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25 mai 2013 · On note ν(f) ∈ N⋆ cet entier, appelé indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn Dans cette question, 

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Feuilles d'exercices-MP ½¼ º¾Corrigé,Pr J DEBARBIEUX,LycéeFaidherbe, Lille On considère un endomorphisme nilpotent u de E, c'est à dire un

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apr`es avoir donné la définition d'un endomorphisme nilpotent et de l'indice de nilpotence (illustrer avec des exemples), il faut Exercices corrigés Exercice 1

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Corrigé de la feuille 1 Exercice 1 On note n = dim(E) Soit k = dim Ker(f) 0 = 0 et donc f0 est un endomorphisme nilpotent de V0 On a immédiatement Ker(f0) 

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Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si 

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Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), endomorphisme f de E On suppose que fest nilpotent d'ordre n, c'est-à-dire 

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4 nov 2010 · Réduction des endomorphismes Corrigé Exercice 4 Soit k un corps d'un endomorphisme nilpotent est 0, la seule valeur propre de fFi est λi

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30 août 2017 · Exercice 1 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E tel que Montrer que tout endomorphisme nilpotent (i e dont une puis-

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+:Professeur Agrégé (1995)-Docteur (2009) en Math +:Master 1 (2011) en Sc de l"éducation, Univ. Rouen +:MP-CPGE My Youssef, Rabat +:Enseignant en Classes Prépas depuis 1995 ):mamouni.myismail@gmail.com -:mamouni.new.frMamouni My Ismail c ?2011

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Sommaire

Autour de la Comatrice.

1

Énoncé

1

Endomorphismes nilpotents.

3

Énoncé (cnc 2005, TSI)

3

Corrigé (Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat)

5

Endomorphismes cycliques.

7

Énoncé (extrait cnc 99, MP)

7

Endomorphismes nilpotents d'indice n et n-1

10

Énoncé

11

Corrigé, Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat

13

Matrices Stochastiques

16

Énoncé (extrait cnc 2002, TSI)

17 Décomposition Spectrale et racine carrée d'un endomorphisme 19

Énoncé (extrait CCP PC 2010)

19

Corrigé (Pr. Blache, CPGE France)

23

Recherche de quelques polynômes minimaux

31

Énoncé : (extrait e3a 2008, MP)

31

Corrigé Pr. Dufait, CPGE France

35

Commutant d'une matrice

41

Énoncé : (extrait e3a 2011, MP)

41
Corrigé, Pr. Stainer, Lycée Clemenceau, Nantes 43

Diagonalisation du crochet de Lie

45

Enoncé : CNC 2000, MP

45

Corrigé, Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat

49

Topologie des matrices

56

Énoncé (extrait CNC)

56
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Problème du point xe.

60

Topologie des racines carrés d'une matrice

62

Enoncé : CCP 2005, MP

62

Corrigé, Pr. Devulder, CPGE France

66

Algèbres de dimension 2

71

Énoncé : CNC 96

71

Corrigé, Pr. Med. El Fatemi, CPGE CPR Tanger

76
matrices positives et décomposition de Cholesky 82

Énoncé : CCP 2003, PSI

82
Corrigé, Pr. J. DEBARBIEUX, Lycée Faidherbe, Lille 88

Espaces d'Artin et applications

95

Énoncé : Extrait Centrale 2010, MP

96

Corrigé : Pr. Boujaida, CPGE Rabat

102

Coniques-Quadriques

116

Exercice 1 : Extrait e3a 2009, MP

117

Exercice 2 : Extrait e3a 2004, MP

118

Corrigé Exericie 1, Pr. Dufait

121

Corrigé Exericie 2, Mma Gayout

123

Fonctions harmoniques

125

Énoncé : Mines-Ponts 2004, MP

125

Courbes & Surfaces

130

Énoncé : e3a 2009, PSI

130

Corrigé : Pr Skler, CPGE France

132

Calcul Différentiel, Courbes & Surfaces

136

Problème : extrait X 2004, MP

136

Problème : Mines-Ponts 2004, MP

138

Corrige Problème I : Pr. Duval, CPGE France

141
Corrigé Problème II : Pr. Patte, CPGE France 143
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PROBLÈMESCORRIGÉS-MP

Calcul Différentiel, Courbes & Surfaces

145

Problème : extrait cnc 2007, PSI

145

Exercice I : extrait e3a 2007, MP

147

Exercice II : extrait e3a 2008, MP

149
Corrigé Problème : Pr. Chabchi, CPGE Marrakech 150

Corrigé Exercice I : Pr. Deyris, CPGE France

152

Corrigé Exercice II : Pr. Lemaire, CPGE France

153

Valeur moyenne d'une fonction

156

Enoncé : CNC 2006, MP

156

Corrigé : Pr. Mamouni, CPGE Rabat, Maroc

160
Transformée de Fourier, de Lebesgue. Séries de Dirichlet 169

Enoncé : CCP 2011, PSI

169

Pr. Verschueren, Lycée Daudet à Nîmes

173

Suites et séries de fonctions

182

Problème I : Exemple d'étude

182
183

Corrigé : Pr. Deyris, CPGE France

190

Équations de Bessel et la fonction Gamma

194

Énoncé : CNC 2007, MP

194

Corrigé : Pr. Taibi, CPGE Rabat, Maroc

198

Fonction Gamma et Psi d'Euler

207

Problème I : Extrait CCP 2006, MP

207

Problème II : Extrait e3a 2011, MP

210

Corrigé Problème II : Pr. Patte

212

Ev. Euclidiens : Les "must" Classiques

214

Matrice de Gram.

214

Décomposition polaire

215

Endomorphismes normaux.

216

Décomposition de Cholesky, QR.

216
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F?=EmaisF?={0E}.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216? ? ? ?

Rayleigh, Courant Fischer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217? ?

Réduction simultanée et décomposition de Cholesky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218? ? ? ?

Enoncé : Extrait CCP 2011, MP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218? ?

Phénomène de Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224? ? ? ?

Énoncé : CCP 2006, MP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225? ? ? ?

Corrigé : Pr. Boujaida, CPGE Rabat, Maroc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229? ?

Équations différentielles : Exemple d'étude.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235? ? ? ?

Énoncé : CNC 2004, MP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235? ? ? ?

Corrigé : Pr. Mamouni, CPGE Rabat, Maroc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

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Fonctions holomorphes : Série de Fourier lacunaire quadratique? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????2 5 . 1

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Formule de Green-Rieman & Intégrale de Dirichlet? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????2 6 . 1

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1

Devoir LibreAutour de la Comatrice.

•Pourquoi les vaches ne parlent pas ? - C'est marqué la ferme.

•Deux vaches discutent dans un pré :

La première : Dis, ça t'inquiète pas, ces histoires de vaches folles dont on parle en ce moment ?

La deuxième : Non, moi, je m'enfou

, je suis un lapin.

Blague du jour

Mathématicien français, connu pour ses travaux en théorie des nombres et en cryptologie. En 1884, il entra premier l'école nor- male supérieure. Son résultat le plus célèbre estπ(x) +∞≂x lnxoù π(x)désigne le nombre de nombres premiers inférieursx. Il a laissé son nom auxmatrices de Hadamardutilisés en algorithmes quantiques, traitement du signal, compression de donnes, ...

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Mathématicien du jour

Énoncé¬SoitA? Mn(R)triangulaire supérieure. a

On suppose queAest inversible.

Soitf? L(Rn), associéAdans la base canoniqueB=

(e1,···,en), on poseFk=Vect(e1,···,ek)pour toutk? {1,...,n}.i

Montrer quef(Fk) =Fk.

ii

En déduire quef-1(Fk) =Fk.

iii En déduire queA-1est triangulaire supérieure. iv En déduire quecom(A)est triangulaire inférieure. b

On suppose queAest non inversible.i

Montrer que?α?=0 tel que?0<ε<α, on aA-εIn, non inversible. ii En déduire quecom(A)est triangulaire inférieure.

SoitA? Mn(R).

Montrer que : si rg(A) =nalors rg(com(A)) =n

si rg(A) =n-1 alors rg(com(A)) =1 *Indication : On pourra utiliser le résultat suivant, dit théorème de Rouché-Fontené : SiA? Mn,p(R)tel que rg(A) =r, alors il existe une matrice carréeB? Mr(R)extraite deAqui soit inversible. ):mamouni.myismail@gmail.com 1

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-MAMOUNIMYISMAILMAMOUNI.NEW.FR ®Exprimer com(λA). en fonction deλ,net com(A). ¯Calculer com(comA)dans le cas oùAest inversible.

°Soitn≥2 etA? Mn(R).

a

Calculer com(In).

b

SiAetBsont inversibles, démontrer que

com(AB) = (comA)(comB)et com(A-1) =com(A)-1.c Démontrer le même résultat dans le cas général, en con- sidérant des scalairesλtels queA-λIetB-λIsoient in- versibles. d En déduire que siAetBsont semblables, alors comA et comBle sont aussi. F in F in

Á la prochaine

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2

Devoir LibreEndomorphismes nilpotents.

Un homme regarde un match de foot dans un café, lorsque son équipe nationale marque un but, le chien se met à courir dans tout les sens. Le voisin demande à l'homme : Qu'est ce qui lui arrive votre chien ? - Il est supporter de l'équipe nationale, il est content. - Ben dites donc, juste pour un but ! Et qu'est-ce-qu'il fait quand elle gagne un match ?!! - Je ne sais pas, je ne l'ai que depuis 5 ans...Blague du jour Mathématicien russe, connu pour ses travaux dans le domaine des probabilités et des statistiques. Tchebychev appartient à l'école mathématique russe fondée par Daniel Bernoulli et Euler. Il démontra en 1850 une conjecture énoncée par Bertrand : Pour tout entiernau moins égal à 2, il existe un nombre premier entrenet 2n.Pafnouti Lvovitch Tchebychev (1821-1894)

Mathématicien du jour

Énoncé (cnc 2005, TSI)

Edésigne un espace vectoriel réel de dimension nien≥2. L'iden- tité est notéeIE. Pouru? L(E), on poseu0=IE. On considère un endomorphisme nilpotentudeE, c'est à dire un endomorphisme tel qu'il exister?N?avecur=0; on pose alors p=min? k?N?/uk=0? a

Justier qu'il existex0?Etel queup-1(x0)?=0.

b Montrer que la famille(x0,u(x0),···,up-1(x0))est li- bre. c

On suppose qu'il existev? L(E)tel quev2=u.

a 2. b

Donner alors un exemple de matriceM? M2(R)telle

que l'équationX2=Mn'ait pas de solution dansM2(R). ):mamouni.myismail@gmail.com 3

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Dans cette question, on suppose quep=n; on a donc

u n-1?=0 etun=0. On considère un endomorphismegdeE tel queg2=IE+u.a

Soitx1?Etel queun-1(x1)?=0. Justier que

(x1,u(x1),···,un-1(x1))est une base deEet qu'il existe (α0,···,αn-1)?Rntel queg(x1) =n-1∑ k=0α kuk(x1). b Vérier queg◦u=u◦get montrer queg=n-1∑ k=0α kuk. c Justier que la famille(IE,u,···,un-1)est libre puis, en calculantg2de 2 façons, montrer queα20=1, 2α0α1=1 et q k=0α

Montrer alors queα0?{-1,1}et que, pour tout

k?{1,···,n-1},αkpeut être exprimé de manière unique en fonction deα0. e Conclure qu'il y a exactement deux endomorphismes de

Edont le carré est égal àIE+u.

® *:Application: Déterminer toutes les matricesX? M4(R) telles queX2=((((1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1)))) F in F in

Á la prochaine

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Corrigé (Pr. Mamouni, CPGE My Youssef, Rabat)¬ a p=min{k?N?tel queuk=0}, doncup-1?=0, et par suite?x0?Etel queup-1(x0)?=0. b p-1up-1(x0) =0, on compose parup-1et commeuk=

0,?k≥p, alorsλ0up-1(x0) =0, orup-1(x0)?=0, d'où

0=0, ce qui donneλ1u(x0) +...+λp-1up-1(x0) =0, on

compose cette fois parup-2, ce qui donne

1up-1(x0) =0, d'oùλ1=0 et on re-itère le même procédé

jusqu'à montrer que tous lesλisont nuls. D'où la famille

C= (x0,u(x0),...,up-1(x0))est libre.

c etn≥p, d'oùun=0. a v2p= (v2)p=up=0 etv2(p-1)=up-1?=0.

Posons :q=min{k?N?tel quevk=0}, donc 2(p-1)<

2. b

Soit=?0 10 0?

. On aM2=0 etM=0, doncp=2, pourM? L(R2), d'où suivant la question précédente si X

2=M, on devrait avoirp3

2, ce qui n'est pas le cas, donc

l'équationX2=M, n'admet pas de solutions. a De la même façon que dans la question 1.2), on montre que la famille(x1,u(x1),...,un-1(x1))est libre, or son cardi- nal est égal àn=dim(E), donc c'est une base, et pas suite c'est une famille génératrice deE, org(x1)?E, d'où l'ex-

1u(x1) +...+αn-1un-1(x1).

b g2=u+IE, d'oùu=g2-IEet doncgu=g3-g=ug. Et par récurrence surk?N, on montre queguk=ukg. gu(x1) =u(g(x1)) =α0u(x1) +α1u(u(x1)) +...+αn-1un-1(u... gu n-1(x1) =un-1(g(x1)) =α0un-1(x1) +...+αn-1un-1(un-1(x1 Ainsigetα0IE+...+αn-1un-1coïncident sur la base (x1,u(x1),...,un-1(x1)), et comme elles sont linéaires elles coïncident surE. c on applique cette relation àx1, on trouveλ0(x1) +λ1u(x1) + ...+λp-1un-1(x1) =0, or la famille(x1,u(x1),...,un-1(x1)) est libre, ):mamouni.myismail@gmail.com 5

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1 ére façon :g2=IE+u.

2 ème façon :g2=?

n∑ k=0α kuk? 2 n∑ q=0? q k=0α kαq-k? u q n∑ q=0β kuqAvec :βk=q k=0α kαq-k Et par identication puisque la famille(IE,u,...,un-1)est libre, on a alors :β0=α20=1,β1=2α0α1=1 etβq=

0,?q≥2.d

α20=1, doncα0? {-1,1}.

Montrons par récurrence surq? {1,...,n}, queαqs'exprime de façon unique en fonction deα0.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40