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Diagonalisation, trigonalisation Diagonalisation de matrices • le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres

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Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire supérieure Définition 2 Soit T ∈ Mn(K) une matrice carrée `a coefficients dans K, K = R ou C Elle 

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Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c' est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire supérieure On présente 

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4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, nous commençons par calculer les 

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Une matrice A est trigonalisable si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont réelles Pratique de la trigonalisation Soit A ∈ Mn(R) une matrice de 

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2 4 Crit`eres de diagonalisation 2 5 Méthode de diagonalisation – Exemples 3 Trigonalisation 3 1 Matrices triangulaires – endomorphismes trigonalisables

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matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donnée On suppose que  

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Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1 Trigonalisation On rappelle qu' 

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Trigonalisation d'une matrice 3x3 On note de matrice dans la base canonique de est triangulaire supérieure et déterminer la matrice de passage de la base 

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1 4 2 Trigonalisation Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori x3 = 0 et x1 + x2 − 3x3 = 0 et x2 − 3/2x3 = 0) 25 

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Triangularisation, jordanisation, exponentielle dematrices

1 Triangularisation

SoientEun espace vectoriel de dimensionnet?un endomorphisme deEde matrice Adans une base donn´ee. On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit

1,...,λnles valeurs propres (non n´ecessairement 2 `a 2 distinctes).

Th´eor`eme 1.1.Il existe une base telle queP´etant la matrice de changement de base la matriceP-1APestr triangulm`ere sup´erieure. P -1AP=(

1?...?

0λ2?...?

0...0λi? ?

0...0λn)

La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation. On va donc en donner les grandes lignes. Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence. On suppose donc que l"on sait d´emontrer le th´eor`eme `a l"ordren-1. Puis on cherche une valeur propreλet un vecteur propreede l"endomorphisme associ´e (ou ce qui est

´equivalent de la matriceA).

On compl`ete en une base deE: (e,v2,...,vn). La matrice de?est dans cette base de la forme : ?λ L 0B?

Soit siPest la matrice de passage

P -1AP=?λ L 0B? On applique `a la matriceB(n-1,n-1) l"hypoth`ese de r´ecurrence. C"es-`a-dire que l"on peut trouver des vecteursw2,...,wn(qui forment une base du sous-espace engendr´e par v

2,...,vn) tels que si on noteP?la matrice de passage de (v2,...,vn) `a (w2,...,wn) la

matriceP?-1BP?est triangul`ere. Donc ?1 0

0P?-1?

P -1AP?1 0 0P?? =?1 0

0P?-1??λ L

0B?? 1 0 0P?? Soit ?1 0

0P?-1?

P -1AP?1 0 0P?? =?λ LP?

0P?-1BP??

qui a les propri´et´es requises. 1

2 R´eduction de Jordan en dimension2et3

On va donner une autre mani`ere de proc´eder dans des cas particuliers. D"abord : D´efinition 2.1.On appelle r´eduite de JordanJk(λ)la matrice(k,k): ((((λ1 0...

0λ1...

...0λ1

0...0λ)

Une matriceA(2,2), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable a une valeur propre doubleλ. Proposition 2.2.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente il existePtelle queP-1AP=J2(λ). On dira qu"on a jordanis´e la matrice. Une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suivante. On choisit un vecteurvtelle quew= (?-λId)(v)soit non nul. Alors(w,v) (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. On notera que comme on a suppos´eAnon diagonalisable on a ´elimin´e le casA=λI2qui a une valeur propre double. Pour une matriceA(3,3), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable on a deux situations possibles : •Une valeur propre tripleλ. •Une valeur propre doubleλet une valeur propre simpleμ. Proposition 2.3.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente : Dans le premier cas on a toujours(?-λId)3= 0, par Caley Hamilton et par hypoth`ese ??=λId. •Sidim(Eλ) = 1il existePtelle que P -1AP=J3(λ) dim(Eλ) = 1ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2?= 0. •Sidim(Eλ) = 2il existePtel que P -1AP=?J2(λ) 0

0λ?

ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2= 0. Pour le premier sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurwtel queu= (?-λId)2(w)soit non nul. Alors(u,v,w), avecv= (?-λId)(w), (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. Pour le second sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurvtel queu= (?-λId)(v)soit non nul. Alorsuest un vecteur propre. On compl`eteuen une base deEλparw,(u,v,w), (dans l"ordre) est la (une) base had oc. 2 •Dans le second cas on peut trouverPtelle que P -1AP=?J2(λ) 0

0μ?

On cherche un vecteurwpropre associ´e `aμ. Puis on cherche une base de¯Eλ= ker(?-λId)2. Par hypoth`ese ce sous-espace est de dimension2etdim(Eλ) = 1. On cherche un vecteurvde¯Eλtel queu= (?-λId)(v)?= 0,(u,v,w)fournit la base cherch´ee.

Voici un exemple, soit la matriceA:

(2-2 2 2 2 2

1 1 2)

2 est valeur propre triple, le sous espace propre est de dimension 1, (1,1,-1) est vecteur

propre. On cherche un vecteur?wdeR3tel que (A-2I3)2(?w)?= 0. On peut prendre le vecteur u

3= (0,0,1). Auquel cas on poseu2= (A-2I3)(u3) = (2,2,0) etu1= (A-2I3)(u2) =

(-4,4,4) et (u1,u2,u3) forment une base de jordanisation. Comme application on peut calculerAnpour tout entiern,n≥0. On poseN=A-2I3. On sait queN3= 0 (Caley Hamilton ou on fait un calcul direct). On ´ecrit A n= (2I3+N)n= 2nI3+n2n-1N+n(n-1)22n-2N2 par application de la formule de Newton, en utilisantN3= 0. CommeN2est ´egale `a (-2 2-4 2-2 4

2-2 4)

on laisse au lecteur le soin d"´ecrire les formules finales.

Voici un autre exemple, soit la matriceA:

(1 0 1 -1 2 1

1-1 1)

1 est valeur propre double, 2 est valeur propre simple.

Le vecteure3= (1,0,1) est vecteur propre associ´e `a 2. Le vecteure3= (1,1,0) est vecteur propre associ´e `a 2,E1est de dimension 1. On cherche une base du sous-espace¯E2= ker(?-2Id)2. On constate quee1= (0,0,1) ete2= (1,0,1) forment une telel base et que (?-2Id)(e2) =e1.

On a la base souhait´ee.

3

3 Sous-espaces caract´eristiques

Si?est un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionndont le polynˆome caract´eeistique est scind´e : c ?(X) = (-1)n(X-λ1)α1...(X-λr)αr

avec lesλi2 `a 2 distincts on d´efinit le sous-espace caract´erisqtique associ´e `aλipar

Eλi= ker(?-λiId)αi

Il est clair que

E

λi?¯Eλi

On admettra

E=¯Eλi?¯Eλ2?...?¯Eλr

4 Jordanisation en dimension4

Cet exemple sera juste abord´e, voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d"ordre 4. D"abord on remarque que (?-λId)4= 0. •La matriceI4. •Si dim(Eλ) = 1 alors il existePtelle queP-1AP=J4(λ). On trouve une base de Jordanisation en cherchantutel que (?-λId)3(u)?= 0. •Si dim(Eλ) = 2 alors il y a deux sous cas, soit (?-λId)2= 0. existePtelle que P -1AP=?J2(λ) 0

0J2(λ)?

On trouve une base de Jordanisation en cherchant deux vecteurs ind´ependantsxet vtel queu= (?-λId)(x)?= 0 etw= (?-λId)(v)?= 0, (w,v,u,x) est la base cherch´ee. soit (?-λId)2?= 0; alors il existePtelle que P -1AP=?J3(λ) 0

0λ?

On trouve une base de Jordanisation en cherchant un vecteurutel quew= (?- λId)2(u)?= 0, on posev= (?-λId)(v), on compl`ete la base du sous-espace propre parx, (w,v,u,x) est la base cherch´ee. •Enfin si dim(Eλ) = 3 alors il existePtelle que P -1AP=( (J

2(λ) 0 0

0λ0

0 0λ)

On se reportera au cas (3,3).

4

5 Classification des matrices r´eelles et complexes(2,2)

r´ecapitulatif

Faire le r´ecapitulatif au tableau.

6 Exponentielle de matrices

Cette section est rajout´ee ici en compl´ement en fin de l"alg`ebre lin´eaire. Etant donn´ee

une matrice carr´eeA(n,n) on poseAk= (a(k) i,j Proposition 6.1.Pour toute matriceAet tout(i,j)la s´erie num´erique de terme g´en´eral (index´e park)a(k) i,jk!converge absolument. D´efinition 6.2.La matriceeA= exp(A)est donn´ee par exp(A) = (? k≥0a (k) i,jk!) exp(( 10...

0λ20...

...0λn) ((e

λ10...

0eλ20...

...0eλn) •SiAB=BAalors exp(A+B) = exp(A)exp(B) = exp(B)exp(A) (exp(A))-1= exp(-A) exp(P-1AP) =P-1exp(A)P ddt(exp(tA)) =Aexp(tA) •Calculer exp(Nk). •Montrer que expJk(tλ) =etλ( (((((((((1tt22...tii!...tk-1(k-1)!

0 1t ...tk-2(k-2)!

0... ... ... ...

0...1tt220... ...1t

0... ... ...1)

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