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Quatrième partie

THERMODYNAMIQUE

3

TABLE DES MATIÈRES

IVTHERMODYNAMIQUE3

1 MODÈLE DU GAZ PARFAIT9

1.1Modèle microscopique du gaz parfait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.2La pression cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.3Théorème d"équipartition :Température cinétique. . . . . . . . . . . .13

1.1.4Équation d"état :Notion de gaz réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.2L"énergie interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.2.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.2.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.2.3Capacités calorifiques à volume constant. . . . . . . . . . . . . . . . .17

2 STATIQUE DES FLUIDES19

2.1 Équation fondamentale de la statique des fluides. . . . . . . . . . . . . . . .19

2.2Équilibre d"une atmosphère isotherme. Facteur de Boltzmann.. . . . . . . .20

2.2.1Variation de la pression avec l"altitude. . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.2.2Généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2.3Poussée d"ARCHIMÈDE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3 SYSTÈMES THERMODYNAMIQUES29

3.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.2Équilibre thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3.3Variables thermodynamiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3.4Transformations thermodynamiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

3.5Coefficients thermo-élastiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.5.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.5.2Relations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.5.3Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

4 PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 35

4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.1.1Travail échangé par un système :travail des forces de pression. . . .35

4.1.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

5

PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

4.1.3Transfert thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

4.1.4Divers formes de transfert d"énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

4.2Premier principe de la thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4.3Conséquences pratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.4Enthalpie d"un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.5Capacités thermiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.5.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.5.2Interprétation en terme de chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.6Détente de Joule-Gay Lussac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.7Détente de Joule-Thomson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.8Applications au gaz parfait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.8.1Loi de Joule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.8.2Relation de Mayer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.8.3Loi de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

4.8.4Formule de Reech. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

4.9Enthalpie d"une phase condensée dans le modèle incompressible et indilatable47

5 Second principe pour un système fermé49

5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE). . . . . . . . . . . . . . . .49

5.2IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5.2.1Différentielle de l"énergie interne d"un système simple fermé. . . . .51

5.2.2Pression et température thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . .51

5.2.3Première identité thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5.2.4Deuxième identité thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

5.3TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

5.3.1Adiabatique réversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

5.3.2Transformation quelconque : l"entropie d"un gaz parfait. . . . . . . .52

5.3.3Applications aux détentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

5.3.3.1Détente de Joule Gay-Lussac. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

5.3.3.2Détente de Joule Thomson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

5.4Entropie d"une phase condensée dans le modèle incompressible et indilatable54

5.5Énergie libreF,Enthalpie libreG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

5.5.1Énergie libreF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

5.5.2Enthalpie libreG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

5.6Troisième principe de la thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

5.6.1Facultatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

5.7 L"interprétation statistique de l"entropie . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .59

6 CHANGEMENT D"ÉTAT D"UN CORPS PUR61

6.1 Notions générales sur la changement d"état d"un corps pur. . . . . . . . . .61

6.2Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6.3Isothermes d"ANDREWS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.4Changement d"état en diagramme (P,T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

6.5Transfert thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.6Règles des moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

6.7Formule de CLAPEYRON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

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PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

7 MACHINES DITHERMES69

7.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

7.2Les différentes machines dithermes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

7.2.1Moteur thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

7.2.2Machine frigorifique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.2.3Pompe à chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.3MACHINES DE CARNOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

7.3.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

7.3.2Représentation du cycle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.3.2.1En diagramme TS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.3.2.2En diagramme PV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.4Expressions des rendements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

7.4.1Machines de Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

7.4.2Machines Réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

7.5Premier ppe de la thermo pour un système ouvert en écoulement permanent75

7.5.1Débit massique,débit convectif d"une grandeur extensive. . . . . . .75

7.5.1.1Débit massique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

7.5.1.2Débit convectif d"une grandeur extensive. . . . . . . . . . . .76

7.5.2Bilan enthalpique pour un écoulement permanent. . . . . . . . . . .77

8DIFFUSION DES PARTICULES79

8.1 DÉFINITION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

8.2Étude macroscopique de la diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

8.2.1Vecteur densité de courant de particules. . . . . . . . . . . . . . . . .79

8.2.2Loi de conservation de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

8.3LOI DE FICK . ÉQUATION DE DIFFUSION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

8.3.1Loi de FICK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

8.3.2Equation de diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

8.3.3Résolution de l"équation de diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

8.4MODÈLE MICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION DANS LE GAZ. . . . . . . .82

20 juin 2018Page -7- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

20 juin 2018Page -8- elfilalisaid@yahoo.fr

CHAPITRE1

MODÈLE DU GAZ PARFAIT

La thermodynamique est la partie de la physique qui s"interesse à l"étude des bilans d"énergie entre un système et le milieu l"extérieur, autrement dit c"est l"étude des propriétés physiques des corps en fonction de la température.

Définition

1.1Modèle microscopique du gaz parfait

1.1.1Définitions

?Un gaz estmonoatomiques"il est constitué d"un seul type d"atome célibataire.(gaz rares et vapeur des métaux) ?Un gaz estdiatomiques"il est constitué de deux atomes (O2,N2,CO,HCl,NO,···)

Considérons un gaz dans une enceinte :

P 9 PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT

Le gaz est considéré parfait si :

?Les particules du gaz sont ponctuelles (a). ?Pas d"interaction entre les particules (b). ?Le choc des particules avec la paroi est élastique(c).

Définition

En effet :

(a) : Soitvple volume propre d"une particule ( modèle des sphères dures). Soit N le nombre de particules que renferme l"enceinte.

Si on poseVple volume propre du gaz alors

Vp=Nvp

la condition (a) est équivalente à

Vp=Nvp?V=L×l×h

V=L×l×hle volume macroscopique.

Particules ponctuelles

SiVp?Valors les particules du gaz seront considérées comme ponctuelles ( i.e pas de volume propre) (b) :Pas d"interactions entre les particules c"est à dire :

Ep(microscopique)=EP,μ=0

Par conséquent l"énergie mécanique du gaz est purement cinétique.

Em,μ=Ec,μ+Ep,μ=?Em,μ=Ec,μ

(c) :Choc élastique c"est à dire

Ec(av)=Ec(ap)=?V?2=V2

Choc élastique

Si le choc est élastique alors la norme du vecteur vitesse est conservée avant et après choc 1.1.2

La pression cinétique

On rappelle que la pressionP(M)au point M est définit par

P(M)=dFdS

20 juin 2018Page -10- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT avec :dFl"intensité de la force moyenne exercée au point M etdSune surface élémen- taire entourant le point M. ?La pression est un scalaire positif, son unité dans le système international est la pascal tel que

1Pa=1N/m2.

?1Bar =105Pascal. ?1 atm =101325 Pascal. ?1 atm= 76 cm Hg. ?Dans le cas général La pressionP(M)en un point quelconqueMd"un fluide est définie par : d-→F=-P(M)-→dS=-P(M)dS-→n oùdSest un élément de surface quelconque entourant le point M, et-→nun vecteur unitaire normale à la surface dSorienté vers l"extérieur

Remarques

Soit un gaz parfait en équilibre dans un référentiel galiléenR,enfermé dans une en- ceinte de volume macroscopiqueV; à la températureT.

Ce gaz contientNparticules ponctuelles .

M dτ? (N,V) On appelle la densité particulaire au point M qu"on noten?le nombre de particules par unité de volume n?=dNdτ=?N=? V n?dτ

Cas particulier : Si le système

?est homogène alors la densité particulairen?est constante et par conséquentN=n?V n?=cte=?N=n?V On suppose que le système est isotrope c"est à dire que toutes les directions sont pos-

sibles et équiprobables c"est à dire que le vecteur vitesse peut prendre :±vx-→ex;±vy-→ey;±vz-→ez

et par conséquent la probabilité de

On appelle vitesse quadratique moyenne

-→ula racine carré de la valeur moyenne du carré de la vitesse : 3

20 juin 2018Page -11- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT On suppose pour la suite que tous les particules du gaz se déplacent avec lamême vitesse égale à la vitesse quadratique-→u. Déterminons la force que subit une particule lors du son choc avec la paroi de?. Pour cela appliquons la relation fondamentale de la dynamiquedans le référentielR galiléen Δt avecΔtla durée du choc etmla masse de la particule xy M v-→ v? Puisque le choc est élastique alors il y a conservation de l"énergie cinétique de la parti- cule avant et après le choc 1

2m-→v2=12m-→v?2=?v=v?

Par conséquent il y a conservation de la norme de la vitesse avant etaprès le choc .

ÉvaluonsΔ-→v

v ?sinα vsinα 0 0

Donc :

-→fΣ→P=-2mvcosα

Δt-→ex=--→fP→Σ

C"est une force normale à la surfaceΣau pointM.

Question

:Quelle est le nombredNde particules qui vont heurter une surface élémen- tairedSentourant le pointMpendant la duréeΔtdu choc? LesdNparticules ayant choc pendantΔtavecdSsont contenu dans un cylindre de vo- lume élémentaire

20 juin 2018Page -12- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT vΔt

αxy

M v-→dS

Donc le nombre de particules est

dN=12n?vdScosαΔt Le 1

2parce que les vitesses-→vet--→vont la même probabilité (12) et par conséquent la

force pressante moyenned-→Fau point M du au choc à pour expression x

Sachant quevx=vcosα=?< v2x>=-→u2

3On conclut donc que

d-→F=13mn?-→u2dS-→ex

On tire que la pression au point M est

P(M)=13mn?-→u2

On remarque que cette pression est proportionnelle à l"énergie cinétique ,elle est nom- méepression cinétique Comme n?=NV=?PV=13mN-→u2=n13mNA-→u2 1.1.3 Théorème d"équipartition :Température cinétique

On admet le théorème suivant :

À chaque terme quadratique dans l"expression de l"énergie totale d"une particule on fait associer1 2kBT

ThéorèmeThéorème d"équipartition

aveckB=1.38.10-23JK-1:constante de Boltzmann

20 juin 2018Page -13- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT

T est ditetempérature cinétique.

1.kB=RNA=?R=NAkB

2. Est-ce que les termes suivants sont quadratiques ou non?

Termemgz1

2kx2mgl(1-cosθ)1

2mg?θ2QuadratiqueNonouinonoui

Remarques

Activité

?Gaz parfait monoatomique

On a :em=

ec=12mu2=12m(V2x+V2y+V2z)

Par conséquent :

em=ec=32KT ?Gaz parfait diatomique Pour un gaz parfait diatomique la distance entre les atomes est constante (modèle clas- sique) , chaque particule possède cinq degrés de liberté (xG,yG,zG) les coordonnées du barycentreGet deux de rotations?,θautour deGet par conséquent : e c=1 em=52kBT 1.1.4

Équation d"état :Notion de gaz réel

?On appelle paramètre d"état ou variable d"état d"un système thermodynamique une variable qui décrit l"état macroscopique du système . température , volume, nombre de particule , pression ....

Exemple

?On appelle équation d"état une équation entre les variablesd"état; pour les gaz elle est de la formef(P,T,V,N)=0 ?L"équation d"état d"un gaz parfait est

PV=nRT=NkBT

Avecnle nombre de mole du gaz ,Rla constante des gaz parfaits etkBla constante de

Boltzmann

R=NAkB==8,314JK-1

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PCSI-LYDEX1.1.MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT On peut définir la température cinétique d"un gaz parfait monoatomique par

PV=NKT=13mN-→u2=?T=m-→u23K

Remarque

On trace dans le diagramme d"amagaty=PV=f(P)àT=cte G.P G.R G.R Py=PV Dans le diagramme d"amagaty=PV=f(P)est une droite horizontale. Pour un gaz réely=PV=f(P)est une courbe qui coincide avec celle du gaz parfait en faible pression (P→0)(ou à volume infini (V→ ∞)

Conclusion:

Tout gaz réel tend vers un gaz parfait à pression faible ou à volume infini lim?P→0ouV→∞GR=GP Un gaz est dit réel lorsque il n"est pas parfait c"est à dire au moinssi : ?Les particules ne sont pas ponctuelles : possèdent un volume propre pas négli- geable. ?Le choc avec la parois n"est pas élastique. ?L"interaction entre les particules n"est pas négligeable : le système admet une éner- gie potentielle microscopique. Il existe plusieurs équation d"état pour les gaz réel ,la plus utilisée est celle du Van

Dear Waals :

(P+n2aV2)(V-nb)=nRT ?breprésente le volume propre d"une mole de particules , nomméle covolume ?n2a V2traduit la pression du aux chocs entre les particules , nomméla pression in-

20 juin 2018Page -15- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.2.L"ÉNERGIE INTERNE

terne Dans l"équation d"état du gaz de Van Dear Waals sia=b=0alors on retrouve l"équation d"état du gaz parfait

Remarque

1.2L"énergie interne

1.2.1Définition

l"énergie interneUd"un système est l"énergie mécanique moyenne dans un référen- tiel galiléenR?ou le système est au repos, sans interaction avec aucun champ extérieur :

U=Ec/R?+Epint

?Ec/R?:l" énergie cinétique microscopique moyenne du gaz ?Epint:énergie potentielle d"interaction entre les différents particules du système. 1.2.2

Applications

?Pour un gaz parfait monoatomique on a les particules sont ponctuelles , chaque particule possède trois degrés de liberté (x,y,z) et par conséquent : e c=1

2mv2x+12mv2y+12mv2zetep=0doncem=ec+ep=ecd"où :

U=Em=32NkBT=32nRT

?Pour un gaz parfait diatomique la distance entre les atomes est constante (modèle classique) , chaque particule possède cinq degrés de liberté (xG,yG,zG) les coordonnées du barycentreGet deux de rotations?,θautour deGet par conséquent : e c=1

2mv2Gx+12mv2Gy+12mv2Gz+12J??2+12Jθθ2etep=0doncem=ec+ep=ecd"où :

U=Em=52NkBT=52nRT

Pour un gaz parfait l"énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule ), par contre pour un gaz réel son énergie interne dépend de la tem- pérature et du volume c"est à dire

U=U(T,V)

Remarque

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PCSI-LYDEX1.2.L"ÉNERGIE INTERNE

1.2.3Capacités calorifiques à volume constant

On définit la capacité calorifique à volume constant d"un gaz par:

Cv=∂U∂T?

V=ct(J.K-1)

Pour un gaz parfait :

?monoatomique

Cv(GPM)=32nR

?diatomique

Cv(GPD)=52nR

On définit aussi les capacités calorifiques

?molaires à volume constant par

Cvm=Cvn(J.K-1.mol-1)

?massiques à volume constant cv=Cvm(J.K-1g-1)

Pour un gaz parfait :

?monoatomique

Cvm(GPM)=32R,cv(GPM)=32RM

?diatomique

Cv(GPD)=52R,cv(GPD)=52RM

AvecMla masse molaire du gaz parfait.

On récapitule

G.P.MG.P.D

U(J)3 2nRT 5 2nRT

Cv(J.K-1)3

2nR 5 2nR

Cv,m(J.K-1.mol-1)3

2R=12,47

5

2R=20,8

cv(J.K-1.kg-1)3R 2M 5R 2M

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PCSI-LYDEX1.2.L"ÉNERGIE INTERNE

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CHAPITRE2

STATIQUE DES FLUIDES

2.1 Équation fondamentale de la statique des fluides

Soit un fluide (liquide ou gaz) :

Homogène :Sa masse volumiqueρ(M)est la même en tout pointMdu fluide. On suppose que le fluide est soumis à l"action du champ de pesanteur -→gsupposé uniforme, enéquilibredans un référentielRsupposé galiléen . Considérons une tranche du fluide horizontale comprise entre les altitudeszetz+dz possédant un surfaceS y z x -→g -→F(z+dz) -→F(z)zz+dz Inventaire des forces appliquées sur cette tranche de hauteurdz ?Le poidsd-→P=-dm-→g=-ρSdzg-→ez ?La force pressante à la hauteurz+dz:-→F(z+dz)=-P(z+dz)S-→ez ?La force pressante à la hauteurz:-→F(z)=P(z)S-→ez La condition d"équilibre s"écrit :-ρSdzg-→ez-P(z+dz)S-→ez+P(z)S-→ez=-→0

On tire que

dP dz+ρg=0 19 PCSI-LYDEX2.2.ÉQUILIBRE D"UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME. FACTEUR DE BOLTZMANN. C"est l"équation fondamentale de la statique des fluides projeté sur l"axe deszorienté vers le haut On suppose que le fluide est incompressible : sa masse volumique est constante.

Par intégration on trouve :

P(z)+ρgz=cte

C"est à dire que siz?=?P(z)?et vice versa.

Pour déterminer la constante on fixe un niveau de référence : la surface libre ou la pres- sion vaut la pression atmosphérique.Et suivant le choix de l"origine du point O c"est à direz=0soit en surface soit au fond du fluide.

1. Az=hon aP=Patm?Patm+ρgh=cte

d"oùP(M)-Patm=ρg(h-z)=Pe(M)avecPe(M)la pression effective. 2.

P(B)-P(A)=ρg(zA-zB)

3. Les isobares (l"ensembles des points M tel queP(M)=cte) sont des plans

horizontaux ( ?-→ez)

Remarque

Baromètre de Torricelli

Activité

hh ≈vide

Mercure (Hg)

Patm-0=ρghavech=76 cm Hg

2.2 Équilibre d"une atmosphère isotherme. Facteur de

Boltzmann.

2.2.1Variation de la pression avec l"altitude

On suppose que :

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PCSI-LYDEX2.2.ÉQUILIBRE D"UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME. FACTEUR DE BOLTZMANN.

1. L"atmosphère est un gaz parfait

2.T=ctedans toute l"atmosphère (atmosphère isotherme)

3. -→guniforme

4. L"atmosphère est en équilibre hydrostatique :les particulesde l"atmosphère ne

bougent pas (pas d"énergie cinétique microscopique)

On a :

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