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1 ൢ

lim

ݱ ൣ 1 limఈչ୑

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ݱ limఈչ୑

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5 ୓ൢ 6ݱ ൣ 5 si ݱ ൬ 1

ݱൣ ݱ si ݱ ൯ 1

ݱ ൣ 2

୔ൣ 1 ൭ 0 ֻ ቗1 ൢ ݡቘൣ ݟ቗1ቘ ൩ෂ቗1 ൢ ݡቘ ୔ൣ 1ൣ 0 ୓ൢ ݡ୔ൣ 1 ୓ቝݡ ൢ 3 ൢ3

ݡ|හݡ ൢ 3 ൢ3

lim ௸չ୑ݡ ൢ 3 ൩ 3 ; lim௸չ୑௸௒୑ 3 ݡ൩ ൢ∞ donc par addition lim௸չ୑ݡ ൢ 3 ൢ3 lim

Comme ݡ ൭ 0,

lim ݟ቗1 ൢ ݡቘൣ ݟ቗1ቘ ቗1 ൢ ݡቘൣ ݟ቗1ቘ ൩1 ൢ ݡ

1 ൢ

ൣ 1 lim 1 ݡ൩ ൢ∞ et alors lim௸չ୑1 ൣ1

De plus lim

ݟ቗1 ൢ ݡቘൣ ݟ቗1ቘ 2

ݱ୓ൢ 3

lim

ݟ቗ݱቘൣ ݟ቗1ቘ

ݱ ൣ 1൩1

2 lim

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2

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ݡ቗ݱቘൣ ݡ቗0ቘ

ݱ൩ ൣ2

lim

ఈչ୒ఈ௑୒ݟ቗ݱቘ൩ limఈչ୒ఈ௑୒2 ൣ ݱ୓൩ 2 ൣ 1୓൩ 1 ൩ ݟ቗1ቘ

lim ఈչ୒ఈ௒୒ݟ቗ݱቘ൩ limఈչ୒ఈ௑୒ 1

ݱ൩1

1 ൩ 1 ൩ ݟ቗1ቘ lim

ݟ቗ݱቘൣ ݟ቗1ቘ

ݱ ൣ 1൩ limఈչ୒ఈ௑୒

2 ൣ ݱ୓ൣ 1

ݱ ൣ 1൩ limఈչ୒ఈ௑୒

1 ൣ ݱ୓

ݱ ൣ 1൩ limఈչ୒ఈ௑୒ ቗1 ൣ ݱቘ቗1 ൢ ݱቘ ݱ ൣ 1൩ limఈչ୒ఈ௑୒ൣ1 ൣ ݱ ൩ ൣ2 lim

ݟ቗ݱቘൣ ݟ቗1ቘ

ݱ ൣ 1൩ limఈչ୒ఈ௒୒ 1

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1 ൣ ݱ

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ݱ୓൩ limఈչ୛௓ݱ ൩ ൢ∞ et de même limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘ൩ ൣ∞

lim

ఈչଡ଼୒ݱ୔ൢ 3ݱ୓ൢ 5ݱ ൢ 5 ൩ ൣ1 ൢ 3 ൣ 5 ൢ 5 ൩ 2 et limఈչଡ଼୒቗ݱ ൢ 1ቘ୓൩ 0୛ donc par quotient limఈչଡ଼୒ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

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୓ൣ቗ݱ ൢ 1ቘ ቗ݱ ൢ 1ቘ୓൩ݱ

୔ൢ 3ݱ୓ൢ 5ݱ ൢ 5 ൣ቗ݱ୔ൢ 3ݱ୔ൢ 3ݱ ൢ 1ቘ

ݱ ൢ 1ቘ

୓൩2ݱ ൢ 4

ݱ ൢ 1ቘ୓

lim

ఈչ୛௓ݟ቗ݱቘൣ቗ݱ ൢ 1ቘ൩ limఈչ୛௓

2ݱ ൢ 4

ݱ ൢ 1ቘ

୓൩ limఈչ୛௓ 2ݱ ୓൩ limఈչ୛௓ 2

ݱ൩ 0 et de même limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘൣ቗ݱ ൢ 1ቘ൩ 0

୓ൢ 6ݱ ൢ 5ቘ቗ݱ ൢ 1ቘ୓ൣ 2቗ݱ ൢ 1ቘ቗ݱ୔ൢ 3ݱ୓ൢ 5ݱ ൢ 5ቘ

ݱ ൢ 1ቘ

ݱ ൢ 1ቘ

୔ൢ 3ݱ୓ൢ 6ݱ୓ൢ 6ݱ ൢ 5ݱ ൢ 5 ൣ 2ݱ୔ൣ 6ݱ୓ൣ 10ݱ ൣ 10

ݱ ൢ 1ቘ

୔ൢ 3ݱ୓ൢ ݱ ൣ 5

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ݜ ൣ ݛ ൩ 1

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ݜ ൩ 5

et donc ݟ ୓ൢ 4ݱ ൢ 5ቘ

ݱ ൢ 1ቘ

ݱ ൣ∞ ൣ1 1 ൢ∞

ݱൢ1 ൣ ൣ 0 ൢ

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2ݱ ൣ 3ቘ୓

ݲ ൩ ൣ4

2ݱ ൣ 3ቘ୓൩ ൣ4 ֻ 4ݱ୓ൣ 6ݱ ൩ ൣ4቗4ݱ୓ൣ 12ݱ ൢ 9ቘֻ

୓ൣ 14ݱ ൢ 9 ൩ 0 ୒୑൩ 1 5 5

2 ൥9

5 ൣ 3 ൩8125൥5 3 ൩27 5 ൩ ൣ12቗ݱ ൢ 2ቘ ቗ݱ ൣ 2ቘ୕൬ 0 lim

ݱ ൢ 2

ݱ ൣ 2൩ limఈչ୛௓

ݱ൩ 1 et limఈչ୒ݱ୔൩ 1 donc par composition limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ 1

ݱ ൣ∞ 2 ൢ∞

1 1 ቜൣ∞;1ቛ؈ ቜൣ∞;1ቛ؈ 2 ୓ൣ 6ݱ ൢ 3 ୓ൣ 4ݱ ൢ 3 2

2 3 ൢ∞

ൣ∞ 0 0 lim

Par produit avec limఈչ୛௓ݱ ൩ ൢ∞,on trouve limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞

De la même manière, limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘ൩ ൣ∞ 2 ୓ൣ቗ݱ୓ൣ 1ቘ ୓ቝ1 ൣ1

ݱ|හ1 ൣ1

ݱ൩ළ1 ൣ1

ݱ୓ car ݱ ൭ 0 donc |ݱ|൩ ݱ lim 1 ୓൩ 0 donc limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ 1 ቗ݱቘ൩ ൣළ1 ൣ1 ୓ donc limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘ൩ ൣ1

ݱ ൣ∞ ൣ1 1 ൢ∞

0 1

ൣ1 0 lim lim

ఈչଡ଼௓ݱ୓ൢ 8 ൩ limఈչଡ଼௓ݱ୓൩ ൢ∞

lim et par addition limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘ൩ ൢ∞ ቗ݱቘ൩8

୓ൢ 8ൢ ݱ et donc limఈչ୛௓ෂݱ୓ൢ 8ൢ ݱ ൩ ൢ∞ et limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘ൩ 0

ğǝĻĭ ݮ቗ݱቘ൩ ݱ୓ൢ 8 2 ୓ൢ 8 0 ቗ݱቘൣ቗ൣ2ݱቘ൩ ൣݱ ൢෂݱ ୓ൢ 8ൢ 2ݱ ൩ ݱ ൢෂݱ୓ൢ 8൩ ൣ8 lim

ఈչଡ଼௓ݱ ൣෂݱ୓ൢ 8൩ ൣ∞ donc limఈչଡ଼௓ݟ቗ݱቘൣ቗ൣ2ݱቘ൩ 0

቗ൣ1ቘ൩ ൣ4

ݜ ൩ 0

ݜ ൩ 0

ݜ ൩ 0

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୔ൣ 3ݱ୓ൢ 1͵

ݱ ൢ 2ቘ୓

቗ൣ1ቘ൩ 6 ቗0ቘ൩ 5 2 ൩ 5 4 ൩ 0

4ൢ 5 ൣݜ

2ൢ ݜ ൩ 6

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2 4

ݛ ൩ 3

቗ݱቘൣ቗ݱ ൢ 3ቘ൩4

ݱ ൢ 2

donc limఈչ୛௓ݟ቗ݱቘൣ቗ݱ ൢ 3ቘ൩ 0 limఈչ୒ݟ቗ݱቘ ൩ ݟ቗1ቘ ୓ൣ 1 si ݱ ൯ 1

2ݛ ൣ 4 ൢ 6 ൩ ൣݛ ൣ 1ֻ

ݛ ൩ ൣ1

lim ఈչ୓ݱ ൢ 5 ൩ 7 et limఈչ୓ఈ௒୓

ݱ ൣ 2

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