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Correction du Concours d'entrée en 1ère année du cycle préparatoire Ecole Nationale Des Sciences Appliquées 2012-2013 Correction mathématique Q1. On considère les événements : T : ''l'élève ait mention très bien ''B : ''l'élève ait mention très bien ''R : ''l'élève ait mention très bien ''La probabilité qu'un élève n'ait ni la mention "très bien » ni la mention " bien » sachant qu'il a réussi le concours est : 0,2 0,250,25 0,15 0,95 0,35 0,5 0,50,0489PT B RPT BRPRPRT B PT BPRT B PT B PRT PT PRB PB Q2. Formé un comité est choisir au hasard 3 mathématicien parmi 5 et un physicien parmi 4, alors le nombre de comités qu'on peut former est:315440CCQ3.On adonc Or donc ?.Q4.On a : 3991001002132 132232103 Donc 1003|2 1 51001002 1 31 2 1 3121031Donc 10031|2 1Q5.On a : 352135 35 1 2 35 1614910kSkQ6. Calculons la somme, 35135 351135 3612111111111363536kkkkkSkkkkkkQ7.On a 1;2;...; ; 7knk, alors :22112177172nnkkEk knnnnnDonc211772nnklim E kn.Q8. Soitnun élément de**.On a:Et on a : 11ln 2 121 21nnnnnne Or *,1 2 1 3nn *,1 2*,1 22,donc*ln 31,ln2 1nnnn *1,lnl1*,ln1.Alors1ln 2 1 0nnlimn ,ainsi021 1nnnlime Q9. On a1z,2zsont les solutions de l"équation complexe2512zi.Alors 212512zzzz z iAlors1212012 5zzzz i D"autrepart, on a 12 12 12 12 12zz RezRez ImzImz iRezImz ImzRez Ainsi 12 1212Rez Im z Im z Re zOr12zz, alors 12 12RezImz ImzRezD"où 126Rez Im zQ10.On a 20203420720123510310313 212222iiiiiiezieeeeAlors102 sin 215 33Imz Q11. Calculons la limite suivante :2000113 ln1 3ln11ln 131 1123nnnxx x xlim limxx xxlimxx : Q12.On a : 0020220ln cos 2 ln cos 2cos 3 1 cos 2 1cos 2 1cos 3 1ln cos 3ln cos 3ln cos 2cos 3 1 2sin3cos 2 1ln cos 32sin23ln cos 2cos 3 1 sin23cos 2 1ln cos 3sin2xxxxxxxxlimlimxxxxxxxlimxxxxxxxlimxxxx249Or 00ln cos 2ln1cos 2 1 1xtxtlimlimxt, de même 0cos 3 11lncos 3xxlimxAlors0ln cos 249lncos 3xxlimxQ13.220ln1lnxxxlimxxQ14. On a :33ln20032 3xxdx dxeOn poseln2xte, alors ln2ln2 ln2xdt e dx t dxDoncln2dtdxt.Et01xtet332xt. Alors33333201212211132 ln2 31113ln2 31ln ln 33ln21ln8 ln11 ln43ln2ln11 ln41ln8 ln8ln11 21ln8 35ln113ln8xdxdtttdttttt Q15.On a 211122200011220011200ln 1ln 1 211ln 1 2 11ln 1 2 arctanln2 22xxdx x xdxxxxdxxxx xx Q16. On posesintx, alors cosdx tdtDonc 00xtet2xt .Alors : 122 2 220022042020201 sin 1 sin cossin cos cos1sin 2411 cos 4811sin 48416x x dx t t tdttttdttdttdttt D'autre part, on a AB AC AB AH AB AHAAC AA A, DoncAB ACAHABAAC.Et puisque923034AB AC AAC9,2293310ABet2224 20AC,alors : 230,20 10310dC AB Q18. La surface du triangle (ABC) est : S= donc donc ¾/=

H¾7D'autre part Comme Alors

H¾7donc ¾7¾78¾7Q19.On a1Het2Hdeux sous espaces vectoriel deEdistincts tels que dim 4Eet12dim dim 3HH, alors1Het2Hsont deux hyperplans de l'espace vectoriel E12dimdim 2 2HH E Q17.SoitHle projeté orthogonal deCsurAB.OnadC,ABCHACAH22.Q20.On a 3111 011011 001001 000ABI000Alors 131313131331331300kkkkkkkBIA CAI CA On a2001000000A, donc 30A, ainsi 3, 0kkAAlors13 0 0 1 2 2213 13 13 313 78BCACACAI A A.D"où131 0 0 0 13 13 0 0 78 1 13 91010 0013 00 0 0113001 00 0 00 0 00 1B Correction du Concours d'entrée en 1ère année du cycle préparatoire Ecole Nationale Des Sciences Appliquées 2012-2013Fiche de réponses Epreuve de Mathématique (Durée 1h : 30min) Nom :................................................... Prénom :............................................... C. N. E. :.............................................. N° d'examen : ....................................... Note .........................Remarques Importantes:1)La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.2) Parmi les réponses proposées il n'y en a qu'une qui est juste.3) Cochez la case qui correspond à la réponse correcte sur cette fiche.4) Réponse juste = 1 point ; Réponse fausse = - 1 point ; Pas de Réponse = 0 point.Noter Bien : Plus qu'une case cochée = - 1 point.ABCDR+R-Q1×Q2×Q3×Q4×Q5×Q6×Q7×Q8×Q9×Q10×Q11×Q12×Q13×Q14×Q15×Q16×Q17×Q18×Q19×Q20×

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