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Avec les données de l'exercice précédent, représenter à l'aide d'un tableur le nuage de points correspondant, puis en effectuer un ajustement affine Solution

Statistiques à deux variables : les exercices

Exercice 1

(Dans tout cet exercice, les résultats concernant la population seront arrondis au million). Le tableau suivant donne l"évolution de la population de l"Inde de1951à1991. année19511961197119811991

Rangxi12345

Populationyi(en millions)361439548683846

zi On cherche à étudier l"évolution de la populationyen fonction du rangxde l"année.

1. Représenter graphiquement le nuage de points(xi;yi)dans le plan muni d"un repère orthonormal

d"unités graphiques2sur l"axe des abscisses et1cm pour100millions sur l"axe des ordonnées.

2. Le modèle étudié dans cette question sera appelée " droitede Mayer ».

(a)G1désigne le point moyen des trois premiers points du nuage etG2celui des deux derniers points.

Déterminer les coordonnées deG1et deG2.

(b) Déterminer l"équation réduite de(G1G2)sous la formey=ax+b. (c) Tracer la droite(G1G2)sur le graphique précédent.

(d) En utilisant cet ajustement, calculer la population de l"Inde que l"on pouvait prévoir pour2001.

3. (a) À l"aide de la calculatrice, déterminer un ajustementaffine deyenxpar la méthode des moindres

carrés. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire. (b) Tracer cette droite ?sur le graphique précédent.

4. On cherche un autre ajustement et on se propose d"utiliserle changement de variable suivant :z=lny.

(a) Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne.

(b) À l"aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine dezen fonction dexpar la méthode

des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

et conclure.

(d) En déduire qu"une approximation de la popu1ationy, exprimée en millions d"habitants, en fonc-

tion du rangxde l"année est donnée par :y ?289 e0,215x. (e) Représenter graphiquement cette fonction ?sur le graphique précédent. (f) En utilisant cet ajustement, calculer la population quel"on pouvait prévoir pour2001. BTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010

5. Les résultats obtenus en2001ont révélé que la population comptait1027millions d"habitants.

Déterminer une estimation de la population en2011en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.

Exercice 2

Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : - des chaudières dites " à cheminée », - des chaudières dites " à ventouse ». Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Ajustement affine

Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant :

Rang de l"année :xi012345

Nombre de chaudières

fabriquées par milliers : yi15,3515,8116,4416,7517,1917,30

1. À l"aide d"une calculatrice, déterminer :

(a) le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variablesxety; arrondir à

10 -2;

(b) déterminer une équation de la droite de régression deyenx, sous la formey=ax+b, oùasera

arrondi à10-3etbsera arrondi à l"unité.

2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de

chaudières qui seront fabriquées l"année de rang 7.

B. Probabilités conditionnelles

L"entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminéeet 600 chaudières à ventouse.

Dans ce lot, 1 % des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 % des chaudières à ventouse sont défec-

tueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d"être prélevées.

On considère les évènements suivants :

A: " La chaudière est à cheminée »;

B: " La chaudière est à ventouse »;

D: " La chaudière présente un défaut ». -2- BTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010

1. DéterminerP(A),P(B),P(D/A)etP(D/B).

2. CalculerP(D

?A)etP(D?B).

3. En remarquant queD= (D

?A)?(D?B)et que les événementsD?AetD?Bsont incompatibles, calculerP(D)etP(¯D).

Exercice 3

On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d"enfants nés hors mariage en France mé-

tropolitaine.

Annéeai198019851990199520002003

Proportionyi11,419,630,137,642,645,2

On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l"année.

1. (a) Construire le nuage de points de coordonnées(ai, yi)dans le plan muni du repère orthogonal

suivant ?sur l"axe des abscisses, on placera 1980 à l"origine et on prendra comme unité0,5cm, ?sur l"axe des ordonnées, on placera10à l"origine et on prendra comme unité0,5cm. (b) Un ajustement affine semble-t-il adapté?

2. On noteal"année etyla proportion, on posex=a-1950ett=lnx.

(a) Compléter le tableau suivant :

Annéeai198019851990199520002003

xi=ai-195030 ti=lnxi3,401 yi11,4 On donnera pourtdes valeurs arrondies au millième.

(b) Exprimeryen fonction detpar une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres

carrés. On arrondira les coefficients au dixième. (c) En déduire la relation :y=61,3lnx-197.

(d) Quel pourcentage du nombre d"enfants nés hors mariage (arrondi à1%), peut-on prévoir en 2010

en utilisant cet ajustement?

(e) À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d"enfants nés hors mariage

sera-t-elle supérieure à60%?

Exercice 4

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année

en France :

Années20002001200220032004

Rang de l"année,xi01234

Nombres de PACS en milliers,yi22,119,42531,139,6

Source INSEE.

-3- BTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010

1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d"augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité

entre 2000 et 2004.

2.On envisage un ajustement affine

(a) À l"aide de la calculatrice, donner l"équation de la droite d"ajustement deyenxpar la méthode

des moindres carrés, sous la formey=ax+b. Par la suite, on posef(x) =ax+b. (b) En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu"en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.

3.On envisage un autre type d"ajustementOn modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l"année2000+x(x

entier) à l"aide de la fonctiongdéfinie par g(x) =1,6x2-1,8x+21,4.

(a) En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés

en 2007.

(b) On suppose que l"évolution se poursuit selon ce modèlejusqu"en 2015. Le nombre de milliers de

Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000? Justifier.

4.Comparaison des deux ajustementsPour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs

réelles et les valeurs calculées à l"aide de chacun des deux ajustements. xi01234 [(yi-f(xi)]21611,365,951,027,95 xi01234 [(yi-g(xi)]20,49 (a) Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. (b) Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de laréalité? Justifier. -4- BTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010

Exercice 1

1. Nuage de points :

0 1 2 3 4 5 6

010020030040050060070080090010001100

G 1G 2 rangxpopulation en millions d"habitants

2. (a)G1:?x

G1=1+2+33=2

G1=361+439+548

3=449,3donc,G1(2;449,3)

G2:?x

G2=4+52=4,5

G2=683+846

2=764,5donc,G2(4,5;764,5)

(b) La droite(G1G2)n"est pas parallèle à l"axe des ordonnées, elle a donc pour équationy=ax+b

avec : a=yG2-yG1 xG2-xG2=764,5-449,34,5-2=126,1. De plus, elle passe par le pointG1(2;449,3)d"où : y

G1=axG1+b?449,3=126,1

?2+b?b=197,1.

Conclusion :(G1G2) :y=126,1x+197,1

(c) Voir graphique. (d)2001correspond au rangx=6donc :y=126,1 ?6+197,1=953,7. En2001, on pouvait prévoir954millions d"habitants

3. (a) La calculatrice donne?:y=ax+baveca=121,4,b=211,2etr=0,9908.

Donc ?:y=121,4x+211,2avecr=0,9908 (b) Voir graphique. -5- BTS DOMOTIQUEStatistiques à deux variables2008-2010 (c)2001correspond au rangx=6donc :y=121,4?6+211,2=939,6. En2001, on pouvait prévoir940millions d"habitants

4. (a) Tableau :

année19511961197119811991

Rangxi12345

Populationyi(en millions)361439548683846

zi5,8896,0846,3066,5266,741 (b) La calculatrice donne? ?:z=ax+baveca=0,216,b=5,665. Donc ?:z=0,215x+5,666 (c)r ?=0,9998.r ?est plus proche de1quer, donc, cette approximation doit être plus appropriée car les points seront plus près de la droite. (d) On a lny=0,215x+5,666??y=e0,215x+5,666??y= (e0,215)x ?e5,666 Soity ?289 e0,215x (e) Voir graphique. (f)2001correspond au rangx=6donc :y=289 e0,215 ?6=1049,9. En2001, on pouvait prévoir1050millions d"habitants suivant cet ajustement

5. Le troisième ajustement semble le plus approprié car le plus proche des résultats réels.

Dans ce cas, on peut prévoir en2011une population dey=289 e0,215 ?7=1302habitants -6-quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Statistiques à deux variables : les exercices

Exercice 1

Rangxi12345

Populationyi(en millions)361439548683846

1. Représenter graphiquement le nuage de points(xi;yi)dans le plan muni d"un repère orthonormal

2. Le modèle étudié dans cette question sera appelée " droitede Mayer ».

Déterminer les coordonnées deG1et deG2.

3. (a) À l"aide de la calculatrice, déterminer un ajustementaffine deyenxpar la méthode des moindres

4. On cherche un autre ajustement et on se propose d"utiliserle changement de variable suivant :z=lny.

5. Les résultats obtenus en2001ont révélé que la population comptait1027millions d"habitants.

Exercice 2

A. Ajustement affine

Rang de l"année :xi012345

Nombre de chaudières

1. À l"aide d"une calculatrice, déterminer :

2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de

B. Probabilités conditionnelles

On considère les évènements suivants :

A: " La chaudière est à cheminée »;

B: " La chaudière est à ventouse »;

1. DéterminerP(A),P(B),P(D/A)etP(D/B).

2. CalculerP(D

3. En remarquant queD= (D

Exercice 3

Annéeai198019851990199520002003

Proportionyi11,419,630,137,642,645,2

1. (a) Construire le nuage de points de coordonnées(ai, yi)dans le plan muni du repère orthogonal

2. On noteal"année etyla proportion, on posex=a-1950ett=lnx.

Annéeai198019851990199520002003

Exercice 4

Années20002001200220032004

Rang de l"année,xi01234

Nombres de PACS en milliers,yi22,119,42531,139,6

Source INSEE.

1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d"augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité

2.On envisage un ajustement affine

3.On envisage un autre type d"ajustementOn modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l"année2000+x(x

4.Comparaison des deux ajustementsPour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs

Exercice 1

1. Nuage de points :

0 1 2 3 4 5 6

010020030040050060070080090010001100

2. (a)G1:?x

G1=1+2+33=2

G1=361+439+548

3=449,3donc,G1(2;449,3)

G2=4+52=4,5

G2=683+846

2=764,5donc,G2(4,5;764,5)

G1=axG1+b?449,3=126,1

Conclusion :(G1G2) :y=126,1x+197,1

3. (a) La calculatrice donne?:y=ax+baveca=121,4,b=211,2etr=0,9908.

4. (a) Tableau :

Rangxi12345

Populationyi(en millions)361439548683846

5. Le troisième ajustement semble le plus approprié car le plus proche des résultats réels.