exercices résumés de cours exercices n, il existe des nombres premiers 1 p , 2 Modulo n, a est toujours congru à son reste r dans la division euclidienne
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— Donner la congruence modulo 18 de 1823242 puis celle de 2222321 modulo 20 Exercice 20 — Montrer que n7 ≡ n mod 42 Page 3 3
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible par n On note a
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n ≡ 4 [7] 3 Combien d'entiers naturels inférieurs `a 1000 sont congrus `a 27 modulo 11? Chiffre des unités avec les congruences A l'aide des congruences,
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14 jan 2021 · EXERCICE 27 1) Démontrer à l'aide d'un tableau de congruence que pour tout entier n, n 2 est congru soit à 0, soit à 1, soit à 4, modulo 8
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Exercice 1 (On n'a pas besoin de calculer explicitement la puissance) Exercice 10 a) Soit a ∈ Z Montrons que a2 est congru `a 0, 1 ou 4 modulo 8
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Par conséquent N est divisible par 6 si et seulement si n(2n + 1)(n + 1) ≡ 0[6] On dresse un tableau des restes dans la congruence modulo 6 : n 0 1 2 3 4 5
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P(k) est vraie pour tout k ≥ 1 Exercice f 2 Le reste de la DE de n par 5 vaut 0, 1, 2, 3 ou 4 C'est-à-dire, n est congru modulo 5 à l'un de ces 5 nombres Si n ≡ 0,
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Montrer que : ∀ n ∈ Z, n7 ≡ n [42] Exercice 10 Puissances de 10 modulo 7 1) Vérifier que 106 ≡ 1 [7] 2) Montrer
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Allez à : Correction exercice 1 : Aucun entier n'est tel que son carré soit congru à −1 modulo 5 6 Maintenant on va utiliser les propriétés des congruences
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contrôlescorrigés
51. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruencesrésumés de cours
exercices1Divisibilité, nombres
premiers, division euclidienne et congruencesDIVISIBILITÉ DANS Z
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a) lorsqu'il existe un entier k tel que bka= (a divise b se note alors a/b).Exemples
15 divise 45 puisque :
45 3 15=×.
48 est un multiple de 12 puisque :
48 4 12=×.
Propriétés
1. a/b a/b a/ b a/ b .2. Tout diviseur positif a de b (avec
b0) vérifie : 1ab.3. Tout entier positif (non nul) a un nombre fini de diviseurs.
Exemple
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 sont les diviseurs positifs de 60 (il en
possède douze).Propriétés
Si a/b et b/c alors a/c.
Si a/b et a/c alors a/ bu cv+ pour tous entiers u et v (et en parti- culier : a/b c+ et a/b c).Exemples
15 divise 30 et 30 divise 120 donc 15 divise 120.
12 divise 24 et 12 divise 60 donc 12 divise 228 (puisque
228 2 24 3 60=×+×
NOMBRES PREMIERS
Définition
Soit p un entier strictement positif. On dit que p est premier lorsqu'il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même (c'est-à-dire p).Exemples
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29 sont tous des nombres premiers (2 est le seul
nombre premier pair). Attention : l'entier 1 n'est pas un nombre premier !61. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
Définition
Un nombre strictement positif, différent de 1, qui n'est pas premier est dit composé.Théorème fondamental de l'Arithmétique
Tout nombre entier supérieur strictement à 1 admet au moins un diviseur premier.Propriétés
1. Tout nombre composé n admet un diviseur premier inférieur ou égal à
n.2. Si aucun des entiers compris entre 2 et
n ne divise n, alors n est premier.L'algorithme qui teste si un nombre est premier
L'algorithme ci-dessous permet de tester si un entier est premier. Il utilise la propriété précédente (propriété 2.).Propriété
Il y a une infinité de nombres premiers (Euclide (325-265 av. J.-C.)). Théorème de décomposition en facteurs premiers Tout entier n strictement supérieur à 2 se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers, c'est-à-dire que pour tout contrôlescorrigés71. Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences
résumés de cours exercices résumés de cours exercices n, il existe des nombres premiers 1 p, 2 p, ... r p et des entiers non nuls 1 k, 2 k, ... r k tels que12 rkk k12 r
n p p ...p=.Exemples
1. On a :
32360 2 3 5=××.
2. On a :
45 2952560 2 3 5 7=×××.
Remarques
1. Pour trouver la décomposition en facteurs premiers d'un entier, on
divise autant de fois qu'il est possible par 2, puis par 3, 5, 7, etc.2. L'instruction ifactor() (sous Xcas) permet d'obtenir la décomposition
en facteurs premiers d'un entier.Propriété
a divise b si et seulement si les facteurs premiers intervenant dans la décomposition de a interviennent dans la décomposition de b avec un exposant inférieur. Ainsi tous les diviseurs de l'entier12 rkk k12 r
n p p ...p= sont de la forme 12 r 12 r n p p ...p avec 11 0k , 220k , rr 0k .