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31 jan 2021 · Définition 1 : La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction déri- montrant que la fonction exp ne s'annule pas sur R (cf cours 

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DERNIÈRE IMPRESSION LE10 février 2023 à 13:47

Rappels sur la fonction exponentielle

Fonction logarithme népérien

Table des matières

1 Rappels sur la fonction exponentielle2

1.1 Définition et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonction logarithme népérien4

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Propriétés algébriques de la fonction ln6

3.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Quotient, inverse, racine carrée et puissance. . . . . . . . . . . . . . 6

4 Étude de la fonction ln7

4.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Le logarithme décimal11

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12

5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 RAPPELS SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE

1 Rappels sur la fonction exponentielle

1.1 Définition et propriétés

Définition 1 :La fonction exponentielle, notée exp, est l"unique fonction déri- vable surRégale à sa dérivée et vérifiant : exp(0) =1. Remarque :En admettant l"existence d"une telle fonction, on montre l"unicité en montrant que la fonction exp ne s"annule pas surR. (cf cours première spé)

Théorème 1 :Propriétés

•Relation fonctionnelle :?a,b?R, exp(a+b) =exp(a)×exp(b).

•Positivité :?x?R, exp(x)>0

•Monotonie : La fonction exp est croissante surR •Notation d"Euler : On pose exp(x) =exavece=exp(1)≈2,718 ?a,b?R:ea+b=eaeb;e-a=1 ea;ea-b=eaeb;ena= (ea)n,n?N Remarque :La relation fonctionnelle pourrait servir de définition à la fonction exponentielle : "unique fonction qui prend la valeur 1 en 0 et qui transforme une somme en produit».

Algorithme :On obtient une approximation

deepar l"approximation affine de l"exponen- tielle ena:ea+p≈ea(1+p)oùpest le pas. e(0.000 1) renvoie 2,718 defe(p) : e=1 foriin range(int(1/p) ) : e=e?(1+p) returne

Théorème 2 :Équation et inéquation

•De la monotonie de la fonction exp, on a :ea=eb?a=b •De la croissance de la fonction exp, on a :ea>eb?a>b

•Résoudre dansR:e2x2+3=e7x

e

2x2+3=e7xmonotonie?2x2+3=7x?2x2-7x+3=0

Δ=25=52, d"oùx1=7+5

4=3 oux2=7-54=12soitS=?12; 3?

•Résoudre dansR:e3x?ex+6

e

3x?ex+6exp??3x?x+6?2x?6?x?3 soitS=]-∞; 3]

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.2 LIMITES

1.2 Limites

Théorème 3 :On a : limx→+∞ex= +∞et limx→-∞ex=0 Démonstration :Soit la fonctionfsuivante :f(x) =ex-x. fest dérivable surR:f?(x) =ex-1, et de la croissance de la fonction exp f ?(x)>0?x>0 etf?(x)<0?x<0

On obtient le tableau de variations suivant :

Du tableau de variation on en déduit que :

?x?R,f(x)>0 doncex>x lim x→+∞x= +∞, par comparaison : limx→+∞ex= +∞.x f ?(x) f(x) -∞0+∞ 0+ 11 En-∞, on poseX=-x, d"où : limx→-∞ex=limX→+∞e-X=limX→+∞1eX=0.

1.3 Courbe représentative

D"après les résultats obtenus, on a le tableau de variation et la courbe suivante : x e x e x 00 0 1 1 e T

0:y=x+1

T

1:?y=e x

passe par l"origine

1 2-1-2-31

234
e OT0 T1 y=ex

1.4 Des limites de référence

Théorème 4 :On a : limx→0e

x-1x=1 Démonstration :Découle de la définition de la dérivée en 0 de exp. lim x→0e x-e0 x=exp?(0) =exp(0) =1

Théorème 5 :Croissance comparée

?n?N, limx→+∞e x xn= +∞et limx→-∞xnex=0

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

2 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Démonstration :On a montré au paragraphe 1.2 que :?x?R,ex>x.

Pourx>0, on poseX=x

n+1, la fonction puissance étant croissante surR+: e

X>X?ex

n+1>xn+1↑n+1?? ex n+1? n+1 >xn+1(n+1)n+1?ex>xn+1(n+1)n+1

On divise parxn>0,ex

xn>x(n+1)n+1or limx→+∞x(n+1)n+1= +∞.

Par comparaison, on en déduit que : lim

x→+∞e x xn= +∞. Pour la deuxième limite, on poseX=-x, d"où : lim eX=0 Remarque :: On retiendra que : " en l"infini,exl"emporte surxn».

2 Fonction logarithme népérien

Avant propos

La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écos- sais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers.Il crée alors une fonctionfqui transforme le produit en somme :f(ab) =f(a) +f(b).

2.1 Définition

Définition 2 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0 ;+∞[surRtelle que :x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle.

On a alors : ln1=0 et lne=1 ainsi que

•?x?R, lnex=x•?x?]0 ;+∞[,elnx=x

Remarque :Cette fonction existe car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0 ;+∞[, donc d"après le TVI l"équationx=ey, d"inconnueyavecx?]0 ;+∞[, admet une unique solution lnx. ?Faire attention à l"ensemble de définition de ln :]0 ;+∞[.

Démonstration :1=e0donc ln1=0 ete=e1donc lne=1

?y?R,x=eyln?lnx=lneyy=lnx?y=lney ?x?]0 ;+∞[,y=lnxexp?ey=elnxx=ey?x=elnx

Exemple :lne-2=-2 eteln5=5

PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ

2.2 REPRÉSENTATION

2.2 Représentation

Théorème 6 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :SoitClnetCexples courbes respectives des fonctions ln et exp.

Soitx?]0;+∞[ety?R

M(x;y)?Cln, doncy=lnxsoitx=ey, d"où M"(y;x)?Cexp. C lnetCexpsont donc symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. e e Cln

Cexpy=x

xyyx M" M O 11

2.3 Variation de la fonction logarithme

Théorème 7 :La fonction ln est strictement croissante sur]0 ;+∞[ Démonstration :Soita,b?]0 ;+∞[etalnb?a>b Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre équations et inéquations. On veillera à déterminer les conditions de validité de l"équation oude l"inéquation.

PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ

3 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION LN

Exemples :

•Résoudre ln(2-2x) =1.

Validité : 2-2x>0?x<1 doncDf=]-∞; 1[

x?Df, ln(2-2x) =1?ln(2-2x) =lne?2-2x=e?x=2-e 2 2-e

2<0?DfdoncS=?2-e2?

•Résoudre ln(2x+1)?-1

Validité : 2x+1>0?x>-1

2doncDf=?

-12;+∞? x?Df, ln(2x+1)?-1?ln(2x+1)?lne-1?2x+1?e-1? x?e-1-1

2×e?x?1-e2e≈ -0,32

1 2 1-e 2e

DfSS=?

-12;1-e2e?

3 Propriétés algébriques de la fonction ln

3.1 Relation fonctionnelle

Théorème 8 :Pour tousa,b?]0 ;+∞[: lnab=lna+lnb Démonstration :elna+lnb=elna×elnb=ab=elnabdoncelnab=elna+lnb. De la monotonie de la fonction exp : lnab=lna+lnb. Remarque :Cette propriété est à l"origine de la fonction logarithme.

Exemple :ln6=ln(2×3) =ln2+ln3

3.2 Quotient, inverse, racine carrée et puissance

Théorème 9 :Pour tousa,b?]0 ;+∞[, on a :

•lnan=nlnaavecn?N

Remarque :On peut considérer que⎷a=a12car ln⎷a=12lna Démonstration :De la monotonie de l"exponentielle :

PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ

•Poura=1 on a alors ln1b=ln1-lnb=-lnb

•Dea=⎷a×⎷adonc d"après la relation fonctionnelle, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna •Par récurrence à l"aide de la relation fonctionnelle : lnan=nlna. Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés.

•ln50=ln(2×52) =ln2+ln52=ln2+2ln5

•ln⎷12=12ln12=12ln(22×3) =12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3

•Déterminer l"entierntel que 2n>10 000

De la croissance de la fonction ln : ln2

n>ln104?nln2>4ln10

On obtient alors :n>4ln10

ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 •Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx

Validité :

?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0?Df=?3 2; 6? x?Df, ln⎷

2x-3=ln(6-x)-12lnx×2?ln(2x-3) =2ln(6-x)-lnx?

lnx+ln(2x-3) =2ln(6-x)?ln[x(2x-3)] =ln[(6-x)2]? x(2x-3) = (6-x)2?2x2-3x=x2-12x+36?x2+9x-36=0

Δ=225=152d"oùx1=-9+15

2=3?Dfoux2=-9-152=-12 /?Df

on conclut par :S={3}

4 Étude de la fonction ln

4.1 Dérivée

Théorème 10 :La fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et :(lnx)?=1x Démonstration :On admet que la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[ Soit la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[par :f(x) =elnxouf(x) =x fest dérivable comme composée de fonctions dérivables : f ?(x) =ln?x×elnx=xln?xouf?(x) =1

On a doncxln?x=1?ln?x=1

x

PAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ

4 ÉTUDE DE LA FONCTION LN

4.2 Limite en 0 et en l"infini

Théorème 11 :On a : limx→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞

Démonstration :

•Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition :

SoitM>0 : lnx>Mexp??x>eM. On a alors :

Tout intervalle]M;+∞[contient toute les valeur de lnxsix?]eM;+∞[.

Conclusion : lim

x→+∞lnx= +∞. •En 0+, on poseX=1x, d"où six→0+alorsX→+∞. On obtient alors : lim x→0+lnx=limX→+∞ln1

X=limX→+∞-lnX=-∞

4.3 Tableau de variation et courbe

D"après les résultats obtenus, on a le tableau de variation et la courbe suivante : x 1 x lnx

0+∞

1 0 e 1 T

1:y=x-1 Te:???y=1

ex passe par l"origine

1 2 3 4 5 6 7

-1 -2 -31 2e y=lnx T1Te O

4.4 Des limites de référence

Théorème 12 :On a : limx→0ln(1+x)x=1

Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1 : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limh→0ln(1+h)-ln1 h=limh→0ln(1+h)h??????? limh→0ln(1+h) h=1

PAUL MILAN8TERMINALE MATHS SPÉ

4.5 DÉRIVÉE DE LA FONCTION LNu

Théorème 13 :Croissance comparée

?n?N?, limx→+∞lnx xn=0 et limx→0+xnlnx=0

Démonstration :

•On revient aux limites de croissance comparée de exp : limx→+∞e xx= +∞.

On pose :X=lnxn??

xn=eX

X=nlnx????x

n=eX lnx=X n Six→+∞alorsxn→+∞donc par compositionX=lnxn→+∞

D"où lim

x→+∞lnx xn=limX→+∞1n×XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ •En 0+, on pose :X=1x?x=1X. Six→0+alorsX→+∞.

D"où lim

x→0+xnlnx=limX→+∞1

Xnln1X=limX→+∞-lnXXn=0

Remarque :On retiendra que : "en+∞et en 0,xnl"emporte sur lnx».

Exemple :Déterminer limx→+∞(x-lnx)

Limiteindéterminéedelaforme"+∞-∞». Onfactorise:x-lnx=x? 1-lnx x? lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0(n=1)????? ?Par somme et produit, on a : lim x→+∞(x-lnx) = +∞

4.5 Dérivée de la fonction lnu

Théorème 14 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet :(lnu)?=u? u. Démonstration :Dérivée de la composition de fonctionupar ln. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation.

En effet commeu>0,(lnu)?a le même signe queu?.

Exemple :Déterminer la dérivée defdéfinie surRpar :f(x) =ln(1+x2). fest dérivable surR, car pour toutx?R, 1+x2>0 etf?(x) =2x 1+x2.

PAUL MILAN9TERMINALE MATHS SPÉ

4 ÉTUDE DE LA FONCTION LN

4.6 Étude d"une fonction

Soit la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx

1) Étudier les limites defen 0 et+∞

2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.

3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.

4) À l"aide d"une calculatrice donner un encadrement à 10

-3de ces solutions.

1) a) Limite en 0 :limx→0+x2-4x=0

lim x→0+-4lnx= +∞???

Par somme

limx→0+f(x) = +∞ b) Limite en+∞: forme indéterminée "+∞-∞». On factorise parx: f(x) =x2? 1-4 x-4×lnxx2?limx→+∞x2= +∞ lim x→+∞1-4x=1 lim x→+∞lnx

Par produit et somme

lim x→+∞f(x) = +∞

2)fest dérivable sur]0 ;+∞[comme somme de fonctions dérivables :

f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x •f?(x) =0x>0?x2-2x-2=0 , on aΔ=12= (2⎷3)2 on obtient :x1=2+2⎷ 3

2=1+⎷3 oux2=1-⎷3<0 non retenu.

•signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0

on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)

01+⎷3+∞

-0+ ≈ -7,48≈ -7,48 α1 0 α2 0

3) Surlesintervalles I

1=]0; 1+⎷

3]et I2= [1+⎷3;+∞[lafonctionfestconti-

nue, strictement monotone et change de signe donc, d"après le TVI, l"équation f(x) =0 admet une unique solutionα1etα2sur chacun de ces intervalles.

4) À l"aide de l"algorithme de dichotomie, on obtient les encadrements suivants :

0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262 à 10-3près

PAUL MILAN10TERMINALE MATHS SPÉ

À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf.

1 2 3 4 5 6

-2 -4 -6 -82 46
O Cf α1 ?α21+⎷3 -7,48

5 Le logarithme décimal

Avant propos

Le logarithme décimal se prête beaucoup mieux aux calculs algébriques que le lo- garithme népérien. C"est Henry Briggs, contrairement à Néper, qui a choisi cette base pour établir une table de logarithmes qui jusqu"à l"apparition des calcula- trices scientifiques au début des années 80 était la panoplie de l"étudiant scienti- fique. Ainsi sa table de logarithmes et sa règle à calcul (basée sur les logarithmes décimaux) en main, l"auteur de ses lignes a pu réussir son bac. Pour l"étudiant actuel, le logarithme décimal se rencontre au physique dans des échelles de valeurs : décibel, pH d"une solution ou la magnitude d"unséisme. Bien que hors programme en math spé, il m"a semblé utile de rappeler quelques points qui serviront en physique-chimie spé ainsi que quelques exemples.

5.1 Définition

Définition 3 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par : logx=lnx ln10.

Sa fonction réciproque est exp

10définie surRpar : exp10(x) =10x.

Remarque :

•1 ln10>0, donc log a les mêmes variations et les mêmes limites que ln.

•On a : log1=0 et log10=1

•y=logx?x=10yainsi : log101=1, log102=2, ..., log10n=n •La fonction log a les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln. log(2.61×105) =log2,61+5log10=5???? partie entière+log2,61? mantisse

PAUL MILAN11TERMINALE MATHS SPÉ

5 LE LOGARITHME DÉCIMAL

•Représentation de log avec log?x=1xln10et T1:y=1ln10(x-1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 -21 2 Clog Oquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22