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14 oct 2015 · Si on montre ces deux phases la propriété est démontrée pour tout entier naturel b) Montrons par récurrence que la suite (un) est croissante

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c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un ) est d) On utilise un raisonnement par récurrence (voir section 2) Il est bien évident DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE Une suite (un) 

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Recurrence : exemplespage 1 de 2

Recurrence : exemplesI

1.Soituune suite croissante. Demontrer par recurrence queun>u0pour toutn.

Initialisation:u0>u0.

Heredite: Soit un indicentel queun>u0. Comparonsun+1au0.un+1>un puisqueuest croissante. Orun>u0, donc par transitiviteun+1>u0. La propriete est donc bien hereditaire. Donc d'apres le principe de recurrence,un>u0pour toutn.

2.Soitula suite denie paru0= 2etun+1=un+ 12

. Demontrer par recurrence queu est minoree par 1.

Initialisationu0>1 : vrai puisque 2>1.

HerediteSoit un indicentel queun>1. Alorsun+ 1>2 etun+ 12 >1. Donc u n+1>1 : la propriete est hereditaire. Donc, d'apres le principe de recurrence,un>1 pour toutnet doncuest minoree par 1.

3.Soitula suite denie paru0= 2etun+1=un+ 12

. Demontrer par recurrence queu est decroissante.

La propriete de recurrence estP(n) :un>un+1.

Initialisationu0>u1: vrai puisqueu0= 2 etu1=32

HerediteSoit un indicentel queun>un+1. Alorsun+ 1>un+1+ 1 etu n+ 12 >un+1+ 12 . Doncun+1>un+2: la propriete est hereditaire. Donc, d'apres le principe de recurrence,un>un+1pour toutnet doncuest decroissante.

4.Soitula suite denie paru0= 1etun+1=f(un), avecf(x) =15

(x3+1). Demontrer par recurrence queuest minoree par 0 et majoree par 1. On admettra qu'on peut demontrer quefest croissante.Initialisation06u061 : vrai puisqueu0= 1

HerediteSoit un indicentel que 06un61.

En appliquantf:f(0)6f(un)6f(1), carfest croissante. Comme de plus

06f(0)6f(1)61, on a 06un+161. Donc la propriete est hereditaire.

Donc, d'apres le principe de recurrence, 06un61 pour toutnet doncuest minoree par 0 et majoree par 1.

5.Soitula suite denie paru0= 1etun+1=f(un), avecf(x) =15

(x3+1). Demontrer par recurrence queuest decroissante. On admettra qu'on peut demontrer quefest croissante.

Initialisationu0>u1: vrai puisqueu0= 1 etu1=25

HerediteSoit un indicentel queun>un+1.

En appliquantf:f(un)>f(un+1), carfest croissante. Doncun+1>un+2.

Donc la propriete est hereditaire.

Donc, d'apres le principe de recurrence,un>un+1pour toutnet doncuest decroissante.

6.u0= 1etun+1=un+2n. Demontrer par recurrence queuest une suite geometrique.

u

1= 2. Donc la raison de la suite ne peut ^etre queu1u

0= 2.

SoitPla propriete denie parP(n) :un+1= 2un.

Initialisation:P(0) s'ecritu1= 2u0. C'est vrai d'apres le calcul precedent. Heredite: Soitnun indice tel queP(n) soit vraie, c'est-a-direun+1= 2un. Calculonsun+2:un+2=un+1+ 2n+1== 2un+ 22n= 2(un+ 2n) =

2un+1.

Donc, pour lenconsidere,P(n+ 1) est vraie, etPest donc hereditaire. Donc, d'apres le principe de recurrence,P(n) est vraie pour toutn:un+1= 2un, et doncuest une suite geometrique (de raison 2).

7.u0=13

etun+1=un+22n. Demontrer par recurrence queuest une suite geometrique. M^eme type d'exercice que le precedent, exemple d'une autre methode.

D'apres le calcul des premiers termes :

13 ;43 ;163 ;643 , on conjecture queun=4n3 , et on le demontre par recurrence. Recurrence : exemplespage 2 de 2Initialisation:u0=13 =403

Heredite: pour unntel queun=4n3

, on aun+1=4n3 +22n== 4n(13
+1) = 4 n+13 . Donc la propriete est hereditaire.

Donc d'apres le principe de recurrence,un=4n3

pour toutn, ce qui prouve queu est une suite geometrique de raison 4 (formeu0qn).

8.Pourn>2, on appellesnla somme desnpremiers nombres pairs a partir de 2.

Montrer par recurrence quesn=n2+npour toutn>2.

Les premieres valeurs desnsont : 2 + 4 = 6;2 + 4 + 6 = 12 puis 20, 30, 42. Initialisation:P(2) s'ecrits2= 22+ 2. C'est vrai cars2= 2 + 4 par denition. Heredite: Soitnun indice tel queP(n) soit vraie, c'est-a-diresn=n2+n. Calculonssn+1:sn+1=sn+ le (n+ 1)-ieme nombre pair. Or le premier nombre pair>2 est 2, le deuxieme est 22, le troisieme 23, le quatrieme

24;:::, le (n+ 1)-ieme est 2(n+ 1) .

Doncsn+1=sn+ 2(n+ 1) =n2+n+ 2(n+ 1) == (n+ 1)2+ (n+ 1).

Donc la propriete est hereditaire.

Donc d'apres le principe de recurrence,sn=n2+npour toutn>2

9.u1= 2etun+1= 2

1 +1n u n. Demontrer par recurrence queun=n2npour tout n>1.

Initialisation:u1= 121: vrai caru1= 2.

Heredite: Soitnun indice tel queun=n2n. calculonsun+1: u n+1= 2 1 +1n n2n=n2n+1+ 2n+1= (n+ 1)2n+1. Donc la propriete est hereditaire. Donc d'apres le principe de recurrence,un=n2npour toutn>1

10.u1=12

etun+1=12 1 +1n u n. Demontrer par recurrence queun62n pour tout n>3.

Initialisation:u3623

caru3==38

Heredite: Soitnun indice tel queun62n

. Comparonsun+1a2n+ 1.

D'apres la relation de recurrenceun+12n+ 1612

1 +1n 2n

2n+ 1.

Or 12 1 +1n 2n

2n+ 1==n2+ 2n+ 1n

2(n+ 1)On peut demontrer que, pourn>3, on an2+ 2n+ 160 (avec la regle du

signe d'un trin^ome, ou avec l'etude de la fonctionx7! x2+ 2x+ 1, ou avec la forme canonique 2(n1)2). Doncun+12n+ 160, ce qui prouve que la propriete est hereditaire.

Donc d'apres le principe de recurrence,un62n

pour toutn>3. (en fait, c'est vrai pour toutn>1, car on le verie directement pouru1etu2).

11.Demontrer que, pour tout entiern>0,(1 +p2)

nest de la formean+bnp2, ouan etbnsont des nombres entiers.

Initialisation: Pourn= 0 : (1 +p2)

n= 1 = 1 + 0p2, qui est bien de la forme voulue, aveca0= 1 etb0= 0.

Heredite: Soitnun nombre tel que (1+p2)

n=an+bnp2 avecanetbnentiers.

Calculons (1+p2)

n+1: (1+p2) n+1= (1+p2) n(1+p2) = (an+bnp2)(1+ p2) == (an+ 2bn) + (an+bn)p2. Oran+ 2bnetan+bnsont bien des nombres entiers puisqueanetbnle sont. Donc (1 +p2) n+1est bien de la forme voulue, ce qui prouve que la propriete est hereditaire. Donc d'apres le principe de recurrence, pour tout entiern>0, (1+p2) nest de la formean+bnp2, ouanetbnsont des nombres entiers.IIExercices tests

1.Soitula suite denie paru0= 0etun+1=3un+ 1u

n+ 2pourn>0. Demontrer en utilisant un raisonnement par recurrence queuest positive ou nulle et majoree par 2.

2.Dans l'exercice 11, on a montre que, pour toutnentier>0, il existeanetbnentiers

tels que(1 +p2) n=an+bnp2. Determineran+1etbn+1en fonction deanetbn. En deduire, en raisonnant par recurrence, que pour toutn>1, on a2n16bn6an63nquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40