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II Equations produit On appelle « équation produit » une équation qui s'écrit sous la forme d'un produit de facteurs égal à zéro Exemple : (2x + 3) (4x – 2) = 0  

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C'est une équation produit et par théorème : Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul • Donc on a ici :

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Sources : Diabolo 3e (Hachette, 2008) ; DiMathème 3e (Didier, 2008) et Maths 3e (Bréal, 2008) http://pysa free fr/ 3FA01 – LES EQUATIONS PRODUIT-NUL III

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I) Equation produit-nul

1) Définition :

Une équation produit-nul

produit égale à 0

Exemples :

somme

2) Propriété :

l. Donc, pour tout nombre réel a nous pouvons écrire : ૙ൈࢇൌ૙ou ࢇൈ૙ൌ૙

3) Propriété Réciproque :

Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul. Donc, si ࢇൈ࢈ൌ૙ alors ࢇൌ૙ou ࢈ൌ૙ puis on résout séparément les deux équations :

Exemple :

C-nul :

Les solutions de cette équation sont les nombresݔ tels que : ͻݔെ͹ൌͲou ͷݔ൅ͻൌͲ

ͻݔൌ͹ ou ͷݔൌെͻ

ଽou ݔൌ െଽ ଽet െଽ II) Equations se ramenant à une équation produit-nul Par contre si on regarde bien, nous pouvons voir que cette expression peut se factoriser łOn se ramène à une équation produit-nul en remplaçant nombresݔ tels que :

͹ݔ൅͵െ͵ൌͲെ͵ ou ͸ݔ൅͸െ͸ൌͲെ͸

͹ݔൌെ͵ ou ͸ݔൌെ͸ ଷ ou ݔൌ ି଺ Les solutions de cette équation sont ି଻ ଷ etെͳ 2) remarquables

Exemples

Méthode :

łOn remarquable et on factorise :

nombresݔ tels que : ͺݔെͻൌͲ ou ͺݔ൅ͻൌͲ

ͺݔെͻ൅ͻൌͲ൅ͻ ou ͺݔ൅ͻെͻൌͲെͻ

ͺݔൌͻ ou ͺݔൌെͻ

଼ൌͳǡͳʹͷ ou ݔൌ ିଽ

Méthode :

łOn remarquable et on factorise :

nombresݔ tels que : ͷݔെͷൌͲ ou ͷݔ൅͵ൌͲ

ͷݔെͷ൅ͷൌͲ൅ͷ ou ͷݔ൅͵െ͵ൌͲെ͵

ͷݔൌͷ ou ͷݔൌെ͵

ହൌͳ ou ݔൌ ିଷ

1) Propriété

Exemples :

ł ݔ; = -2 na pas de solution

ł x² = 0 a une seule solution qui est 0

2) Démonstration de la propriété

Résoudre lݔ;ൌܽ revient à résoudre ݔ;െܽ

Dans le cas où ܽ൐Ͳ cela revient à résoudre léquation produit nul : ൫ݔെξܽ൯൫ݔ൅ξܽ

Les solutions de cette équation sont les nombres ݔ tels que : ݔെξܽൌͲ ou ݔ൅ξܽ ݔൌξܽ ou ݔൌെξܽ Les deux solutions sont ξࢇ et െξࢇ

Lunique solution est donc 0

être égal à un nombre négatif (ܽ

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