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Nilpotent et diagonalisable, je t"aime, moi non plus...

Dominique Hoareau, domeh@wanadoo.fr

On se place dans l´alg`ebreMp(C) des matrices de taillep`a coefficients complexes, munie de sa structure

topologique naturelle d" espace vectoriel de dimension finie. On raconte la saga de deux familles,Ndes

matrices nilpotentes etDdes matrices diagonalisables.

1) Il y a des ressemblances entre ces deux partiesNetDdeMp(C),notamment des similitudes de structures.

Ce sont 2 cˆones (non r´eduit `a 0, donc non born´es), ´etoil´es en 0 (donc connexe par arcs), non convexes sans

autre forme particuli`ere de stabilit´e et si on ajoute un peu de commutation, on compense quelques lacunes

de structure. (cf Partie 6)

2) Qui se ressemble s´assemble, voil`a l´union avec la d´ecomposition de Dunford : Toute matriceMdeMp(C)

s´´ecritM=D+N, Ddiagonalisable,Nnilpotente avec un tas de bonnes propri´et´es. (cf Partie 4)

3) Il y a ´evidemment quelques orages entre ces amants. Illustration d´un premier affrontement : toute

exponentielle de matrice est un polynˆome en la matrice. Mais existe-t-il un polynˆome qui coincide avec

l´exponentielle matricielle?Ndit oui,Ddit non. Chacun tire la couverture vers soi et c´estDqui a le

dernier mot. (cf Partie 3)

4) Ce premier exemple pr´efigure une opposition de poids. Topologiquement, l´encombrement deDest lar-

gement plus cons´equent que celui deNdansMp(C).(cf Partie 2)

5) Malgr´e une opposition criarde dans les multiplicit´es des valeurs propres (cf Partie 5), on rapproche les

nilpotents dont le noyau est une droite et les diagonalisables `a spectre simple (cf Partie 9) en ´etudiant les

rapports deNetDavec un troisi`eme cˆone, celui des matrices cycliques.

6) On cherche par ailleurs l´intersection des 2 cˆones. Elle est r´eduite `a la matrice nulle, ce qui laisse dire que

ˆetre diagonalisable et ˆetre nilpotente sont pour les matrices des propri´et´es antinomiques. (cf Partie 7)

7) L´intersection des 2 cˆones nilpotent et diagonalisable apparaˆıt clairement avec les caract´erisations topo-

logiques. (cf Partie 8)

1 Le d´ecor

Soitp?N?.On d´esigne parMun ´el´ement g´en´erique deMp(C) et parfl´endomorphisme deCpde ma-

triceMdans la base canonique deCp.On noteNetDles cˆones des matrices nilpotentes et diagonalisables

deMp(C). On choisit la lettreN(resp.D) pour d´esigner une matrice nilpotente (resp. diagonalisable) et

les minuscules idoines pour les endomorphismes canoniquement associ´es. On rappelle que sinest un endomorphisme nilpotent deCpet siFest un sous-espace stable parn,

l´endomorphisme induit parnsurFest lui mˆeme nilpotent. On a un r´esultat analogue si on remplace

l´hypoth`ese "nnilpotent" par "ddiagonalisable". Si on appelleE1,...,Ekles sous-espaces propres distinctes

associ´es aux valeurs propres distinctesλ1,...,λkded,on retiendra queF=?

1?i?kF∩Ei.Exercice1

Montrer que siN1,...,Npsontpmatrices nilpotentes deMp(C)commutant deux `a deux, alorsN1...Np= 0.

On raisonne par r´ecurrence surp.En dimension 1, il n´y a rien `a dire. On suppose la propri´et´e vraie jusqu``a

p-1?1.On noten1,...,nples endomorphismes deCpcanoniquement associ´es aux matricesNi.Sinp= 0,

le r´esultat est ´evident. Sinon, on envisage son imageF=Im(np),qui est stable par chaqueni,et on note ˜ni1

l´endomorphisme induit parnisurF.Chaque ˜niest nilpotent et, puisqueFest de dimension inf´erieure `a

p-1,˜n1...˜np-1=O.Pourxquelconque dansCp,on ´ecritn1...np-1np(x) =n1...np-1(y) avecy=np(x)?F.

Ainsi,n1...np-1np(x) = ˜n1...˜np-1(y) =Od´o`u le r´esultat.

En particulier, on retiendraLemme1

L´indice de nilpotence d´une matriceNnilpotente deMp(C)est inf´erieure ou ´egal `ap.

Autrement dit,Nest nilpotente si, et seulement si,Np= 0.Remarque: Le cˆone nilpotent est ferm´e (non compact puisque non born´e) dansMp(C) puisque c´est l´image

r´eciproque du ferm´e{0}par l´application continueM?→Mp.

SiMest un ´el´ement deMp(C),son polynˆome caract´eristique ΠM(X) = det(M-XIp)) s´´ecrit :

M(X) = (-1)p[Xp-ap-1Xp-1-...-a0].

R´eciproquement, tout polynˆome Π deC[X] du type Π(X) = (-1)p[Xp-ap-1Xp-1-...-a0] est le polynˆome

caract´eristique de la matrice C ((((0a0 1 ...a1 ...0...

1ap-1)

dite matrice compagnon de Π.Pour s´en convaincre, on peut remplacer la ligneL1de det(CΠ-XIp) par

L

1←L1+XL2+...+Xp-1Lp

puis d´evelopper le nouveau d´eterminant selon sa premi`ere ligne. Une matriceMdeMp(C) est dite cyclique

lorsqueMest semblable `a une matrice compagnon. On v´erifie facilement que cela ´equivaut encore `a dire

qu´il existe un vecteuredeCptel que (e,f(e),...,fp-1(e)) est une base deCp,ce qui justifie la terminologie.

Dans ce cas, on dit queeest un g´en´erateurfcyclique deCp.On remarque enfin que la familleCdes matrices

cycliques deMp(C) est un cˆone ´epoint´e (ayant 0 dans son adh´erence). SoitM? Mp(C) cyclique etλ?C?.

La matriceλ Mest semblable `a la matriceλ CΠM.Sifλest l´endomorphisme deCprepr´esent´e dans la

base canonique (e1,...,en) parλ CΠM,la matrice defλdans la base (1λ p-1e1,1λ p-2e2,...,1λ ep) est encore une matrice compagnon, ce qui prouve queλ Mest cyclique.

2 Une opposition de poids dansMp(C)

On veut comparer l´encombrement deNetDdansMp(C).

2.1 Aspect vectoriel

On commence par engraisser les cˆonesDetNen envisageant les sous espaces qu" ils engendrent. On peut s´attendre `a de grosses parties (convexes) deMp(C).Proposition1

-Le sous-espace deMp(C)engendr´e par les matrices nilpotentes est l´hyperplan noyau de la forme lin´eaire

trace.-Le sous-espace deMp(C)engendr´e par les matrices diagonalisables estMp(C).Pour1: On commence par le

2

Lemme2

SiMest une matricep×pde trace nulle,Mest semblable `a une matrice `a diagonale nulle.On raisonne par r´ecurrence surp.Pourp= 1,il n´y a rien `a faire. On suppose la propri´et´e vraie jusqu´au

rangp-1.SoitMune matricep×pde trace nulle. Puisque la caract´eristique deCest nulle,Mn´est pas

scalaire. Soit alors, en vertu du lemme de Schur, une colonneCdansCptelle que (C,MC) soit libre. On compl`ete (C,MC) en une base deCpetMest semblable `a M (((0? 1? ? ...N 0? ?) ))),avecTr(M) =Tr(M?) =Tr(N) = 0.

La r´ecurrence s´enclenche avecN? Mp-1(C).

Soit `a pr´esentMune matrice de trace nulle. Elle est semblable `a une matriceM?`a diagonale nulle. Or

M

?est combinaison lin´eaire des matrices ´el´ementairesEi,j,(i?=j) qui sont nilpotentes. D´o`u facilement le

r´esultat. Pour2: On r´ealise la preuve en dimension 2. Une matriceM=?a b c d?

´etant donn´ee, on choisitλ?C,

puisμ?Ctel queμ?=λetd-μ?=a-λet on ´ecrit :

M=?a b

c d? =?λ b

0μ?

`a spectre simple+?a-λ0 c d-μ? `a spectre simple. Voici un corollaire qui assure la transition avec le paragraphe suivant :Corollaire1

Le cˆoneNest d´int´erieur vide dansMp(C).SiNa un int´erieur non vide, alors le sous-espace engendr´e parNest un sous-espace d´int´erieur non vide

donc coincide avecMp(C).Ce qui n´est pas.

2.2 Aspect topologique

"Sortir" une matrice compagnon deMp(C),c´est choisir sespvaleurs propres, ou tirer avec remisep

scalaires deC.On sent bien qu´une matrice compagnon est "statistiquement" `a valeurs propres distinctes et

non nulles. Lorsqu´on sort maintenant une matriceMdeMp(C),on peut consid´erer la matrice compagnon

du polynˆome caract´eristique Π MdeMdoncMest aussi statistiquement `a spectre simple (avec 0/?Sp(M)) donc

1diagonalisable (inversible). On ne sera ainsi pas surpris de d´ecouvrir que, siMn´est pas diagonalisable

(respectivement est nilpotente), elle est en tout cas ´etouff´ee par des matrices diagonalisables (respectivement

inversibles).Proposition2

1.Le cˆone des matrices complexes diagonalisables a pour int´erieur l´ensembleD◦des matrices diagona-

lisables `a spectre simple qui est un (ouvert) dense dansMp(C).2.Le groupeGlp(C)des matrices inversibles deMp(C)est un ouvert dense deMp(C)donc le cˆone des

matrices complexes nilpotentes est contenu dans un ferm´e deMp(C)d´int´erieur vide.1

Lespsous-espaces propres deMde dimension au moins 1 et de somme directe sont n´ecessairement de dimension ´egale `a 1.3

Remarque: Le sous-espace engendr´e parDest, commeMp(C), de dimension finie donc est ferm´e. Par

cons´equent, il contient l´ adh´erence deDet on retrouve qu´il coincide avecMp(C).

Pour1:

Densit´e.

SoitM? Mp(C), ε >0.On appelleλ1,...,λsles valeurs propres distinctes deMetn1,...,nsleurs multipli-

cit´es. Par trigonalisation deM,il existeP? Glp(C) etT? Mp(C) de la formeT=(

1? ··· ?

0

0···0λs)

tel queM=PTP-1=P(

1? ··· ?

0

0···0λs)

))))P-1.On commence par s´eparer lesλien choisissant

ρ?]0;ε[ tel que les disques ferm´es centr´es enλiet de rayonρsoient disjoints deux `a deux. Pour 1?i?s,

on choisit, sur le cercle de centreλiet de rayonρ, nicomplexes distinctesz1i,...,znii.Si|| ||est la norme

surMp(C) d´efinie par||M||= max1?i,j?p|mi,j|etν=????P-1•P????, ν(M-D)?ρ < εo`uDest la matrice

diagonalisable `a spectre simpleD=P( ((((z

11? ··· ?

0

0···0znss)

))))P-1.Int´erieur deD.On vient de voir que l´adh´erence deDestD=Mp(C).Si on admet provisoirement que la fronti`ereFr(D)

deDest l´ensemble des matrices complexes ayant au moins une valeur propre multiple, on conclut que

l´int´erieur deDest◦D=D \Fr(D) =D◦.Reste `a d´eterminer la fronti`ere deD.SoitM? Mp(C) ayant au

moins une valeur propre multipleλ.PuisqueD◦est dense dansMp(C), Mest dans l´adh´erence deD.Par

ailleurs, par trigonalisation deM,il existeP? Glp(C) tel que M=P(

0λ ...?

0 0? ?

0 0...?)

)))))P -1. On envisage alors la suite deMp(C) de terme g´en´eralMk=P( (((((λ μ+1k

0λ ...?

0 0? ?

0 0...?)

)))))P -1.Pourk >1|μ|si μ?= 0,k?1 sinon,Mkn´est pas diagonalisable sous peine de voir le bloc?λ μ+1k

0λ?

diagonalisable et

la suite (Mk) converge versM:Mest aussi dans l´adh´erence du compl´em´entaire deD.Ainsi, la fronti`ere de

Dcontient les matrices `a valeurs propres non distinctes. Soit `a pr´esentMdans la fronti`ere deD.PuisqueM

est adh´erent au compl´ementaire deD,il existe une suite (Mk) de matrices non diagonalisables convergeant

versM.Les matricesMkont toutes au moins une valeur propre multipleλket ces valeurs propres sont

born´ees. En effet, on choisit surMp(C) une norme|| ||subordonn´ee `a une norme deCp,un entierk0tel4

quek?k0? ||Mk||?||M||+ 1.Puisque chaque valeur propre deMkest inf´erieur en module `a||Mk||,la suite (λk) est born´ee par max? max

1?k .Quitte `a extraire une sous suite de (λk),on peut supposer que (λk) qui v´erifie ΠMk(λk) = Π?M k(λk) = 0 converge dansCvers un certainλ.A la limite on a

M(λ) = Π?M(λ) = 0 ce qui prouve queMa au moins une valeur propre multiple et, en donnant la deuxi`eme

inclusion, ach`eve la preuve.

Pour2: PourM? Mp(C),detMest un polynˆome en les coefficients deMdonc l´application d´eterminant

est continue surMp(C).PuisqueC?est un ouvert deC,Glp(C) = det-1(C?) est aussi ouvert. Soit `a pr´esent

MdansMp(C) etε >0.PuisqueMn´a qu´un nombre fini de valeurs propres, on choisitρ?]0;ε[ tel que

M(ρ)?= 0.Ainsi,M-ρIest inversible et, en envisageant la norme ||M||= max1?i,j?p|mi,j| surMp(C),||M-(M-ρI)||=||ρI||?ε,ce qui assure la densit´e deGlp(C) dansMp(C).

3 Un premier affrontementProposition3

Pour toutM? Mp(C),exp(M)est un polynˆome enM.Pourk?N?,on poseQk(X) = 1+X+...+1k!Xk?C[X].La matrice exp(M) est limite de la suite (Qk(M))

`a valeurs dansC[M].OrC[M] est un sous-espace deMp(C) de dimension finie (´egale au degr´e du polynˆome

minimalμMdeM) donc est ferm´e dansMp(C).Ainsi, exp(M)?C[M]. Existe-t-il un polynˆomeQ?C[X] (universel) tel que :?M? Mp(C) exp(M) =Q(M) ?

On a une r´eponse imm´ediate si on se restreint au cˆoneNdes matrices nilpotentes : pourN? N,l´ indice

de nilpotence est inf´erieure `apdonc exp(N) =I+N+...+1(p-1)!Np-1.En revanche, le r´esultat est faux

dansMp(C). On raisonne par l´absurde; On suppose qu´il existe un tel polynˆomeQqui v´erifie alors, en

particulier, ?λ?C,exp(Diag(λ,0,...,0)) =Q(Diag(λ,0,...,0)), c-`a-d ?λ?C,( (((exp(λ) 0...0

0 1...0

0 0...1)

(((Q(λ) 0...0

0Q(0)...0

0 0... Q(0))

Ainsi l´exponentielle num´erique coincide avec le polynˆomeQ?C[X],ce qui est clairement faux.

4 L´union sacr´ee par Dunford

SiN? Mp(C) est nilpotente, il existek?N?tel queNk= 0,donc det(N) = 0,donc 0 est valeur propre deN.Soitλune valeur propre complexe deNetX?Cp, X?= 0 un vecteur propre associ´e. On aNkX=λkX= 0 doncλest n´ecessairement nul. Ainsi, on retiendra queN? Napfois la valeur propre 0 ou, de fa¸con ´equivalente, son polynˆome caract´eristique est Π

N(X) = (-1)pXp.Puisque l´indice

de nilpotence deNest inf´erieur `ap,le polynˆome ΠNest annul´e parN.Soit maintenantDune matrice

diagonalisable. Il existeP? Glp(C) et Δ =Diag(λ1,...,λp)? Dtels queD=PΔP-1.On a alors ΠD(D) =

P Diag(ΠD(λ1),...,ΠD(λp))P-1= 0.Le c´el`ebre th´eor`eme de Cayley-Hamilton affirme en fait que toute

matriceMdeMp(C) (ou tout endomorphismefdeCp) annule son polynˆome caract´eristique. Pour le5

justifier, on peut utiliser la densit´e deDdansMp(C), ce qui d´une certaine fa¸con revient `a n´egliger les

matrices nilpotentes dansMp(C). Grossi`erement, on peut ´ecrireM≈D.La d´ecomposition de Dunford

abonde dans ce sens et apparaˆıt comme une formule exacte. Afin d´´eviter toute d´ecomposition non pertinente

comme ?1 2 0 3? diagonalisable=?1 0 0 3? diagonalisable+?0 2 0 0?quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14