les similitudes

Table des matières

1 Rappels sur les nombres complexes

1.1 Expression d"un nombre complexe

1.2 Représentation d"un nombre complexe

1.3 Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

1.4 Application des complexes en géométrie

2 Transformations élémentaires

2.1 Définition

2.2 Isométrie

2.3 La translation

2.3.1 Définition et propriétés

2.3.2 Fonction complexe associée

2.4 La rotation

2.4.1 Définition et propriétés

2.4.2 Fonction complexe associée

2.4.3 Exemple

2.5 La réflexion

2.5.1 Définition et propriétés

2.5.2 Fonction complexe associée

2.6 L"homothétie

2.6.1 Définition et propriétés

2.6.2 Fonction complexe associée

2.6.3 Exemple

3 Similitude

3.1 Définition

3.2 Conséquences

3.3 Propriétés

3.3.1 Le produit scalaire

3.3.2 Les angles géométriques

3.3.3 Repère orthogonal

3.3.4 Conséquences

4 Écriture complexe d"une similitude

4.1 Similitude et triangle

4.2 Écriture complexe d"une similitude

14 1 2

5 Similitudes directes et indirectes

5.1 Définitions

5.2 Théorème

6 Similitudes directes

6.1 Propriétés d"une similitude directe

6.2 Comment définir une similitude directe?

6.2.1 Théorème

6.3 Figures clés de la similitude

7 Configuration de cercles sécants

7.1 Théorème

7.2 Application

21 PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

3 1

Rappels sur les nombres complexes

1.1

Expression d"un nombre complexe

êForme algébrique :

z=a+ib aveca=<(z)partie réelle dezetb==(z)partie imaginaire dez.

êForme trigonométrique :

z=r eiq=r(cosq+isinq) =r eiq avecr=jzjmodule dezetq=arg(z)argument dez êFormules de passage d"une ériture à l"autre : r=pa

2+b2et cosq=ar

et sinq=br êComplexe conjuguéz=aibouz=r eiqon a alorszz=jzj2 1.2 Représentation d"un nombre complexe êLe plan muni du repère ortho- gonal direct(O,!u,!v)est ap- pelé leplan complexe.

êz=a+ibest représenté par le

pointMde coordonnées carté- siennes(a,b)

êz=r eiqest représenté par

le pointMde coordonnées po- laires(r,q)

êOn dit queMest l"image dez,

et quezestl"affixedu pointM.

On note alorsM(z).

ConséquenceLe pointM0d"affixe le complexe conjugué dez,zest alors de

symétrique par rapport à l"axe des abscisses du pointM.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

41 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES1.3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

Propriété 1 :Opérations sur les conjugués, modules et arguments. êLe conjugué de la somme et du produit ne pose pas de problème.

En effet, on a :z+z0=z+z

0,zz=zz

0 zz 0 =z z

0(z06=0),z

n=(z)n êLe module du produit est le produit des modules mais pour l"addition, on ne peut rien dire.

On a :

jzz0j=jzj jz0j,jznj=jzjn zz

0=jzjjz0j,jzj=jzj

Attention :jz+z0j6jzj+jz0j

êL"argument du produit est la somme des argument. De même le quotient des arguments est la différence des arguments. argzz0=argz+argz0(mod 2p), argzn=nargz(mod 2p) arg zz 0 =argzargz0(mod 2p), argz=argz(mod 2p)1.4Application des complexes en géométrie êSoit 2 pointsAetBd"affixes respectiveszAetzB. On a alors : z !AB=zBzAetAB=jzBzAj êSoit 2 vecteurs!uet!vd"affixes respectiveszetz0. On a alors :

1)(!u,!v) =argz0z

(mod 2p) 2) !uet!vsontcolinéairessi :z0z est réel 3) !uet!vsontperpendiculairessi :z0z est imaginaire pur. êSoit quatre pointsA(zA),B(zB),A0(zA0)etB0(zB0). On a alors : !AB,!A0B0) =argzB0zA0z BzA (mod 2p)PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ 5 Remarque :Nous pouvons résumer par un schéma l"intervention des nombres complexes en géométrie.

Propriétés géométriques!Traduction!Relations entre affixesCalculs dansC!Traduction!Nouvelle prop.géométriques2Les transformations élémentaires et les fonctions

complexes associées 2.1 Définition Définition 1 :Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. À tout pointM, on associe un unique pointM0, et tout pointM0a un unique antécédent. SiTest la transformation, on noteT1la transformation réciproque. M T!

T1M0avecT(M) =M0etT1(M0) =MExemple :La translation, la rotation,la symétrie centrale, la réflexion ou

l"homothétie sont des transformations. Par contre la projection orthogonale n"est pas une transformation car une fois le point projeté, on ne peut plus revenir en arrière : l"antécédent n"est pas unique. Remarque :La transformation qui au pointMassocie lui-même s"appelle l"identité. Elle est notée :Id 2.2 Isométrie Définition 2 :Une isométrie est une transformation que conserve les distances. Soitiune isométrie : 8< :A i!A0 B i!B0on a alors :A0B0=ABRemarque : êLes isométries élémentaires sont : les translations, les rotations, les symé- tries centrales et les réflexions.

êOn distingue deux sortes d"isométrie :

1)Les déplacements: isomètries que conservent les angles orientés :

!O0A0,!O0B0) = (!OA,!OB)

On range dans cette catégorie : les translations et les rotationsPAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

62 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES2)Les antidaplacements: isométries qui changent les angles orientés en

leur opposé. (!O0A0,!O0B0) =(!OA,!OB) On range dans cette catégorie : les réflexions et les symétries glissées êL"image d"une droite par une isométrie est une droite. L"image d"un cercle par une isométrie est un cercle de même rayon.

Propriétés :Une isométrie conserve :

êLes distances :A0B0=AB

êLes aires :A=A0

êLe parallèlisme : si(D)//(D)alors(D0)//(D0)

êL"orthogonalité : si(D)?(D)alors(D0)?(D0)

êLes angles géométriques :[AOB=\A0O0B0

êLe milieu : siI=m[AB]alorsI0=m[A0B0]

êL"alignement : siA,BetCsont alignés alorsA0,B0etC0le sont aussi. êLe contact : siIest l"intersection des droites(D)et(D)alorsI0est l"inter- section de(D0)et(D0) 2.3

La translation

2.3.1

Définition et propriétés Définition 3 :Une translationtde vecteur!uest une transformation

définie par : M t!M0tel que!MM0=!uExemple :Image d"un trianglePropriétés :

êPour tous pointsAetB, on a :!A0B0=!AB

êLa translation n"admet pas de point fixe.

êLa translation réciproque est la translation de vecteur!u.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

2.4 LA ROTATION7êL"image(D0)d"une droite(D)par une translation est :

1.(D0)//(D)si la direction de(D)est différente de!u

2.(D0) = (D)si(D)et!uont même direction.

2.3.2

Fonction complexe associée

Si le vecteur

!u(b)de la translation a pour affixeb, alors l"imageM0(z0)du pointM(z)par la translationt, verifie : !MM0=!u z 0z=b z 0=z+b Conclusion :La fonction complexe associée à la tranlation est de la forme z 0=z+b 2.4

La rotation

2.4.1

Définition et propriétés Définition 4 :Une rotationrde centreWet d"angleqest une transforma-

tion définie par : M r!M0tel que(!WM,!WM0) =qetWM0=WMExemple :Image d"un triangle (q=p3 )Propriétés : êLa rotation possède un point invariant : son centre.

êUne rotation de centreWd"anglep2

correspond à un quart de tour direct notéQW.

êUnerotationdecentreWd"anglep2

correspondàunquartdetourindirect notéQ0W.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

82 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRESêUne rotation de centreWet d"anglepcorrespond à une symétrie centrale

de centreWnotéSW. êL"image(D0)d"une droite(D)est une droite telle que : (D0)et(D)forme un angleq. 2.4.2

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