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Lycée La Prat"s Pour le Jeudi 18 septembre 2014
Classe de PT
Devoir de Mathématiques numéro 1Exercice 1
On considère les suites(un)et(vn)définies par : ?n?N?un=n? k=01k!etvn=un+1n!n1)Montrer que les suites(un)et(vn)sont strictement monotones, et donner leur sens de variation.
2)Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes. En déduire qu"elles convergent.
3)On admettra que leur limite este= exp(1). En déduire que, pour tout entier naturelqnon nul,
u q< e < vq4)On cherche à montrer queeest irrationnel. À cet effet, on suppose qu"il existe deux entiers naturels
non nulspetq, premiers entre eux, tels quee=pqEn multipliant la double inégalité précédente parq!, montrer que c"est impossible, et conclure sur
l"irrationalité dee.Exercice 2
Définitions et notations :
•On dit qu"un nombre réelxest rationnel s"il existe deux entiers relatifspetq(avecq?= 0) tels que
x=pq •On dit qu"un nombre réelxest irrationnel s"il n"est pas rationnel. •L"ensemble des nombres rationnels est notéQ.•Pour tout nombre réelx, on appelle partie entière dexet on note?x?le plus grand entier relatif
inférieur àx:?x?6x <1 +?x?.On considère la fonctionf:x?→1x- ?x?.
1) a) Déterminer l"ensemble de définition def. Montrer quefest périodique de période1.b)Étudierf; on précisera en particulier ses variations, son ensemble image et on tracera son graphe
dans un repère orthonormé. c)Démontrer que pour tout nombrexirrationnel (resp. rationnel non entier),f(x)est irrationnel (resp. rationnel).2)On posex0?Rtel quex0>0et on s"intéresse lorsque cela est possible à la suite(xn)définie par
?n?Nxn+1=f(xn) a)On suppose dans cette question quex0?R\Q. Montrer que pour toutn?N,xnest bien défini. b)On suppose dans cette question quex0?Qet que pour toutn?N,xnest bien défini. On considèreu0etv0deux entiers naturels non nuls tels quex0=u0v 0. i)Démontrer que?n?N,xn?Qet que?n?N?,xn>1. 1 DL1ii)On définit par récurrence deux suites d"entiers(un)et(vn)en posant?n?N,un+1=vnet v n+1égal au reste de la division euclidienne deunparvnlorsquevnest non nul, et0sinon. Démontrer que l"on a, pour toutn?N,vn>0etxn=unv n.iii)Démontrer que la suite(vn)est strictement décroissante. Que peut-on conclure, l"hypothèse
faite au début du b) est-elle possible? c)Énoncer une condition nécessaire et suffisante surx0pour que, pour toutn?N,xnsoit bien défini.3)On fixe dans toute cette partiex0?R\Qtel quex0>0. On considère la suite(xn)définie au 2)a) et,
pour toutn?Non posean=?xn?. La suite des entiers(an)est appelée développement en fraction continue dex0. a)Écrire un programme Python d"argumentx0etndonnantan. b)On pose dans cette questionx0=⎷2(on admettra que c"est un irrationnel). i)Tester l"algorithme du a) pourx0=⎷2etnvalant successivement0,1,2,3et4. Donner les valeurs deanobtenues. Quelle conjecture peut-on formuler? ii)Calculer exactement les valeurs dex1,x2. En déduire que la suite(xn)est stationnaire, puis démontrer la conjecture du a).iii)Reprendre les 2 questions précédentes avecx?0=⎷3(on admettra que c"est un irrationnel).
c)On définit deux suites(pn)et(qn)par ?p 0=a0 q0= 1,?p
1=a0a1+ 1
q1=a1et?n>2?p
n=anpn-1+pn-2 q n=anqn-1+qn-2 i)Démontrer que pour toutn>1,pnetqnsont des entiers naturels non nuls. ii)Démontrer que la suite(qn)est strictement croissante. En déduire que?n?N,qn>n. iii)Démontrer que?n?N?,pnqn-1-pn-1qn= (-1)n-1. iv)Démontrer que?n?N,x0=pn+pn+1xn+2q n+qn+1xn+2. d)On définit une suite de rationnels(rn)par?n?N,rn=pnq n. i)Démontrer que?n?N?,rn-rn-1=(-1)n-1q nqn-1. ii)Montrer que la sérien? k=1(rk-rk-1)converge (on pourra passer par de la convergence absolue). iii)En déduire que la suite(rn)converge. iv)On noterla limite de(rn). Démontrer que pour toutn?N,rest compris entrernetrn+1 et que?n?N?,????r-pnq n? ???61q2n. Indication:Étudier les suites(r2n)et(r2n+1)
4)On considère un nombre irrationnelx0, deux nombres entiersαetδstrictement positifs, et on pose
pour toutxréel différent de-δ g(x) =α+1x+δ a)Démontrer que le nombre réely0=g(x0)est bien défini et qu"il est irrationnel. b)On note respectivement(an)et(bn)les développements en fraction continue dex0ety0définis au 3). Démontrer que pour toutn>2,an-1=bn.5)On considère deux entiersαetδstrictement positifs et on pose :Δ = (δ+α)2+ 4.
a)Démontrer queΔn"est pas le carré d"un entier. On en déduit et on l"admettra que⎷Δest un
nombre irrationnel.b)Démontrer que l"équation du second degréx2+ (δ-α)x-αδ-1 = 0possède deux solutions
réelles distinctes toutes les deux irrationnelles dont l"une, notéez0, est strictement positive.
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