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pdf SERIE D’EXERCICES N°31 : CHAMP MAGNETOSTATIQUE
Champ magnétostatique Exercice 3 : champ créé par une spire circulaire sur son axe Calculer le champ magnétostatique créé par une spire de rayon R parcourue par un courant d’intensité I en un point M de son axe (Ox) la spire étant vue sous l’angle depuis M
Université Joseph Fourier DEUG Sma – SP2-2
Dans ce cours de magnétostatique nous traiterons dans les chapitres I à III de la question suivante : comment produire un champ magnétique à partir de courants permanents ? Nous n’aborderons que partiellement (chapitre IV) le problème inverse : comment produire de l’électricité à partir d’un champ magnétique ?
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1 CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Bobines "façon Helmholtz" 1.a. • La spire est symétrique par rapport aux plans (Oxy) et (Oxz), mais ces symétries retournent le sens du courant. Il s'agit d'antisymétries électriques donc de symétries magnétiques puisque le champ !
Best un pseudovecteur. • En un point M de l'axe (Ox), donc invariant dans ces symétries, le champ !
B(M) doit être invariant. Il doit donc être symétrique par rapport à ces plans donc parallèle à leur intersection, c'est à dire selon (Ox). 1.b. • Le champ créé par un fil "infini" est orthoradial et de norme B1 =
0 I 2"r avec r = ! x 2 +L 2. • Le champ créé par l'ensemble des deux fils est le double de la projection sur (Ox) : B(x) = 2 B1 sin(α) = 2 B1 !
L r 0 I 2" 2L x 2 +L 2. 2. • En utilisant deux spires identiques mais centrées aux abscisses ± a, on obtient sur l'axe un champ total : B(x) =
0 IL 1 x+a 2 +L 2 1 x"a 2 +L 2. • Puisque l'expression précédente est paire, on obtient la meilleure uniformité au voisinage de l'origine en y annulant la dérivée seconde : !
d 2 B dx 2 (0) = 0 IL 23a2 "L 2() a 2 +L 2 2 = 0. La distance entre les bobines est alors D = 2a = ! 2L 3 . ◊ remarque : le développement à l'origine peut alors s'écrire : B(x) ≈ 3µ 0 I 2"L 1" 9 16 x 4 L 4
. 3.a. • L'ensemble des deux spires est symétrique par rapport au plans (Oyz) et cette symétrie ne retourne pas le sens du courant. Il s'agit d'une symétrie électrique donc d'une antisymétrie magnétique puisque le champ !
Best un pseudovecteur. • En un point M de l'axe (Oy), donc invariant dans cette symétrie, le champ !
B(M) doit être invariant. Il doit donc être antisymétrique par rapport au plan (Oyz), donc perpendiculaire, c'est à dire selon (Ox).
2 3.b. • Le champ créé par un fil "infini" est orthoradial et de norme B1 =
0 I 2"r avec r = ! a 2 +L"y 2. • Le champ créé par les deux fils avec courant de même sens est le double de la projection sur (Ox) : B(y) = 2 B1 !
L"y r 0 I 2" 2L"y a 2 +L"y 2 . • Le champ créé par les deux bobines est au total : B(y) = 0 I 2" 2L"y a 2 +L"y 2 2L+y a 2 +L+y 2 . • Compte tenu de la valeur a = ! L 3, le développement en série à l'origine est de la même forme que celui obtenu selon (Ox) : B(y) ≈
3µ 0 I 2"L 1" 9 16 y 4 L 4. La représentation graphique montre que le champ est assez bien uniforme (à 5 %) dans un intervalle de largeur ≈ L, aussi bien selon (Oy) que selon (Ox). II. Champ magnétique créé par une hélice • Une hélice de rayon R et de pas h a pour équations cartésiennes paramétriques (dans un repère orthonormé) : x = R cos(θ) ; y = R sin(θ) ; z = !
h" 2#; où le paramètre θ varie de -∞ à +∞. Cette hélice est parcourue par un courant dʼintensité I. 1. ◊ remarque : en coordonnées cylindriques d'axe Oz, l'équation correspondant à la coordonnée radiale est simplement r = R ; il est en général difficile d'exprimer les coordonnées cylindriques d'un vecteur à partir des coordonnées de ses extrémités, mais ici le seul vecteur qui intervient est !
OM; on ne peut pas intégrer simplement les composantes radiales et orthoradiales car les vecteurs unitaires !
u r et ! une sont pas constants (ils dépendent du point M considéré sur l'hélice), mais l'énoncé ne demande que la projection Bz ; rien n'interdirait donc ici d'utiliser les coordonnées cylindriques, mais comme il s'agit d'un cas assez particulier, il est préférable d'utiliser une méthode plus générale. • On note M un point quelconque de l'hélice ; d'après la loi de Biot et Savart, le champ en O peut s'écrire : !
B 0 I 4" dOM# u r r 2 C avec ! dOM = dx! u x + dy! u y + dz! u z ; rʼ = MO = ! R 2 +z 2 u r MO MO . • Ainsi : ! dOM MO = (x! u x + y! u y + z! u z )⨯( dx! u xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8