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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET

SESSION 2019

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MATHÉMATIQUES

Série générale

Durée de l'épreuve : 2 h 00 - 100 points

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 2 sur 7 Indicationportantsurl'ensembledusujet.

Exercice1(14points)

2) ǯܨܣܧ

3) ȋȌȋȌǦǫ

Exercice2(17points)

1) Affirmation1:

E 5 6 L 7>5 9>6

2) ݂ǣݔ հ ͷ െ ͵ݔ

3) ǣ

nombrequiapparaitsurlafacedudessus.

Affirmation3:ǯ

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 3 sur 7 Exercice3(12points)

2) Ǧǯ

ABCD 1 a) ʹͲͳͲǫ b) ǡǯ

Proposition1Proposition2Proposition3

500
400
300
200
100
0

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 4 sur 7 Exercice4(10points)

1) ǯ

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 5 sur 7 Exercice5(10points)

1) ǡǯ

Proposition1Proposition2Proposition3

s v u z t w ss x y st su sr sv sw sx sy sz s{ tr ts tt tutv

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 6 sur 7 Exercice6(12points)

LesdeuxpartiesAetBsontindépendantes.

a) ǡ b) ǡǦ

α9,7dV

Vǣ dǣǯ

ȋǣǯʹΨd

ͲǡͲʹȌBoisson഑

ǣ͵͵Boissonഒ

Question:഑Ǧǯഒǫ

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 7 sur 7 Exercice7(15points)

1) ǯʹǫ

4) Ǣ͹͵ͲͲȀ

Rappels:

volumed'uneboule=

Ɏrayonrayonrayon

unemassevolumiquede7300kg/m 3 signifieque1m 3 pèse7300kg

Exercice8(10points)

Information1Information2

2) Ǧͳʹǡͷͳ͵ǡͷǫ

Empilement

2niveaux

Empilement

à3niveaux

Empilementà4niveaux

Empilementà5niveaux

Brevet 2019 - Amérique du Nord

Correction

Exercice 1

1. C"est une application habituelle de la réciproque du théorème de Pythagore. On remarque que dans le triangle AEF, le côté[AF]est le plus long.

Dans le triangleAEFcomparonsEA2+EF2etAF2.

2+EF2=82+62

2+EF2=64+36

2+EF2=100AF

2=102 AF 2=100

CommeEA2+EF2=AF2d"aprèsla réciproque du théorème de Pythagore, le triangleEAFest rectangle enE.

2.Nous allons utiliser la trigonométrie.

Dans le triangleAEFrectangle enE.

Comme on connaît les mesures des trois côtés du triangle, il est possible de déterminer l"angle en utilisant le cosinus, le

sinus ou la tangente de cette angle. On propose ici les trois méthodes. Au brevet, une seule des trois doit être rédigée.

Le côté[AE]est adjacent à l"angle?EAF, le côté[EF]est opposé à l"angle?EAF et le côté[AF]est l"hypoténuse du triangle.

cos?EAF=AEAF cos?EAF=8cm 10cm cos?EAF=0,8sin ?EAF=EF AF sin?EAF=6cm 10cm sin?EAF=0,6tan ?EAF=EF AE tan?EAF=6cm 8cm tan?EAF=0,75

À la calculatrice on obtient

?EAF≈37◦

Il faut utiliser les fonctions inverses des calculatrices à l"aide des touches Seconde puis cos, sin ou tan.

3.On pense à la réciproque ou le théorème contraposé de Thalès.

Comparons les quotientsAEARetAFAT:

AR=8cm12cm

AE AR=23 AE

AR≈0,667AF

AT=10cm14cm

AF AT=57 AF

AT≈0,714

On constate avec les valeurs approchées que

AR?=AFAT.

Une méthode plus experte consiste à vérifier l"égalité des produits en croix. Comme 2×7=14 et que 5×3=15 on en déduit que2 3?=57 D"aprèsle théorème contraposé de Thalèsles droites(EF)et(RT)sont sécantes.

Exercice 2

Affirmation 1:3

5+12=610+510=1110

Or3+1

5+2=47

On peut à nouveau constater avec les valeurs approchées que11

10=1,1?=47≈0,571

Ou de manière plus experte que 11×7=77 et que 10×4=40.

Ou encore que11

10>1 car 11>10 et que47<1 car 4<7...

L"affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2:f(x) =5-3xetf(-1) =5-3×(-1) =5+3=8

L"affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3: Dans l"expérience aléatoire 1 il y a 11 issues équiprobables. Les cinq issues 2, 3, 5, 7 et 11 produisent des

nombres premiers. La probabilité d"obtenir un nombre premier dans l"expérience 1 est donc5

11≈0,455 soit environ 45,5 %

Dans l"expérience aléatoire 2 il y a 6 issues équiprobables. Les trois issues 2, 4 et 6 produisent des nombres pairs.

La probabilité d"obtenir un nombre pair dans l"expérience 2 est donc3

6=12=0,5 soit 50 %

L"affirmation 3 est encore fausse.

Affirmation 4:Il faut développer et réduire les deux expressions pour pouvoir les comparer!

A= (2x+1)2-4

A= (2x+1)(2x+1)-4

A=4x2+2x+2x+1-4

A=4x2+4x-3B= (2x+3)(2x-1)

B=4x2-2x+6x-3

B=4x2+4x-3

On pouvait utiliser l"identité remarquable(a+b)2=a2+2ab+b2pour développer A. On pouvait aussi penser à factoriser A en utilisant l"identité a

2-b2= (a+b)(a-b)pour vérifier l"affirmation.

A= (2x+1)2-4

A= (2x+1)2-22

A= [(2x+1)+2][(2x+1)-2]

A= (2x+1+2)(2x+1-2)

A= (2x+3)(2x-1)

L"affirmation 4 est enfin vraie!

Exercice 3

Il y a 5 graduations pour 100 unités en ordonnée, donc une graduationcorrespond à 20 unités.

Dans le pays D on gaspille en moyenne 140kgde nourriture.

2.Le pays F gaspille environ 110kgde nourriture. Le pays A environ 540kg.

Comme 540kg×1

5=108kgon peut faire cette affirmation.

3.Il suffit de lire la colonne D. Dans le pays X les habitants gaspillent 3760500tonnes=3760500000kg

On passe donc à la colonne D en effectuant le produit de345par10,9×1 000 000. Comme le résultat est en tonne on divise

ensuite par1 000. Finalement cela revient à effectuer345×10,9×1000=3760500

4.La proposition 3 : =B2C21000.

La réponse 1 est très tentante... il faut résister!

Exercice 4

1.Il faut le placer en(-180;-120)comme au début du programmes.

Donc aller à x:-180y:-120

2.Il faut commencer par compter le nombre points.

O point de départpoint de sortie Cela correspond à 27 points soit 27×30=810 unités.

3.En appuyant brièvement sur la touche↑, le lutin monte de 30 unité vers le point juste au dessus. Puis en cliquant sur la

touche→, il fonce dans le mur! Le programme rentre alors dans la boucle qui teste si la couleur noire est touchée. Il est alors affiché perdu pendant 2 secondes puis le lutin revient au départ.

Exercice 5

1.Dans la symétrie de centreO:CdevientF;DdevientA;EdevientB;One bouge pas.

Donc l"image deCDEOpar la symétrie de centreOestFABO: proposition 1 On utilise les codages de la figure en utilisant tous les segments dont le milieu est le point O.

2.Dans la symétrie axiale d"axe(CF):AdevientE;One bouge pas.

L"image du segment[AO]est le segment[EO].

Il faut penser au losange AFEO dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

3.Dans la rotation de centreOqui transformeOABenOCD:One bouge pas;BdevientD;CdevientE.

L"image deOBCest doncODE.

Il s"agit d"une rotation de centre O, d"angle120◦(60◦+60◦) dans le sens des aiguilles d"une montre.

4.Il s"agit de l"hexagone 19.

En traçant un segment entre2et12et entre14et19, on constate qu"il s"agit bien de la même translation!

Exercice 6

Partie A

1. En ordonnée il y a 10 graduations pour 10 unités, en abscisse 2 graduations pour 2 unités. Au bout de 30minla quantité de principe actif est 10mg/L.

2.Au bout de 2hle principe actif est au maximum, environ 27mg/L.

Partie B

Pour la boisson1.d=0,05 etV=33cLdoncm=33×0,05×7,9=13,035 Pour la boisson2.d=0,12 etV=125mL=12,5cLdoncm=12,5×0,12×7,9=11,85 La boisson1.contient une masse d"alcool supérieure à la boisson2.. Exercice 71.Il y a 5 boulets dans l"empilement à 2 niveaux.

2.Dans l"empilement à 3 niveaux il y a 1 boulet sur le niveau du haut, 4 bouletssur celui du milieu et 9 boulets sur le niveau

du bas. 9+4+1=14. Il y a 14 boulets sur l"empilement à 3 niveaux.

3.Observons l"empilement à 4 niveaux. Il y a 1 boulet sur le niveau 1, 4 sur le niveau 2, 9 sur le niveau 3 et 16 sur le niveau

16+9+4+1=30

On peut faire la conjecture que pour passer à l"empilement à 5 niveaux il faut ajouter 25 boulets soit 52=25.

On a ainsi 30+25=55.

On constate que sur le niveau 2, le carré de base est constitué de 4 bouletssoit22boulet. Il y a1boulet au dessus soit12

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET

SESSION 2019

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Série générale

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Exercice1(14points)

2) ǯܨܣܧ

3) ȋȌȋȌǦǫ

Exercice2(17points)

1) Affirmation1:

2) ݂ǣݔ հ ͷ െ ͵ݔ

3) ǣ

Affirmation3:ǯ

19GENMATAN1 DNB - Épreuve de Mathématiques - Série Générale Page 3 sur 7 Exercice3(12points)

2) Ǧǯ

Proposition1Proposition2Proposition3

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1) ǯ

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1) ǡǯ

Proposition1Proposition2Proposition3

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LesdeuxpartiesAetBsontindépendantes.

α9,7dV

ȋǣǯʹΨd

ͲǡͲʹȌBoisson഑

ǣ͵͵Boissonഒ

Question:഑Ǧǯഒǫ

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1) ǯʹǫ

4) Ǣ͹͵ͲͲȀ

Rappels:

Ɏrayonrayonrayon

Exercice8(10points)

Information1Information2

2) Ǧͳʹǡͷͳ͵ǡͷǫ

Empilement

2niveaux

Empilement

à3niveaux

Empilementà4niveaux

Empilementà5niveaux

Brevet 2019 - Amérique du Nord

Correction

Exercice 1

Dans le triangleAEFcomparonsEA2+EF2etAF2.

2+EF2=82+62

2+EF2=64+36

2+EF2=100AF

2.Nous allons utiliser la trigonométrie.

Dans le triangleAEFrectangle enE.

À la calculatrice on obtient

3.On pense à la réciproque ou le théorème contraposé de Thalès.

Comparons les quotientsAEARetAFAT:

AR=8cm12cm

AR≈0,667AF

AT=10cm14cm

AT≈0,714

On constate avec les valeurs approchées que

AR?=AFAT.

Exercice 2

Affirmation 1:3

5+12=610+510=1110

5+2=47

10=1,1?=47≈0,571

Ou encore que11

10>1 car 11>10 et que47<1 car 4<7...

L"affirmation 1 est fausse.

L"affirmation 2 est fausse.

11≈0,455 soit environ 45,5 %

6=12=0,5 soit 50 %

L"affirmation 3 est encore fausse.

A= (2x+1)2-4

A= (2x+1)(2x+1)-4

A=4x2+2x+2x+1-4

A=4x2+4x-3B= (2x+3)(2x-1)

B=4x2-2x+6x-3

4.La proposition 3 : =B2C21000.