Le système () est appelé représentation paramétrique de la droite ; est le paramètre ⃗ Δ étant une droite de l'espace, on considère deux plans 乡 et 乡′ sécants droite Δ, intersection des plans 乡 et 乡′ d'équations cartésiennes respec-
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[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET - maths et tiques
−3 2 R Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de repère ( ;
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Equations cartésiennes d'une droite dans le plan : On cherche une équation cartésienne de la droite passant par et L'intersection de deux plans et est une
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Le système () est appelé représentation paramétrique de la droite ; est le paramètre ⃗ Δ étant une droite de l'espace, on considère deux plans 乡 et 乡′ sécants droite Δ, intersection des plans 乡 et 乡′ d'équations cartésiennes respec-
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Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d): x =13 +5k 2) L'équation cartésienne d'une droite dans le plan était donnée sous la
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L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les L'intersection de deux plans est soit vide , soit un plan , soit une droite
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Démontrer que les deux plans sont sécants Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans 2 Intersection d'un plan
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Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC) L'intersection des deux plans est une droite dont les coordonnées des points vérifient le système
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Si on a une représentation paramétrique, on utilise deux des équations en reportant On s'intéresse aux points d'intersections des trois plans et au lien avec
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On appelle représentation paramétrique de d , le système ⎩│ ⎨ Si la droite d'intersection de deux des trois plans est sécante avec le troisième plan , alors
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Droites et plans de l"espace
11 Représentations analytiques d"une droite
1.1 Dans le plan
Le plan est muni d"un repère orthonormal
1.1.1 Équation cartésienne (Rappels)
1.Soient?et?deux réels non tous les deux nuls.
∙Toute droite?de vecteur normal#»?(?;?)a pour équation??+??+?= 0, où?est un réel. Cette équation est appelée uneéquation cartésiennede la droite?.∙Réciproquement, l"ensemble des points?(?;?)vérifiant??+??+?= 0, où?est un réel, est une droite
de vecteur normal#»?(?;?).∙Le vecteur#»?(-?;?)est un vecteur directeur de la droite?d"équation cartésienne??+??+?= 0.
2.Une équation cartésienne d"une droite?non parallèle à l"axe des ordonnées peut s"écrire sous la forme
?=??+?, où?et?sont deux réels. Cette équation s"appelle l"équation réduitede la droite?.Le vecteur#»?(1;?)est un vecteur directeur de la droite?et le vecteur#»?(?;-1)est un vecteur normal à la
droite?1.1.2 Représentation paramétriquePropriété
La droite?passant par?(??;??)et dirigée par le vecteur#»?(?;?) est l"ensemble des points?(?;?)tels que : ?=??+??, ?∈R Le système(?)est appeléreprésentation paramétriquede la droite?;?est le paramètre.?Démonstration
?(?;?)∈?⇐⇒# »??et#»?sont colinéaires ⇐⇒Il existe un réel?tel que# »??=?#»? ⇐⇒Il existe un réel?tel queß?-??=?? ?-??=??(en passant aux coordonnées) ⇐⇒Il existe un réel?tel queß?=??+??Terminale SDroites et plans de l"espace
2.2 Dans l"espace
L"espace est muni d"un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?).2.2.1 Système d"équations cartésiennes
Soient?,?,?trois réels non tous les trois nuls et?′,?′,?′trois réels non tous les trois nuls.
∙Δétant une droite de l"espace, on considère deux plansPetP′sécants suivantΔet de vecteurs normaux respectifs#»?(?;?;?)et#»?′(?′;?′;?′). #»?et#»?′ne sont pas colinéaires puisquePetP′ne sont pas parallèles. PetP′admettent respectivement pour équations cartésiennes ??+??+??+?= 0et?′?+?′?+?′?+?′= 0, où?et?′sont des réels. La droiteΔest l"ensemble des points?(?;?;?)tels que :ß??+??+??+?= 0
′?+?′?+?′?+?′= 0Le système(?)ß??+??+??+?= 0
′?+?′?+?′?+?′= 0est appelésystème d"équa- tions cartésiennesde la droite?. ∙Réciproquement, un système(?)ß??+??+??+?= 0 ′?+?′?+?′?+?′= 0tel que les vecteurs #»?(?;?;?)et#»?′(?′;?′;?′)ne soient pas colinéaires représente une droiteΔ, intersection des plansPetP′d"équations cartésiennes respec- tives??+??+??+?= 0et?′?+?′?+?′?+?′= 0.PP2.2.2 Représentation paramétrique
Propriété
La droite?passant par?(??;??;??)et dirigée par le vecteur#»?(?;?;?)est l"ensemble des points ?(?;?;?)tels que : ?=??+??, ?∈R Le système(?)est appeléreprésentation paramétriquede la droite?;?est le paramètre.?Démonstration
La démonstration est analogue à celle réalisée pour une droite du planRemarques
∙Si(?)⎧ ?=??+??, ?∈Rest une représentation paramétrique d"une droite?, on peut affirmer que la droite?passe par?(??;??;??)et qu"elle est dirigée par le vecteur#»?(?;?;?).En effet, si on écrit la représentation paramétrique de la droite?dirigée par#»?et qui passe par?, on
trouve(?). ∙Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.Par exemple, les systèmes(?)⎧
⎩?=-1 + 2? ?= 2-? ?= 3 +?, ?∈Ret(?′)⎧ ⎩?= 1-4? ?= 1 + 2? ?= 4-2?, ?∈R 2Terminale SDroites et plans de l"espace
représentent la même droite.Pour le prouver, notons?la droite représentée par(?)et?′la droite représentée par(?′).
#»?et#»?′sont colinéaires donc?et?′sont parallèles.Pour prouver qu"elles sont confondues, il reste à déterminer un point commun à ces deux droites.
Le point?(-1;2;3)appartient à?et il appartient également à?′(pour la valeur du paramètre?= 0,5)
Les systèmes(?)et(?′)représentent donc la même droite. ∙Représentation paramétrique d"un segment, d"une demi-droite Soient?(??;??;??)et?(??;??;??)deux points distincts de l"espace.On note
#»?=# »??,?le point tel que# »??=-#»?. La droite(??)a pour représentation paramétrique ?=??+??, ?∈R où?,?et?sont les coordonnées du vecteur#»?d A B C~u Pour obtenir une représentation paramétrique :∙du segment[??], il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈[0;1]».
∙de la demi-droite[??), il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈[0;+∞[».
∙de la demi-droite[??), il suffit de remplacer dans le système(?): "?∈R» par "?∈]-∞;0]».
3Terminale SDroites et plans de l"espace
3 Intersections de droites et de plans
On considère deux plansPetP′de vecteurs normaux respectifs#»?et#»?′, et deux droites?et?′de vecteurs
directeurs respectifs#»?et#»?′.3.1 Intersection de deux droites
∙Point de vue géométrique1.Les droites?et?′peuvent êtrecoplanaires
Sécantes?
Intersection : un point
Parallèles
Strictement parallèles?
Intersection vide
Confondues
Intersection : la droite?
2.Les droites?et?′peuvent êtrenon coplanaires?
dIntersection vide
∙Point de vue algébrique1.Si#»?et#»?′sont colinéaires, alors les droites?et?′sont parallèles.
On choisit un point?de la droite?.
a) Si?∈?′, alors?et?′sont confondues. b) Si? /∈?′alors?et?′sont strictement parallèles.2.Si#»?et#»?′ne sont pas colinéaires, alors les droites?et?′sont sécantes ou non coplanaires.
Il reste alors à déterminer si ces deux droites ont un point commun. 4Terminale SDroites et plans de l"espaceExercice
L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?). On considère les droites?et?′de représentations paramétriques respectives : ⎩?=-2 + 5? ?=-1-? ?= 3 + 4?, ?∈R?′⎧⎨ ⎩?= 1-? ?= 4 + 3? ?= 5-?, ?∈R Déterminer l"intersection éventuelle des droites?et?′.3.2 Intersection d"une droite et d"un plan
∙Point de vue géométrique1.La droite?peut êtreparallèleàP
?est strictement parallèle àP?est incluse dansPP? PIntersection videIntersection : la droite?
2.La droite?peut êtresécanteàP?
PIntersection : un point
5 ∙Point de vue algébrique1.Si#»?⋅#»?= 0, alors la droite?est parallèle àP.
On choisit un point?de la droite?.
a) Si?∈P, alors?est incluse dansP b) Si? /∈Palors?etPsont strictement parallèles.2.Si#»?⋅#»?∕= 0, alors la droite?et le planPsont sécants suivant un point.
Exercice
L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?). Soient le planPd"équation2?-?+ 3?-2 = 0et la droite?de représentation paramétrique : ⎩?=-2 +? ?= 1 +? ?= 2?, ?∈R Déterminer l"intersection éventuelle de la droite?et du planP.Terminale SDroites et plans de l"espaceRemarque
Pour montrer qu"une droite?est incluse dans un planP, il est souvent plus simple de montrer que tout point
de la droite?appartient au planP.3.3 Intersection de deux plans
∙Point de vue géométrique1.Les plansPetP′peuvent êtreparallèles
Strictement parallèlesConfondus
P P ′P PIntersection videIntersection : le planP
62.Les plansPetP′peuvent êtresécantsPP
Intersection : une droite?
∙Point de vue algébrique1.Si#»?et#»?′sont colinéaires, alors les plansPetP′sont parallèles.
On choisit un point?du planP.
a) Si?∈P′, alorsPetP′sont confondus. b) Si? /∈P′alorsPetP′sont strictement parallèles.2.Si#»?et#»?′ne sont pas colinéaires, alors les plansPetP′sont sécants suivant une droite?.
Exercice
L"espace est rapporté à un repère orthonormal(?;#»? ,#»? ,#»?).Démontrer que les plansP1d"équation?+ 2?-?+ 1 = 0etP2d"équation2?+ 3?-?+ 2 = 0sont sécants
puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d"intersection?.Terminale SDroites et plans de l"espace
4 Intersection de trois plans
On considère trois plansP1,P2etP3de vecteurs normaux respectifs# »?1,# »?2et# »?3. ∙Point de vue géométrique1.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtrevide.
P 1P 2 P 3 P 1P 2P3Deux plans sont sécants suivant une droite?et le
troisième plan est strictement parallèle à?Deux plans sont strictement parallèles et le
troisième les coupe suivant deux droites parallèlesP 1P 2P 3 Deux plans sont strictement parallèles, le troisième est parallèle aux précédents2.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreun point.?
?P 1P 2 P 3 Deux plans sont sécants suivant une droite?et le troisième coupe?en un point?. 7Terminale SDroites et plans de l"espace
3.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreune droite.?
P2 P 1P 3 Les trois plans sont sécants suivant une droite?4.L"intersection des plansP1,P2etP3peut êtreun plan.P
1P 2P3Les trois plans sont confondus
∙Point de vue algébrique1.Si# »?1et# »?2sont colinéaires alorsP1etP2sont parallèles
a) Ou bienP1etP2sont strictement parallèles et dans ce cas l"intersection des trois plans est vide.
b) Ou bienP1etP2sont confondus et dans ce cas on est ramené à l"intersection de deux plans.2.Sinon, l"intersection deP1etP2est une droite que l"on peut noter?.
On est alors ramené à l"intersection d"une droite (la droite?) et d"un plan (le planP3). a) Si?est incluse dansP3, alors l"intersection des trois plans est la droite?. b) Si?etP3sont sécants suivant un point?, alors l"intersection des trois plans est le point?. c) Si?etP3sont strictement parallèles, alors l"intersection des trois plans est vide. En fait dans ce cas de figure, deux options sont possibles :∙Déterminer une représentation paramétrique de la droite?puis déterminer l"intersection éventuelle de
la droite?et du planP3∙Résoudre un système de3équations à3inconnues : le système formé par les3équations cartésiennes
des plans (cf. TD sur la méthode de Gauss). 8quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40