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Cours de mathématiques

BTS SIO première année

Nicolas FRANCOIS

nicolas.francois@free.fr

24 mars 2012

2

I Numération1

I Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Numérations en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

A Conversion de la basebà la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

B Conversion de la base décimale à la baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

B Les entiers signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Feuille d"exercices n

1 - numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

II Calcul des propositions11

I Propositions, valeurs de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 A Négation d"une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 D Disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 A Commutativité et associativité de_et^. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

B Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

C Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 D Loi de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Feuille d"exercices n

2 - calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

III Matrices19

I Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

B Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

C Égalité matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

II Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
A Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B Produit d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Feuille d"exercices n

3 - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

IV Rappels et compléments sur les suites 29

i

I Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

A Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

B Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
C Deux modes de définition de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

A Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

B Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

III Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
A Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Feuille d"exercices n

4 - Rappels et compléments sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

V Langage de la théorie des ensembles 35

I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
A Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B Notion d"ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
A Parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B Opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
C Lien avec la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III Cardinal d"un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

IV Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Feuille d"exercices n

5 - Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

VI Notions de base sur les graphes 43

I Notion de graphe simple orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

II Modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

III Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Feuille d"exercices n

6 - Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

ii

CHAPITREINumération

ARITHMÉTIQUE 1

SommaireI Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Numérations en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A Conversion de la basebà la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 B Conversion de la base décimale à la baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B Les entiers signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Feuille d"exercices n

1 - numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1

I Introduction : que signifie 1789 ?

On a besoin, dans de nombreux domaines, de pouvoir exprimer des quantités. Pour dire qu"on a un troupeau

de 252 moutons, on pourrait montrer une allumette par tête, ou tracer un bâton par tête, de manière à ne pas

avoir à trimballer tout son troupeau, mais cela ne serait guère pratique 1.

Il a donc fallu, au cours du temps, inventer des méthodes plus efficaces pour représenter les quantités. L"arrivée

des symboles a permis de représenter les nombres par des écritures plus ou moins faciles à manipuler : systèmes

babylonien, égyptien, basés sur la représentation de certaines quantités par des symboles, et par mise bout-

à-bout de ces symboles pour les autres nombres, système romain, dans lequel la position d"un symbole peut

modifier la signification du symbole suivant...

Notre système de numération moderne est fondé sur plusieurs idées intéressantes : un symbole pour chacun des

nombres de0à9, en raison de l"utilisation de la base décimale, et un principe denumération de position: un

même chiffre a une signification différente selon sa position dans l"écriture du nombre.

De nombreuses civilisations ont utilisé (et utilisent encore) la base10, sans doute pour des raisons physiologiques

! Le système de notation positionnelle provient de Chine, et a été amélioré et diffusé à partir de l"Inde, au VI

ème

siècle. Enfin, les chiffres que nous utilisons aujourd"hui ont été inventé par les indiens, et leur diffusion en

Europe s"est faite par l"intermédiaire de la civilisation arabe aux alentours du IX

èmesiècle.

Mais que signifie donc une écriture telle que1789? Et bien, à chaque position est associée un "poids", d"autant

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