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Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 2012\

EX1 :( 7 points )Commun à tous les candidats

Partie 1Soit g la fonction définie sur[0 ;Å1[par g(x)AEex¡xexÅ1.

1.Déterminer la limite de g enÅ1. Étudier les variations de la fonction g et donner le tableau de variations de g.

On ag(x)AEex(1¡x)Å1

lim x!Å1ex(1¡x)AE¡1par produit avec(limx!Å1exAEÅ1 lim

x!Å1(1¡x)AE¡1doncli mx!Å1g(x)AElimx!Å1ex(1¡x)Å1AE¡1La fonctiongsomme de fonctions dérivables sur [0 ;Å1[

est dérivable et sur [0 ;Å1[ : g

0(x)AEex¡ex¡xexAE¡xex.

Comme e

xÈ0 etx¸0, on ag0(x)·0 sur [0 ;Å1[. gest donc décroissante sur [0 ;Å1[ deg(0)AE2 à¡1x g 0(x)g (x)0Å1 22

¡1¡1®

0 2.

a .Démontrer que l"équation g(x)AE0admet sur[0 ;Å1[une unique solution. On note®cette solution.

Sur [0 ;Å1[,gdérivable est donc continue et décroissante,g(0)È0 et limx!Å1g(x)AE¡1.

D"après le tableau de variations degil existe un réel unique®2[0 ;Å1[ tel queg(®)AE0b.À l"aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d"amplitude10¡2de®.

La calculatrice donne :

²g(1)AE1 etg(2)¼¡6,4, donc 1Ç®Ç2; ²g(1,2)¼0,3 etg(1,3)¼¡0,1, donc 1,2Ç®Ç1,3;

²g(1,27)¼0,04 etg(1,28)¼¡0,007, donc1 ,27Ç®Ç1,28c.Démontrer quee®AE1®¡1.On ag(®)AE0()e®¡®e®Å1AE0()e®(1¡®)AE¡1()e®AE1®¡13.Déterminer le signe de g(x)suivant les valeurs de x.

On a donc

g(x)È0 sur [0 ;®[; g(®)AE0; g(x)Ç0 sur ]®;Å1[.x g (x)0®Å1

Å0¡

Partie 2Soit A la fonction définie et dérivable sur[0 ;Å1[telle que A(x)AE4xe xÅ1.

1.Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A0(x)a le même signe que g(x),

où g est la fonction définie dans la partie 1.

La fonctionAquotient de fonctions dérivables sur [0 ;Å1[ est dérivable et sur cet intervalle :

0(x)AE4(exÅ1)¡4x£ex(

exÅ1)2AE4(ex¡xexÅ1)( exÅ1)2AE4g(x)( exÅ1)2Comme (exÅ1)2È0 quel que soitx,l esig nede A0(x)est celui deg(x).

D"après la précédente question on a donc :A0(x)È0 sur [0 ;®[;A0(®)AE0;A0(x)Ç0 sur ]®;Å1[.

2.En déduire les variations de la fonction A sur[0 ;Å1[.

(x)est croissante sur [0 ;®[ et décroissante sur [®;Å1[,A(®) étant le maximum de la fonction.x

A 0(x)A (x)0®Å1

Å0¡

00A (®)A (®)00 Baccalauréat blancTSPartie 3On considère la fonction f définie sur[0 ;Å1[par f(x)AE4e xÅ1.

On note

(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé³

O,¡!ı,¡!|´

Pour tout réel x positif ou nul, on note :

M le point de(C)de coordonnées¡x;f(x)¢,

P le point de coordonnées

(x; 0),

Q le point de coordonnées¡0 ;f(x)¢.01234

¡1123

C OPQM ®f (®)1.Démontrer que l"aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse®. On rappelle que le réel®a été défini dans la partie 1. On sait quex>0, donc l"aire du rectangle OPMQest égale àx£f(x)AE4xe xÅ1AEA(x)Or on a vu quel af onctionx7!A(x)présente un maximum pourxAE®

2.Le point M a pour abscisse®. La tangente (T) en M à la courbe(C)est-elle parallèle à la droite(PQ)?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera prise en

compte dans l"évaluation. Le coefficient directeur de la droite (PQ) est égal àyQ¡yPx

Q¡xPAEf(®)¡®AE4e

®Å1¡®AE¡4®

(e®Å1). Or e ®AE1®¡1, donc le coefficient directeur est égal à :¡4® (e®Å1)AE¡4® 2. La tangente enM(®;f(®)) a pour coefficient directeurf0(®).

Orf0(x)AE¡4ex(

exÅ1)2, doncf0(®)AE¡4e®( e®Å1)2AE¡4®¡1¡ 2. Les coefficients directeurs sont égaux : les droites sont parallèles.

EX2 :( 5 points )Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct³

O,¡!u,¡!v´

. On prendra 2 cm pour unité graphique.

On appelle J le point d"affixei.

1.On considère les points A, B,C, H d"affixes respectives aAE¡3¡i, bAE¡2Å4i, cAE3¡iet hAE¡2.

Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l"exercice.

Pour ce corrigé l"unité graphique n"est pas respectée.2.Montrer que J est le centre du cercleCcirconscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercleC.

JAAE¯¯j¡a¯¯AEj¡3¡2ijAEp(¡3)2Å(¡2)2AEp13. On trouve de même queJBAEp13et queJCAEp13.

Le cercle circonscrit au triangleABCa donc pour centreJet pour rayonp13.

3.Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexeb¡ch¡a. En déduire que les droites(AH)et(BC)sont perpendi-

culaires.

On a :

AE5i.

Par conséquent :

³¡¡!AH;¡¡!CB´

AEarg(5i)AE¼2

[2¼], ce qui prouve que (AH)?(BC)Dans la suite de l"exercice, on admet que H est l"orthocentre du triangle ABC, c"est-à-dire le point d"intersection des

hauteurs du triangle ABC.

Lycée Beaussier2mars 2012

Baccalauréat blancTS¡!

v¡! u¡4¡3¡2¡11234OG K AHB A

0CJi2i3i4i

¡i¡2i4.On noteG le centre de gravité du triangle ABC. Déterminer l"affixe g du pointG. PlacerG sur la figure.

Gest l"isobarycentre du système{A;B;C}donc, d"après le cours : gAEaÅbÅc3

AE¡3¡i¡2Å4iÅ3¡i3

AE¡23

Å23

i5.Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit J et l"orthocentre H du triangle ABC sont alignés.

Le vérifier sur la figure.

Le vecteur

¡¡!HJa pour affixej¡hAE2Åi, le vecteur¡¡!JGa pour affixeg¡jAE¡23

¡13

On a doncg¡jAE¡13

(j¡h) c"est-à-dire¡¡!JGAE¡13

¡¡!HJ.

Ces deux vecteurs étant colinéaires, les pointsJ,GetHsont donc alignés, ce qui se vérifie sur la figure.

6.On note A0le milieu de[BC]et K celui de[AH]. Le point A0a pour affixe

a 0AE12

Å32

i. a.Déterminer l"affixe du point K.

Notonskl"affixe du pointK, alors :kAEaÅh2

AE¡3¡i¡22

AE¡52

¡12

ib.Démontrer que le quadrilatère KHA0J est un parallélogramme.

Le vecteur

¡¡!KHa pour affixeh¡kAE12

Å12

i et le vecteur¡¡!JA0a pour affixea0¡jAE12

Å12

Ces deux vecteurs ayant même affixe, ils sont égaux, et le quadrilatèreKHA0Jest donc un parallélogramme.

EX3 :( 5 points )Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité Soit (un)la suite définie par u0AE5et pour tout nombre entier naturel n, par unÅ1AE4un¡1u nÅ2.

Si f est définie sur l"intervalle]¡2 ;Å1[par f(x)AE4x¡1xÅ2, alors on a, pour tout entier naturel n,unÅ1AEf(un).

Lycée Beaussier3mars 2012

Baccalauréat blancTSOn donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentativeCde la fonction f ainsi que la droite

¢d"équation yAEx.

a .Sur l"axe des abscisses, placer u0puis construire u1,u2et u3en laissant apparents les traits de construction.

En partant du point (

(u0AE5 ; 0)et en allant alternativement verticalement vers la courbeCet horizontale- ment vers la droite¢, on obtient les points de la courbeCd"abscisses,u1,u2,u3etc. Voir la figure

b.Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite(un)?

Sur la vue des premiers termes il semble que la suite soit d écroissante v ersl "abscissedu point commun à C et à¢il semble que la suitecon vergev ers1 . 2. a .Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un¡1È0. -Initialisation: on au0¡1AE5¡1AE4È0 : la proposition est vraie pournAE0

-Hérédité: supposons qu"il existen2?tel queun¡1È0.je suppose la proposition vraie au rang n

OrunÅ1AE4un¡1u

nÅ2doncunÅ1¡1AE4un¡1u nÅ2¡1AE4un¡1¡un¡2u nÅ2AE3un¡3u nÅ2AE3(un¡1)u nÅ2.

On sait queun¡1È0, doncunÈ1 etunÅ2È3È0. Tous les termes deunÅ1¡1 sont supérieurs à zéro,

donc finalementunÅ1¡1È0.alors la proposition est vraie au rang nÅ1 -Conclusion: la proposition est vraie pournAE0 , elle est héréditaire

donc par récurrence on a, quel que soitn2?,un¡1È0b.Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud"initiativemêmenonfructueuse,seraprise

en compte dans l"évaluation. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question1. b.

²Décroissance de la suite :

soitunÅ1¡unAE4un¡1u nÅ2¡unAE4un¡1¡u2n¡2unu nÅ2AE¡u2nÅ2un¡1u nÅ2AE¡u2n¡2unÅ1u nÅ2AE¡(un¡1)2u nÅ2.

Les deux termes du quotients sont positifs, donc finalementunÅ1¡unÇ0c equi démon treque la sui te(un)

est décroissante. ²Convergence de la suite :un¡1È0()unÈ1

La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une limite`>1et par cont inuitéde la fon ctionf,

on a`AE4`¡1`Å2équation dont la seule solution est`AE1.La sui te(un)converge vers 1.

3.Dans cette question, on se propose d"étudier la suite(un)par une autre méthode, en déterminant une expression de

u nen fonction de n.

Pour tout nombre entier naturel n, on pose v

nAE1u n¡1. a.Démontrer que la suite(vn)est une suite arithmétique de raison13

On avnÅ1¡vnAE1u

nÅ1¡1¡1u n¡1. Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) queunÅ1¡1AE3(un¡1)u nÅ2, donc v nÅ1¡vnAEunÅ23 (un¡1)¡1u n¡1AEunÅ2¡33 (un¡1)AEun¡13 (un¡1)AE13

La suite

(vn)est une suite arithmétique de raison13 , de premier termev0AE1u

0¡1AE15¡1AE14

b.Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vnpuis unen fonction de n.

On sait quevnAEv0Ån£13

AE14

Å13

£nAE14

Ån3

AE3Å4n12.

OrvnAE1u

n¡1()un¡1AE1v n()unAE1v nÅ1AE123Å4nÅ1AE12Å3Å4n3Å4nAE15Å4n3Å4n, quel que soitn2?.

On retrouve ici que les termes de

(un)sont des rationnels et comme le suggérait les constructions du1. a. queu1AE197 ,u2AE2311

AE2,u3AE95

AE1,8.

c.En déduire la limite de la suite(un). lim 4n 4nAE1

Lycée Beaussier4mars 2012

Baccalauréat blancTSAnnexe de l"exercice

¡2¡11234567

¡2¡11234

xy u 0u 1u 2u

3O¢

EX4 :( 3 points )Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On utilisera le résultat suivant :

les solutions de l"équation différentielle y

0AEay où a2?sont les fonctions g définies sur?par g(x)AEKeaxoù K2?.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l"équation différentielle (E) y

1.Démontrer que la fonction u définie sur?par u(x)AE¡ba

est une solution de (E). uest dérivable sur?etu0(x)AE0, doncu0(x)|{z} y

0AEa£µ

¡ba

|{z} yÅb()0AE¡bÅb.

Donc la fonctionudéfinie sur?paru(x)AE¡ba

est une solution de (E).

2.Soit f une fonction définie et dérivable sur?.

Démontrer l"équivalence suivante : f est solution de (E)()f¡u est solution de l"équation différentielle y0AEay.

fétant dérivable sur?,f¡ul"est aussi et quel que soitx2?, (f¡u)(x)AEf(x)¡u(x), d"où (f¡u)0(x)AEf0(x)¡u0(x)AEf0(x). Doncfest solution de (E) si et seulement siqu elq uesoi tx2?: f

¡ba

Åb ()(f¡u)0(x)AEa(f(x)¡u(x)) c"est-à-dire quef¡uest solution de l"équation différentielley0AEay.

Lycée Beaussier5mars 2012

Baccalauréat blancTS3.En déduire toutes les solutions de l"équation différentielle (E).

D"après le résultat initial donné on a doncf(x)¡u(x)AEKeax,K2?, donc :f(x)AEKeaxÅu(x)AEKeax¡ba

Partie B

Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue.

On note v(t)sa vitesse à l"instant t, où t est exprimé en secondes et v(t)en mètres par seconde.

On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l"intervalle[0 ;Å1[.

Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l"équation différentielle :

10v0(t)Åv(t)AE30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s"élance, sa vitesse initiale est nulle, c"est-à-dire que v(0)AE0.

1.Démontrer que v(t)AE300

1¡e¡t10

1 A L"équation différentielle peut s"écrire :v0(t)AE3¡110 v(t). On reconnaît une équation différentielle résolue dans lapartie AavecaAE¡110 etbAE3.

On a donc :

v(t)AEKe¡110 t¡3¡ 110

AEKe¡110

tÅ30. En utilisant la condition initialev(0)AE0()KÅ30AE0()KAE¡30, on obtient finalement : v(t)AE300

1¡e¡t10

1 A2.a .Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l"intervalle[0 ;Å1[. On sait que la fonctionvest dérivable sur [0 ;Å1[ et sur cet intervalle : v

0(t)AE¡30µ

¡110

e¡t10

AE3e¡t10

È0, car on sait que e¡t10

È0, quel que soit le réelt.

La fonctionvest donc croissante sur [0 ;Å1[.

b.Déterminer la limite de la fonction v enÅ1.

On sait que lim

x!Å1e¡t10

AE0, donc limx!Å10

1¡e¡t10

1 A

AE1, donc par produitlim x!Å1v(t)AE30

Lycée Beaussier6mars 2012

Baccalauréat blancTSEX3 :( 5 points )Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité Cet exercice est à rendre sur une feuille séparée. 1.

a .Déterminer suivant les valeurs de l"entier naturel non nulnle reste dans la division euclidienne par 9

du nombre 7 n. b.Démontrer alors que(2 005)2 005´7[9] . 2. a .Démontrer que pour tout entier naturel non nuln: 10n´1[9] . b.On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres.

Démontrer la relation suivante : N´S [9] .

c.En déduire que N est divisible par 9 si, et seulement si, S est divisible par 9.

3.On suppose que AAE(2 005)2 005; on désigne par :

²B la somme des chiffres de A;

²C la somme des chiffres de B;

²D la somme des chiffres de C.

a.Démontrer la relation suivante : A´D [9] .

b.Sachant que 2 005Ç10 000 , démontrer que A s"écrit en numération décimale avec au plus 8 020 chiffres.

En déduire que B672 180 .

c.Démontrer que C645 .

d.En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.

e.Démontrer que DAE7.

Lycée Beaussier7mars 2012

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] [PDF] Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 2012 EX 1 : ( 7 points ) Commun à

Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 2012\

EX1 :( 7 points )Commun à tous les candidats

1.Déterminer la limite de g enÅ1. Étudier les variations de la fonction g et donner le tableau de variations de g.

On ag(x)AEex(1¡x)Å1

0(x)AEex¡ex¡xexAE¡xex.

Comme e

¡1¡1®

La calculatrice donne :

On a donc

Å0¡

1.Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A0(x)a le même signe que g(x),

0(x)AE4(exÅ1)¡4x£ex(

2.En déduire les variations de la fonction A sur[0 ;Å1[.

Å0¡

On note

O,¡!ı,¡!|´

Pour tout réel x positif ou nul, on note :

M le point de(C)de coordonnées¡x;f(x)¢,

P le point de coordonnées

Q le point de coordonnées¡0 ;f(x)¢.01234

¡1123

2.Le point M a pour abscisse®. La tangente (T) en M à la courbe(C)est-elle parallèle à la droite(PQ)?

Q¡xPAEf(®)¡®AE4e

®Å1¡®AE¡4®

Orf0(x)AE¡4ex(

EX2 :( 5 points )Commun à tous les candidats

O,¡!u,¡!v´

On appelle J le point d"affixei.

1.On considère les points A, B,C, H d"affixes respectives aAE¡3¡i, bAE¡2Å4i, cAE3¡iet hAE¡2.

3.Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexeb¡ch¡a. En déduire que les droites(AH)et(BC)sont perpendi-

On a :

Par conséquent :

³¡¡!AH;¡¡!CB´

AEarg(5i)AE¼2

Lycée Beaussier2mars 2012

Baccalauréat blancTS¡!

0CJi2i3i4i

AE¡3¡i¡2Å4iÅ3¡i3

AE¡23

Å23

Le vérifier sur la figure.

Le vecteur

¡13

On a doncg¡jAE¡13

¡¡!HJ.

6.On note A0le milieu de[BC]et K celui de[AH]. Le point A0a pour affixe

Å32

Notonskl"affixe du pointK, alors :kAEaÅh2

AE¡3¡i¡22

AE¡52

¡12

Le vecteur

¡¡!KHa pour affixeh¡kAE12

Å12

Å12

Lycée Beaussier3mars 2012

¢d"équation yAEx.

En partant du point (

OrunÅ1AE4un¡1u

²Décroissance de la suite :

3.Dans cette question, on se propose d"étudier la suite(un)par une autre méthode, en déterminant une expression de

Pour tout nombre entier naturel n, on pose v

On avnÅ1¡vnAE1u

La suite

0¡1AE15¡1AE14

On sait quevnAEv0Ån£13

Å13

£nAE14

Ån3

AE3Å4n12.

OrvnAE1u

On retrouve ici que les termes de

AE2,u3AE95

AE1,8.

Lycée Beaussier4mars 2012

Baccalauréat blancTSAnnexe de l"exercice

¡2¡11234567

¡2¡11234

3O¢