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Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S
ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L"ESPACE
I- Orthogonalité de droites et de plans
1. Droites orthogonales
Définition
Soitd1etd2deux droites de l"espace.
On dit qued1etd2sont orthogonales si pour un pointMde l"espace, les droitesd?1etd?2parallèles respectivement àd1et àd2passant parMsont perpendiculaires (les
droitesd?1etd?2sont coplanaires car sécantes).On pourra noterd1?d2.
Exemple
Soit un cubeABCDEFGH.
?A?B? C?D? E?F? G ?HLes droites (EH) et (BF) sont orthogonales.
En effet la droite (EH) est parallèle à la droite (FG) qui est parallèle à la droite (BF).
2. Droites et plan orthogonaux
Définition
Soit une droitedet un planPde l"espace. On dit quedest orthogonale àPsi elle est orthogonale à toute droite deP. 1 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S P d IExemple
ABCDEFGHest un cube.
?A?B? C?D? E?F? G ?HLa droite (BF) est orthogonale au plan (ABC).
II - Produit scalaire dans l"espace
Définition 1
Soit-→uet-→vdeux vecteurs de l"espace et trois pointsA,B,Ctels que-→u=--→ABet-→v=-→AC.
2 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S Il existe un planPqui contient les pointsA,BetC(ce plan est unique si les points ne sont pas alignés).Le produit scalaire des vecteurs-→uet-→v, noté-→u .-→vest le produit scalaire des vecteurs--→ABet-→ACdans le planP.
On retrouve les différentes expressions du produit scalaire. -→u .-→v=12(?-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2).
Si-→uet-→vsont deux vecteurs non nuls du plan,-→u .-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(-→u ,-→v).
SiA?=Bet siHest le projeté orthogonal deCsur la droite (AB) dans le planP,Définition 2
Deux vecteurs?uet?vde l"espace sont dits orthogonaux si et seulement si?u.?v= 0. On note ?u??v.Définition 3
Un repère orthonormé de l"espace est un repère (O;?i,?j,?k) tel que??i?=??j?=??k?= 1 et ?i??j,?j??k,?k??i.Définition 4
SoitPun plan de l"espace etMun point de l"espace.
Le projeté orthogonal deMsur le planPest le point d"intersectionHde la droite passant parMet orthogonale àPavec le planP.Théorème 1
(norme d"un vecteur - distance entre deux points)Soit (O;-→i ,-→j ,-→k) un repère orthonormé de l"espace. Soit un vecteur-→u(x;y;z) dans ce
repère. -→u?=? x2+y2+z2. Soit deux pointsA(xA;yA;zA) etB(xB;yB;zB) dans ce repère. AB=? (xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2.Démonstration
SoitMle point de l"espace tel que--→OM=-→uetHle projeté orthogonal deMsur le plan (O;-→i ,-→j). 3 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S xyz ?i? j? k O ?M HLe triangleOHMest rectangle enHdoncOM2=OH2+HM2.
Dans le plan (O;-→i ,-→j),H(x;y) doncOH2=x2+y2.--→HM=z-→kdoncHM=|z| × ?-→k?=|z|(le repère est orthonormé donc?-→k?= 1) et
HM 2=z2 On a bienOM2=x2+y2+z2, soit?-→u?2=x2+y2+z2et?-→u?=? x2+y2+z2.Propriété 1
(expression analytique du produit scalaire) Soit (O;-→i ,-→j ,-→k) un repère orthonormé de l"espace. Soit deux vecteurs-→u(x;y;z) et-→v(x?;y?;z?). u .-→v=xx?+yy?+zz?.Démonstration
-→u .-→v=12(?-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2)
12[(x+x?)2+ (y+y?)2+ (z+z?)2-(x2+y2+z2)-(x?2+y?2+z?2)]
=xx?+yy?+zz?Propriétés 2
Pour tous vecteurs-→u,-→vet-→wde l"espace et tout réelk: -→u .-→v=-→v .-→u.(on dit que le produit scalaire est symétrique) -→u .(-→v+-→w) =-→u .-→v+-→u .-→w (k-→u).-→v=-→u .(k-→v) =k×(-→u .-→v)Démonstration
Analogue à la démonstration faite pour le produit scalaire dans le plan en utilisant l"ex- pression analytique.III- Produit scalaire et orthogonalité
4 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S1. Droites orthogonales
Propriété
Deux droitesdetd?de vecteurs directeurs respectifs?uet?u?sont orthogonale si et seulement si?u.?u?= 0.2. Vecteur normal à un plan
Définition
On dit qu"un vecteur non nul-→nde l"espace est normal à un planPsi et seulement si-→nest orthogonal à tout vecteur du planP.
Théorème
Un vecteur-→nest normal à un planPsi et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du planP.Démonstration
On suppose que-→nest orthogonal à deux vecteurs-→uet-→vnon colinéaires du planP,
ce qui signifie que-→n .-→u= 0 et-→n.-→v= 0. (-→u ,-→v) est une base deP. Pour tout vecteur-→wdeP, il existe deux réelsaetbtels que-→w=a-→u+b-→v.On a alors :-→n.-→w=-→n .(a-→u+b-→v) =a-→n.-→u+b-→n.-→v= 0.-→nest bien orthogonal à-→w.
La réciproque est immédiate.
3. Droite orthogonale à un plan
Théorème
: Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonaleà deux droites sécantes de ce plan.
P d IDémonstration(au programme exigible)
Soit un planP, deux droites sécantesd1etd2contenues dans le planPet une droite dorthogonale àd1et àd2. 5 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale S Soit?u1un vecteur directeur ded1,?u2un vecteur directeur ded2et?vun vecteur directeur ded. dest orthogonale àd1donc?vest orthogonal à?u1. dest orthogonale àd2donc?vest orthogonal à?u2.Soit Δ une droite dePde vecteur directeur?u.
Les vecteurs?u,?u1,?u2sont coplanaires, avec?u1et?u2non colinéaires. Il existe donc deux réelsaetbtels que?u=a?u1+b?u2.?v.?u=?v.(a?u1+b?u2=a?v.?u1+ b?v.?u 2= 0. La droitedest donc orthogonale à la droite Δ. Réciproquement, sidest orthogonale à toute droite demathscrP, alors elle est ortho- gonale à deux droites sécantes deP.4. Équation cartésienne d"un plan
Propriété
Soit?nun vecteur non nul et un planPpassant par un pointAde vecteur normal?n. Un pointMappartient au planPsi et seulement si--→AM.?n= 0. ?n P A ?MThéorème 3
Dans un repère orthonormal :
(1) Un plan de vecteur normal-→n(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme : ax+by+cz+d= 0, oùdest un réel. (2) Réciproquement,a,b,cetdétant quatre réels aveca,b,cnon tous trois nuls, l"équationax+by+cz+d= 0 est une équation cartésienne d"un plan de vecteur normal-→n(a;b;c).Démonstration
au programme exigible (1) SoitPun plan de vecteur normal-→n(a;b;c) passant par le pointA(xA;yA;zA).M(x:y;z)? P ?--→AM.-→n= 0
?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) = 0 ?ax+by+cz-axA-byA-czA= 0 ?ax+by+cz+d= 0 avecd=-axA-byA-czA (2) SoitEl"ensemble des pointsM(x;y;z) de l"espace tels queax+by+cz+d= 0. a,b,cne sont pas tous les trois nuls, supposons quea?= 0. 6 Chapitre 10 Orthogonalité et produit scalaire dans l"espace Terminale SLe pointA?
-da;0;0? est un point deE. Soit -→n(a;b;c) etPle plan passant parAde vecteur normal-→n.M(x:y;z)? P ?--→AM.-→n= 0
?a? x+d a? +by+cz= 0 ?ax+by+cz+d= 0Eest donc le planP.
Exemple 1
SoitA(3;-1;4),B(2;1;4) etC(3;-2;0) trois vecteurs de l"espace muni d"un repère orthonormé. Vérifier que les pointsA,B,Cne sont pas alignés et donner une équation cartésienne du plan (ABC).Solution
AB(-1;2;0) et-→AC(0;-1;-4).
Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc--→ABet-→ACne sont pas colinéaires,
les pointsA,B,Cne sont pas alignés, ils définissent un plan noté (ABC).On cherche un vecteur normal-→n(x;y;z) au plan (ABC).?-→n.--→AB= 0-→n.-→AC= 0ce qui équivaut à?-x+ 2y= 0
-y-4z= 0.On peut choisir
-→n(8;4;-1). M(x;y;z)?(ABC)?--→AM.-→n= 0?8(x-3)+4(y+1)-(z-4) = 0?8x+4y-z=-4 Une équation cartésienne de (ABC) est donc : 8x+ 4y-z= 16.Exemple 2
Dans un repère orthonormé, on considère la droite (AB) oùA(1;2;-1) etB(0;1;3) et le planPd"équationx+y+z-1 = 0. Déterminer le point d"intersection de la droite (AB) et du planP.On utilise une représentation paramétrique de la droite (AB).--→AB(-1;-1;4) donc (AB) a pour représentation paramétrique :
?x= 1-t y= 2-t z=-1 + 4t,t?R SoitM?(AB), il existe un réelttel queM(1-t,2-t;-1 + 4t).