[PDF] [PDF] Projecteurs et symétries - Free

[PDF] Corrigé Problème 1 Partie I On considère un K−espace vectoriel E

Soient deux projecteurs p et q de E vérifiant p ◦q = 0 On définit l' endomorphisme r = p +q −q ◦p a Montrer que r est un projecteur r est 

[PDF] Applications linéaires - Mathieu Mansuy

Montrer qu'une application linéaire p est un projecteur, et savoir l'identifier en calculant Ker(p),Im(p) Écrire la matrice d'une application linéaire f dans une base B

[PDF] Projecteurs et symétries - Free

Alors: 1) p ∈ L(E) et p ◦ p = p 2) Im p = E1 et Ker p = E2 3) E1 = Ker(p − IdE) c' est-à-dire: ∀x ∈ E, x ∈ E1 ⇔ p(x) = x Ainsi E1 est l'ensemble des vecteurs 

[PDF] MPSI 2 : DL 4

Q 5 Soit p un endomorphisme de E Montrer que p est un projecteur de E si et Q 10 Montrer que si les deux projecteurs commutent (f ◦ g = g ◦ f), on a:

[PDF] Les Applications Linéaires Partie 1 — - Pascal Delahaye - Free

19 fév 2018 · Soient deux projecteurs p et q d'un espace vectoriel E 1 Montrer que l' endomorphisme (p + q) est un projecteur de E si et seulement si l'on a p 

[PDF] EXERCICES INCONTOURNABLES - Numilog

Soient p et q deux projecteurs de E (un K-espace vectoriel) tels que p ◦ q = 0 On considère r = p + q − q ◦ p 1 Montrer que r est un projecteur 2 Montrer que 

[PDF] TECHNIQUES & MÉTHODES S25 - MPSI Saint-Brieuc

1 sept 2011 · Im f = Vect {(2, 1), (1, −1), (−1, 2)} = R2 En particulier, f est surjective et non injective Comment étudier un projecteur Pour démontrer qu'un 

[PDF] Énoncé Partie I Trace, projecteurs, crochet Partie II - maquisdoc

24 avr 2020 · Montrer que R est une relation d'ordre sur P(E) c Soit p un projecteur et λ ∈ R\{0 , 1} Montrer que p−λ IdE est un isomorphisme 3 Propriétés 

[PDF] Algèbre Linéaire - Normale Sup

Soit p et q deux projecteurs de E 1) Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si pq + qp = 0L (E) 2 

[PDF] Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Soit p un projecteur de E Montrer que p − λIdE est injective [al004] Exercice 5 Soient f1,f2, ··· ,fn des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E vérifiant :

[PDF] rapport jury capes allemand 2016

[PDF] rapport jury capes allemand 2014

[PDF] rapport jury capes espagnol 2010

[PDF] fonctionnement cyclique de l'appareil génital féminin

[PDF] rythme d'emission de l'ovule

[PDF] trajet des spermatozoides chez l'homme

[PDF] forme d'un ovule

[PDF] comment les partenaires sociaux contribuent-ils ? la détermination des salaires

[PDF] vous montrerez que le progrès technique est facteur de croissance.

[PDF] comment les services collectifs peuvent-ils contribuer ? la justice sociale ec1

[PDF] capes 2015 espagnol

[PDF] comment les territoires ultra-marins contribuent-ils ? la puissance française dans le monde ?

[PDF] le territoire français est-il bien intégré dans l'union européenne

[PDF] quels sont les principaux carrefours francais

[PDF] situation géographique de la france en europe

Projecteurs et symétries

SoitEun espace vectoriel etE1,E2deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansEi.e.E=E1E2.

Projecteur

Définition (Projecteur)

Le projecteurp(ou la projection) surE1parallèlement àE2est défini par: p:E=E1E2!E x=x1+x27!x1: E

1est appelé base de la projection etE2direction de la projection.

On dit quepest un projecteur s"il existeE1etE2deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansEtels que

pest la projection surE1parallèlement àE2.

Exemples

1)

DansR2, [faire une figure dans le plan]

2)

DansR3, [faire une figure dans l"espace], projection sur un plan parallèlement à une droite et projection sur une

droite parallèlement à un plan.

Théorème (Propriétés des projecteurs)Soitpla projection surE1parallèlement àE2. Alors:

1) p2 L(E)etpp=p 2)

Imp=E1etKerp=E2

3) E

1= Ker(pIdE)c"est-à-dire:8x2E; x2E1,p(x) =x:

AinsiE1est l"ensemble des vecteurs invariants parp.

Preuve -

1) Soient(x;y)22E2,(;)2K2alorsx=x1+x2ety=y1+y2où(x1;y1)2(E1)2et(x2;y2)2(E2)2. Donc: p(x+y) =p(x1+x2+y1+y2) =p(x1+y1| {z

2E1+x2+y2|

{z 2E2)
=x1+y1=p(x) +p(y):

Doncpest linéaire. Et:

(pp)(x) =p(p(x)) =p(p(x1+x2)) =p(x1) =p(x1|{z}

2E1+ 0

E|{z}

2E2) =x1:

Doncpp=p.

2)

Par définitionImpE1.

Inversement, soitx12E1alors

x

1=p(x1|{z}

2E1+ 0

E|{z}

2E2)2ImpdoncE1Imp:

FinalementE1= Imp.

Soitx2Kerpalors d"une partp(x) = 0E. D"autre partx=x1+x2oùx12E1etx22E2, doncp(x) =x1. Finalement x

1= 0Eet doncx=x22E2. On a donc montré queKerpE2.

Inversement, soitx22E2. Alorsp(x2) =p( 0E|{z}

2E1+x2|{z}

2E2) = 0

Edoncx22Kerp. DoncE2Kerp.

FinalementE2= Kerp.

3)

Soitx2Ealorsx=x1+x2oùx12E1etx22E2. Alors

x2E1,x=x1,p(x) =x1=x,(pIdE)(x) = 0E,Ker(pIdE): 1 Théorème (Caractérisation des projecteurs)Supposonsp2 L(E). Alors: pprojecteur,pp=p:

Dans ce casImpetKerpsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deEetpest le projecteur surImp=

Ker(pIdE)parallèlement àKerp.

Preuve -): supposons quepest un projecteur. Alors d"après le théorème précédentpp=p. (: supposons quepp=p.

Montrons tout d"abord queE= Kerp+ Imp.

On a clairementKerp+ ImpEcarKerpetImpsont des sous-espaces vectoriels deE.

Inversement, soitx2E, alors

x=p(x)| {z

2Imp+(xp(x)|

{z

2Kerp)carp(xp(x)) =p(x)p(p(x)) =p(x)(pp)(x) =p(x)p(x) = 0E:

DoncEKerp+ Imp. FinalementE= Kerp+ Imp.

Montrons maintenant queKerp\Imp=f0Eg.

On a clairementf0Eg Kerp\Imp.

Inversement, soitx2Kerp\Imp. Alors d"une partp(x) = 0E. D"autre part, il existeu2Etel quex=p(u)alors p(x) =p(p(u)) = (pp)(u) =p(u) =x: Doncx= 0E, finalementKerp\Imp f0Eg. DoncKerp\Imp=f0Eg.

Les deux premiers points prouvent alors queE= KerpImp.pest donc la projection surImpparallèlement àKerp. En effet soit

x2Ealorsx=x1+x2oùx12Impi.e.x1=p(u)oùu2Eetx22Kerp. Donc p(x) =p(x1+x2) =p(x1) +p(x2) =p(p(u)) =p(u) =x1:

Symétries

Définition (Symétrie)

La symétriespar rapport àE1parallèlement àE2est définie par: s:E=E1E2!E x=x1+x27!x1x2: E

1est appelé base de la symétrie etE2direction de la projection.

On dit quesest une symétrie s"il existeE1etE2deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansEtels que

sest la symétrie par rapport àE1parallèlement àE2.

Exemples

1)

DansR2, [faire une figure dans le plan]

2)

DansR3, [faire une figure dans l"espace], symétrie par rapport à un plan parallèlement à une droite et symétrie

par rapport à une droite parallèlement à un plan.

Théorème (Propriétés des symétries)Soitsla symétrie par rapport àE1parallèlement àE2. Alors:

1) s2 L(E),ss= IdEet doncsest bijective avecs1=s 2) Ims=EetKers=f0Eg(on retrouve le fait quesest bijective) 3) E

1= Ker(sIdE),E2= Ker(s+ IdE)c"est-à-dire

8x2E; x2E1,s(x) =x; x2E2,s(x) =x:

AinsiE1est l"ensemble des vecteurs invariants etE2est l"ensemble des vecteurs transformés en leur opposé.

4) s= 2pIdEoùpest la projection surE1parallèlement àE2. 2 Preuve -1)Soient(x;y)2E2,(;)2K2alorsx=x1+x2ety=y1+y2où(x1;y1)2(E1)2et(x2;y2)2(E2)2. Donc: s(x+y) =s(x1+x2+y1+y2) =s(x1+y1| {z

2E1+x2+y2|

{z

2E2) =x1+y1(x2+y2)

=(x1x2) +(y1y2) =s(x) +s(y):

Doncsest linéaire. Et:

(ss)(x) =s(s(x)) =s(s(x1+x2)) =s(x1x2) =s(x1+ (x2)) =x1(x2) =x1+x2=x:

Doncss= IdE.

2)

ClairementImsE.

Inversement, soitx2Ealorsx=x1+x2oùx12E1etx22E2alorsx=x1+x2=s(x1x2)2ImsdoncEIms.

FinalementE= Ims.

Clairementf0Eg Kers.

Inversement, soitx2Kersalors d"une parts(x) = 0E. D"autre partx=x1+x2oùx12E1etx22E2, doncs(x) =x1x2.

Finalementx1x2= 0Eet doncx1=x22E1\E2=f0Eg. Finalement,x1=x2= 0E. On a donc montré queKers f0Eg.

En conclusionKers=f0Eg.

3) Soitx2Ealorsx=x1+x2oùx12E1etx22E2. Doncs(x) =x1x2. Alors x2E1,( x=x1 x

2= 0E,s(x) =x1=x,(sIdE)(x) = 0E,x2Ker(sIdE)

x2E2,( x=x2 x

1= 0E,s(x) =x2=x,(s+ IdE)(x) = 0E,x2Ker(s+ IdE):

4) Soitx2Ealorsx=x1+x2oùx12E1etx22E2, doncs(x) =x1x2= 2x1(x1+x2) = 2p(x)x. Finalements= 2pIdE. Théorème (Caractérisation des symétries)Supposonss2 L(E) . Alors: ssymétrie,ss= IdE:

Dans ce casKer(sIdE)etKer(s+ IdE)sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deEetsest la symétrie

par rapport àKer(sIdE)parallèlement àKer(s+ IdE).

Preuve -): supposons quesest une symétrie. Alors d"après le théorème précédentss= IdE.

(: supposons quess= IdE. Montrons tout d"abord queE= Ker(sIdE) + Ker(s+ IdE). On a clairementKer(sIdE) + Ker(s+ IdE)EcarKer(sIdE)etKer(sIdE)sont des sous-espaces vectoriels deE.

Inversement, soitx2E, alorsx=1

2 (x+s(x)| {z

2Ker(sIdE)) +

1 2 (xs(x)| {z

2Ker(s+IdE))car

s(x+s(x)) =s(x) +s2(x) =s(x) +xets(xs(x)) =s(x)s2(x) =s(x)x=(xs(x)): DoncEKer(sIdE) + Ker(s+ IdE). FinalementE= Ker(sIdE) + Ker(s+ IdE). Montrons maintenant queKer(sIdE)\Ker(s+ IdE) =f0Eg.

On a clairementf0Eg Ker(sIdE)\Ker(s+ IdE).

Inversement, soitx2Ker(sIdE)\Ker(s+IdE)alorss(x) =xets(x) =xdoncx= 0E, finalementKer(sIdE)\Ker(s+IdE)

f0Eg. DoncKer(sIdE)\Ker(s+ IdE) =f0Eg. Par conséquentE= Ker(sIdE)Ker(s+ IdE).

Les deux premiers points prouvent queE= Ker(sIdE)Ker(s+IdE).sest donc la symétrie par rapportKer(sIdE)parallèlement

àKer(s+ IdE). En effet, soitx2Ealorsx=x1+x2oùx12Ker(sIdE)etx22Ker(s+ IdE). Donc s(x) =s(x1+x2) =s(x1) +s(x2) =x1x2: 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40