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ECE2-B2017-2018Fomule du binôme
Exercice 1.(☀)(d"aprèsEDHEC 2008)
On considère les matrices :
D=0 @0 0 0 0 2 00 0 21
AetN=0
@0 0 0 0 0 10 0 01
Aet on poseT=D+N.
a.DéterminerN2.Démonstration.
N 2=0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
A. N2= 0.b.Utiliser la formule du binôme pour montrer que :
8n2N; Tn=Dn+nDn1N
Démonstration.
Soitn2N.
D"après la question précédente, on obtient, par une récurrence immé- diate que :8k>2,Nk= 0.On remarque que :DN=0
@0 0 0 0 0 20 0 01
A=ND. AinsiDetNcommutent.D"après la formule du binôme de Newton : T n= (D+N)n nP k=0 n k N kDnk 1P k=0 n k N kDnk+nP k=2 n k N kDnk(ce découpage est valable carn>1) 1P k=0 n k N kDnk(car :8k>2; Nk= 0)
n 0 N 0Dn+n 1 N 1Dn1 =Dn+n Dn1N(carNetDn1 commutent) Ainsi, pour toutn2N,Tn=Dn+n Dn1N.c.Donner explicitement, pour toutn2N, la matriceTnen fonction den.Démonstration.
Soitn2N. Tout d"abord :Dn=0
@0 0 0 0 2 n0 0 0 2 n1 A.On en déduit que :
D n1N=0 @0 0 0 0 2 n10 0 0 2 n11 A0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 2 n10 0 01
AetTn=0
@0 0 0 0 2 n0 0 0 2 n1 A+n0 @0 0 0 0 0 2 n10 0 01
A=0 @0 0 0 0 2 nn2n1 0 0 2 n1AAinsi, pour toutn2N:Tn= 2n10
@0 0 0 0 2n0 0 21
A.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
ECE2-B2017-2018Exercice 2.(☀)(d"aprèsEDHEC 2016)On considère les matrices :
N=0 @0 0 1 0 0 10 0 01
AetT= 2I+N=0
@2 0 1 0 2 10 0 21
ADéterminer, pour tout entier natureln, la matriceTncomme combinaison linéaire deIet deNpuis deIet deT.Démonstration.
Tout d"abord :N2=0
@0 0 1 0 0 10 0 01
A0 @0 0 1 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
A. On en déduit, par une récurrence immédiate, que pour toutk>2,Nk= 0.Soitn2N.
Les matrices2IetNcommutent (car la matriceIcommute avec toutes les matrices). On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton : T n= (2I+N)n nP k=0 n k N k(2I)nk 1P k=0 n k N k(2I)nk+nP k=2 n k N k(2I)nk(ce découpage est valable carn>1) 1P k=0 n k N k(2I)nk(car :8k>2; Nk= 0)
n 0 N0(2I)n+n
1 N1(2I)n1
= (2I)n+n(2I)n1N(carNet(2I)n1 commutent) = 2 nIn+n2n1In1N= 2nI+n2n1NEnfin :20I+ 0 21N=IetT0=I. La formule précédente reste valable pourn= 0. Ainsi, pour toutn2N,Tn= 2nI+n2n1N.De plus, commeN=T2I, on obtient : T n= 2nI+n2n1(T2I) = 2nI+n2n1Tn2nI=n2n1T(n1) 2nIPour toutn2N,Tn=n2n1T(n1) 2nI.Remarque
Comme noté dans la démonstration, l"hypothèsen>1est essentielle pour pouvoir découper la somme. Le casn= 0doit donc être traité à part. Ici, la matriceNvérifie :8k>2; Nk= 0. Elle est dite nilpotente d"ordre2(ce terme n"est pas au programme et il est préférable de ne pas l"utiliser
dans une copie). Si elle avait été nilpotente d"ordre3, il aurait fallu traiterà part les casn= 0mais aussi le casn= 1.
Exercice 3.(☀)(d"aprèsESSEC III - 2007)
À l"aide de la formule du binôme de Newton et de la décomposition suivante : T=0 @2 0 0 0 2 00 0 21
A+0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A; déterminer l"expression de la matriceTnen fonction de l"entier natureln.Démonstration.
Notons :D=0
@2 0 0 0 2 00 0 21
A= 2IetN=0
@0 1 0 0 0 10 0 01
A.Remarquons tout d"abord que :
N 2=0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 1 0 0 00 0 01
A(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2
ECE2-B2017-2018Et ainsi :
N3=N2N=0
@0 0 1 0 0 00 0 01
A0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
AAinsi,N3= 0et, par une récurrence immédiate :8k>3,Nk= 0.De plus, comme la matrice identitéIcommute avec toute matrice :