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EXERCICE13 points

Commun à tousles candidats

1. Solution :L"espérance d"une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètreλest1 ici, le temps d"attente moyen est donc de1

0,02=50 secondes

il faut ajouter le temps moyen d"échange de 96 secondes Finalement le temps moyen d"un appel est de 146 secondes soit2 minutes et 26 secondes 2. a.

Solution:On chercheP(X?120)

P(X?120)=1-P(X<120)=1-?

120
0

0,02e-0,02tdt

=1-?-e-0,02t?1200=e-2,4≈0,091 b.

Solution:On chercheP(Y?90)

P(Y?90)≈0,409

3. Solution:On cherche à comparerP(X?30) etPX?60(X?60+30) Xsuit une loi exponentielle qui est une loi de durée de vie sansvieillissement donc on sait que pour tous les réelstethstrictement positifs, on a : p

X?t(X?t+h)=p(X?h) donc?1-pX?t(X?t+h)?=?1-p(X?h)?

d"oùpX?t(X?t+h)=p(X?h) avect=60 eth=30 on a alorsPX?60(X?60+

30)=P(X?30)

Autrement dit, le fait de raccrocher n"a rien changé à son attente totale. Corrigé du baccalauréat S - A. DetantA.P. M. E.P.

EXERCICE23 points

Commun à tousles candidats

Solution:1+i=?2?

?2 2+i? 2 2? =?2eiπ4et 1-i=(1+i)=?2e-iπ4 2. a. n=(1-i)n donc?n?N,Sn=Z+

Z=2Re(Z)

?n?N,Z=??

2eiπ4?n=??2?n?

einπ4? =?2n? cos?nπ4? +isin?nπ4?? donc?n?N,Sn=2?

2ncos?nπ4?

Il faut donc étudier le signe de cos

?nπ 4?:

Sin=8k,k?N,

cos?nπ

4?=cos?8kπ4?=cos2kπ=1.

OnadoncS8k=2??

Sin=8k+1,k?N,

cos ?nπ 2 2.

On a doncS8k+1=2??

2= 2 4k+1=

24k+1(cos0+isin0).

Sin=8k+2,k?N,

cos?nπ S

8k+2=0 : il n"a pas d"écriture trigonométrique.

Sin=8k+3,k?N,

cos?nπ 2 2. S

8k+3=2??

-?2 2? =-24k+2. S 8k+3=

24k+2(cosπ+isinπ).

Sin=8k+4,k?N,

cos?nπ S

8k+4=2??

2?8k+4cos?(8k+4)π4?=24k+3×-1.

S 8k+4=

24k+3(cosπ+isinπ).

Sin=8k+5,k?N,

cos?nπ 2 2. S

8k+5=2??

-?2 2? =-24k+3. S 8k+5=

24k+3(cosπ+isinπ).

Sin=8k+6,k?N,

cos?nπ S

8k+6=0 : il n"a pas d"écriture trigonométrique.

LibanPage 229 mai 2018

Corrigé du baccalauréat S - A. DetantA.P. M. E.P.

Sin=8k+7,k?N,

cos?nπ 2 2. S

8k+7=2??

?2 2? =24k+4. S 8k+7=

24k+4(cos0+isin0).

Solution:

Affirmation A: Vraie car?n?N,Sn=2Re(Z)?R

Affirmation B: Vraie car pour tout entier naturelk, n=4k+2=?cos?nπ 4? =cos? kπ+π2? =0

LibanPage 329 mai 2018

Corrigé du baccalauréat S - A. DetantA.P. M. E.P.

EXERCICE34 points

Commun à tousles candidats

1. a.

Solution:pourt=0 on aS1(0)(140 ; 105 ;-170)

b. Solution :On sait que les sous-marins se déplacent à vitesse constante. Le premier sous-marin a parcouru la distanceABavecA=S1(0) etB=S1(1) en une minute.

A(140 ; 105 ;-170) etB(80 ; 15 ;-200)

doncAB=?

602+902+302=?12600=30?14

lavitesse dupremiersous-marinestdoncde30?

14mètresparminutessoit

1,8?

14≈6,73 km.h-1

2. Solution:On considère les pointsAetBdéfinis précédemment SoitCle point de l"espace à la verticale deBet ayant la même profondeur queA A BC alors (ABC) est le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. AppelonsBlepointatteintparlesous-marinauboutd"uneminute:B(80; 15;-200). D"après la définition de la vitesse, celle-ci 30?

14 est égale à la distance AB.

CalamêmeabscisseetlamêmeordonnéequeB,maislacotedeA:C(80; 15;-170).

On a donc dans le triangle rectangle ABC : sin

?BAC=BC

AB=3030?14=1?14.

La calculatrice donne au dixième près :α≈15,5degres. 3. Solution:Soitz2(t) la profondeur du second sous-marin en fonction du temps etv2sa vitesse verticale constante(en mètresparminute)alors, pardéfinition on az2(t)=z2(0)+v2t. Orz2(0)=-68 carS2(0) est de coordonnées (68 ; 135 ;-68). v

2=-248-(-68)

3=-60 car après3minutes, le sous-marin est à une profondeur

de-248 m.

On en déduitz2(t)=-68-60t.

Avec les mêmes notations on a, pour le premier sous-marin,z1(t)=170-30t z

1(t)=z2(t)??-170-30t=-68-60t??t=102

30=3,4

Donc les deux sous-marins sont à la même profondeur après 3 min 24 s.

LibanPage 429 mai 2018

Corrigé du baccalauréat S - A. DetantA.P. M. E.P.

EXERCICE45 points

Commun à tousles candidats

1. Solution :fnest un quotient de deux fonctions dérivables sur [1 ; 5] dont le dé- nominateur ne s"annule pas doncfnest dérivable sur [1 ; 5] f n=u v=?f?n=u?v-uv?v2avec?u(x)=ln(x) v(x)=xn=????u ?(x)=1x v?(x)=nxn-1 donc?x?[1 ; 5] ,f?n(x)=xn-1-nxn-1ln(x) x2n=xn-1(1-nln(x))x2n=1-nln(x)xn+1 2.

Solution :f?n(x)=0??ln(x)=1n??x=e1

netfn? e1n? =ln? e1 n? e1=1eln? e1 n? A n est donc de coordonnées? e 1 n;1eln? e1 n?? Donc tous les pointsAnappartiennentà une même courbeΓd"équation y=1 eln(x). 3. a.

Solution:

1?x?5=?0?ln(x)?ln(5) carx?-→ln(x) est croissante sur [1 ; 5]

en divisant membre à membre parxn>0, on obtient bien pour tout entier n>1 et tout réelxde l"intervalle [1; 5] :

0?ln(x)

xn?ln(5)xn. b.

Solution:

Pour tout entiern>1 ,?

11xndx=?

5 1 x-ndx 1 -n+1?x-n+1?51 1 -n+1?5-n+1-1? 1 n-1?

1-15n-1?

Solution:

fn(x)?0 sur [1 ; 5] donc l"aire cherchée est donnée par? 5 1 fn(x) dx on sait que pour tout entiern>1 et tout réelxde l"intervalle [1; 5] :

LibanPage 529 mai 2018

Corrigé du baccalauréat S - A. DetantA.P. M. E.P.

0?ln(x)xn?ln(5)xn.

or l"intégrale conserve l"ordre donc 0?? 5 1 fn(x) dx?? 5

1ln(5)

xndx 5

1ln(5)

xndx=ln(5)? 5

11xndx=ln(5)n-1?

1-15n-1?

lim n→+∞5n-1=+∞car 5>1 et limn→+∞ln(5) n-1=0donc paropération sur les limites on a lim n→+∞? 5

1ln(5)

xndx=0 D"après le théorème des gendarmes on en déduit que lim n→+∞? 5 1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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EXERCICE13 points

Commun à tousles candidats

0,02=50 secondes

Solution:On chercheP(X?120)

P(X?120)=1-P(X<120)=1-?

0,02e-0,02tdt

Solution:On chercheP(Y?90)

P(Y?90)≈0,409

X?t(X?t+h)=p(X?h) donc?1-pX?t(X?t+h)?=?1-p(X?h)?

30)=P(X?30)

EXERCICE23 points

Commun à tousles candidats

Solution:1+i=?2?

Z=2Re(Z)

2eiπ4?n=??2?n?

2ncos?nπ4?

Il faut donc étudier le signe de cos

Sin=8k,k?N,

4?=cos?8kπ4?=cos2kπ=1.

OnadoncS8k=2??

Sin=8k+1,k?N,

On a doncS8k+1=2??

24k+1(cos0+isin0).

Sin=8k+2,k?N,

8k+2=0 : il n"a pas d"écriture trigonométrique.

Sin=8k+3,k?N,

8k+3=2??

24k+2(cosπ+isinπ).

Sin=8k+4,k?N,

8k+4=2??

2?8k+4cos?(8k+4)π4?=24k+3×-1.

24k+3(cosπ+isinπ).

Sin=8k+5,k?N,

8k+5=2??

24k+3(cosπ+isinπ).

Sin=8k+6,k?N,

8k+6=0 : il n"a pas d"écriture trigonométrique.

LibanPage 229 mai 2018

Sin=8k+7,k?N,

8k+7=2??

24k+4(cos0+isin0).

Solution:

Affirmation A: Vraie car?n?N,Sn=2Re(Z)?R

LibanPage 329 mai 2018

EXERCICE34 points

Commun à tousles candidats

Solution:pourt=0 on aS1(0)(140 ; 105 ;-170)

A(140 ; 105 ;-170) etB(80 ; 15 ;-200)

602+902+302=?12600=30?14

14mètresparminutessoit

14≈6,73 km.h-1

14 est égale à la distance AB.

On a donc dans le triangle rectangle ABC : sin

AB=3030?14=1?14.

2=-248-(-68)

3=-60 car après3minutes, le sous-marin est à une profondeur

On en déduitz2(t)=-68-60t.

1(t)=z2(t)??-170-30t=-68-60t??t=102

30=3,4

LibanPage 429 mai 2018

EXERCICE45 points

Commun à tousles candidats

Solution :f?n(x)=0??ln(x)=1n??x=e1

Solution:

1?x?5=?0?ln(x)?ln(5) carx?-→ln(x) est croissante sur [1 ; 5]

0?ln(x)

Solution:

Pour tout entiern>1 ,?

11xndx=?

1-15n-1?

Solution:

LibanPage 529 mai 2018

0?ln(x)xn?ln(5)xn.

1ln(5)

1ln(5)

11xndx=ln(5)n-1?

1-15n-1?

1ln(5)

Sin=8k,k?N,

Sin=8k+1,k?N,

Sin=8k+2,k?N,

Sin=8k+3,k?N,

Sin=8k+4,k?N,

Sin=8k+5,k?N,

Sin=8k+6,k?N,

Sin=8k+7,k?N,