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[PDF] Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

L'adhérence de R2 \ {(0, 0)} est R2 2 2 Limite d'une fonction de plusieurs variables On munit Rn d'une norme notée ·

[PDF] Continuité de fonctions de plusieurs variables - UPMC

Solution On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ;

[PDF] 1 Fonctions de plusieurs variables

La fonction f n'admet donc pas de limite en 0 au sens de la définition 7 Définition 10 (Continuité) Une fonction f définie sur un domaine D de Rn est continue en 

[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Notamment la compacité et la continuité : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (nous verrons ce que cela veut dire) sur ce compact et  

[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Université de Rennes 1

2 Limites et continuité Définition 2 1 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de R2 et l ∈ R Alors, f(x, y) a pour limite l quand  

[PDF] Fonctions à deux variables - Normale Sup

5 juil 2013 · 1 Continuité, dérivées partielles 1 1 Aspect graphique Définition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D → R, où D est une

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met deux parenthèses : f ((x1, ,xn)), il y a une seule variable qui est un n-uplet De manière générale, pour établir la continuité d'une fonction f en un point a 

[PDF] 17Fonctions-de-deux-variablesCorrigéspdf - Optimal Sup Spé

Continuité de fonctions de R?, applications partielles 2 Pour déterminer la limite d'une fonction de deux variables en (a, b), il faut faire tendre le couple (x, 

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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

(Outils Mathématiques 4)

Bernard Le Stum

Université de Rennes 1

Version du 13 mars 2009

Table des matières

1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1

2 Limites et continuité 5

3 Différentiabilité 8

4 Fonctions implicites 19

5 Développements limités 21

1 Fonctions partielles, courbes de niveau

Exemple 1.1i) Volume d"un cylindre.

[DESSIN] Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayon ret la longueurhd"un cylindre varient dansR>0, le volumeV=πr2hdu cylindre varie dansR>0. On ditVestfonctiondes deux variablesreth. On dispose donc d"une fonction réelle R 2//R (r,h)//V(r,h) =πr2h de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur sondomaine

D:={(r,h)?R2, r,h >0}

1

2B04 - Version du March 13, 2009

et sonimageestR>0. Choisissons deux valeursr0eth0. Si on fixe le rayon r=r0, alors on peut considérer lafonction partielle R //R h//V(r0,h) = (πr20)×h (qui est linéaire). [DESSIN] De même, si on fixe la longueurh=h0, on peut considérer l"autrefonction partielle R //R r//V(r,h0) = (πh0)×r2 (qui est cette fois quadratique). [DESSIN] Lorsqu"on donne différentes valeursViàV, on obtient ce qu"on appelle les courbes de niveaud"équationsπr2h=Vi: [DESSIN] Enfin, le graphe deVest la surface deR3d"équationV=πr2h, c"est à dire l"ensemble des points de la forme(r,h,πr2h)avecr,h >0. [DESSIN] ii) Température en un point d"une pièce à un moment donné. [DESSIN] Dans une pièce de longueurL, largeurlet hauteurh, on peut mesurer pendant une période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à un moment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coin en bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesure comme origine du temps, la températureTest fonction des coordonnéesx,y,z du point et du momenttou la température est prise. En d"autres termes,T est fonction dex,y,z,t. On a définit donc une fonction réelle R 4T//R (x,y,z,t)//T(x,y,z,t) de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction? Définition 1.2On rappelle queR2désigne l"ensemble detousles couples(x,y) avecx?Rety?R. UnepartiedeR2estunensemble de couples de réels.

Exemple 1.3i) Le quadrant droit du plan.

[DESSIN]

B04 - Version du March 13, 20093

Il peut être décrit comme

Q={(x,y)?R2, x,y≥0}

ou encore commeQ=R>0×R>0. ii) Le cercle unité. [DESSIN]

Il peut être décrit comme

C={(x,y)?R2, x2+y2= 1}

(en compréhension : condition) mais aussi comme l"ensemble

C={(cosθ,sinθ), θ?R}

(en extension : paramétrisation). Définition 1.4Unefonctionréelle de deux variables réelles est une méthode qui associe à certains couples de réels(x,y), un autre réelf(x,y). On écrit R 2f//R (x,y)//f(x,y) Sondomaine de définitionest la partieDfdeR2formée des couples(x,y)pour lesquelsf(x,y)existe. L"image(du domaine) defest l"ensemble de toutes les valeurs quef(x,y)peut prendre.

Exemple 1.5La fonctionf(x,y) =xy-52

⎷y-x2est définie lorsque le point de coor- données(x,y)est situé au dessus de la paraboley > x2. [DESSIN]

On peut montrer que son image estRtout entier.

Définition 1.6Étant donne une fonctionf:R2→Ret un point(a,b)deR2, les fonctions partiellessont les fonctions d"une variable réelle obtenue en fixanty=b, R //R x//f x(x,b) =f(x,b) ou en fixantx=a, R //R y//f y(a,y) =f(a,y).

4B04 - Version du March 13, 2009

Définition 1.7 (Généralisation)On désigne parRnl"ensemble detouslesn- uples(x1,...,xn)avecx1,...,xn?R. Alternativement, on verra les éléments de R ncomme des vecteursu= (x1,...,xn)ou des pointsP= (x1,...,xn). La cor- respondance étant donnée paru=-→OP. UnepartiedeRnest tout simplementun ensemble den-uples de réels. Unefonctionréelle denvariables réelles est une méthode qui associe à certains n-uples(x1,...,xn), un autre réelf(x1,...,xn). On écrit R nf//R (x1,...,xn)//f(x1,...,xn) Sondomaine de définitionest la partieDfdeRnformée des pointsPpour lesquels f(P)existe. L"image(du domaine) defest l"ensemble de toutes les valeurs que f(P)peut prendre. Enfin, lesfonctions partiellesen un point(a1,...,an)sont les fonctions d"une va- riable réelle obtenue en faisant varier seulementxi: R nf//R x//f xi(a1,...,ai-1,x,ai+1,...an) =f(a1,...,ai-1,x,ai+1,...an)

Exemple 1.8La fonctionf(x,y) =xyez⎷x

2+y2+z2-1es définie lorsque le point

peut voir que son image est encoreRtout entier. Définition 1.9Legraphed"une fonctionf:R2→Rest la " surface »G(f)?R3 formée de tous les triplets de la forme(x,y,f(x,y))avec(x,y)? Df.

Exemple 1.10Par exemple, sif(x,y) =xy-52

⎷y-x2, alors

G(f) ={(x,y,xy-52

⎷y-x2), y > x2}. Définition 1.11 (Généralisation)Legraphed"une fonctionf:Rn→Rest

G(f) ={(P,f(P)), P? Df} ?Rn+1.

Définition 1.12Lescourbes de niveaud"une fonctionf:R2→Rsont les courbes planes d"étquationf(x,y) =kaveckfixé. Une courbe de niveau d"une fonctionfest donc la même chose qu"une courbe de niveau de son grapheG(f).

Exemple 1.13La fonctionf(x,y) =y2-x2.

B04 - Version du March 13, 20095

[DESSIN] Définition 1.14Les courbes de niveau d"une surfaceSdansR3sont les courbes obtenues en coupantSavec un plan d"équationz=ket en projetant sur le plan xOy. [DESSIN] Proposition 1.15Une courbe de niveau d"une fonctionfest la même chose qu"une courbe de niveau de son grapheG(f). [Démonstration] Définition 1.16Sifest une pression, on ditcourbe isobare. Sifest une tempé- rature, on ditcourbe isotherme. Sifest un potentiel, on ditcourbe equipotentielle Sifest une altitude, on ditcourbe isoplèthe. etc.

2 Limites et continuité

Définition 2.1Soitf:R2→Rune fonction réelle de deux variables réelles,(a,b) un point deR2etl?R. Alors,f(x,y)a pourlimitelquand(x,y)tend vers(a,b) si pour tout intervalle ouvertIcontenantl, il existe un disque ouvertDcontenant (a,b)tel que l"image deD\(a,b)parfest contenu dansI. [DESSIN]

Autrement dit,

On écrira

lim (a,b)f(x,y) =lou lim(x,y)→(a,b)f=l. Définition 2.2Les coordonnées polaires de(x,y)en(a,b)sont données par ?x=a+ρcosθ y=b+ρsinθ avecρ=?(x-a)2+ (y-b)2etθ?[0,2π[. Proposition 2.3 (Méthode des majorations)On alim(a,b)f(x,y) =lsi et seule-

6B04 - Version du March 13, 2009

[Démonstration]

Exemple 2.4On alim(0,0)x

2y2x

2+y2= 0: en effet,

x 2y2x

2+y2=ρ24

→0 quandρ→0. Proposition 2.5 (Méthode des chemins)S"il existe deux " chemins continus »

α,β:R→R2tels queα(0) =β(0) = (a,b)etlim0(f◦α)?= lim0(f◦β), alorsfn"a

pas de limite en(a,b). [Démonstration]

Exemple 2.6

x2y2x

4+y4n"a pas de limite en(0,0): il suffit de choisirα(t) = (t,0)

etβ(t) = (t,t). On trouve d"un coté0et de l"autre12 Définition 2.7Une fonctionf:R2→Restcontinue en(a,b)?R2sif(a,b) = lim(a,b)f(x,y). La fonctionfestcontinuesifest continue en tout point deDf.

Exemple 2.8i) La fonction

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

est continue en(0,0). ii) la fonction f(x,y) =? ?x 2y2x

4+y4si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

n"est pas continue en(0,0). Proposition 2.9Soitf:R2→Rune fonction continue (sur son domaine) et (a,b)?? Df. Alorsl= lim(a,b)f(x,y)existe si et seulement sifse prolonge par continuité en(a,b)et on a alorsf(a,b) =l. [Démonstration] Exemple 2.10Soitf:R2→Rune fonction réelle de deux variables réelles. i)f(x,y) =x2y2x

2+y2se prolonge par continuité surR2en posantf(0,0) = 0.

B04 - Version du March 13, 20097

ii)f(x,y) =x2y2x

4+y4ne peut pas se prolonger par continuité.

Proposition 2.11Sifetgsont continues en(a,b), alorsf+g,fgetfg aussi (si g(a,b)?= 0dans le dernier cas). [Démonstration] Corollaire 2.12Toute fonction rationnelle est continue (sur son domaine de défi- nition).

Exemple 2.13

x2y2x

2+y2etx2y2x

2+y4sont bien continues sur leur domaine.

Proposition 2.14i) Siα:R→R2est continue entetfest continue en (a,b) =α(t), alorsf◦αest continue ent. ii) Sifest continue en(a,b)eth:R→Rest continue enf(a,b), alorsh◦f est continue en(a,b). [Démonstration]

Exemple 2.15On sait que la fonction

f(x,y) =x2y2x 2+y2 se prolonge par continuité surR2en posantf(0,0) = 0et la fonctionsinest continue surR. Il suit que la fonction g(x,y) = sin(x2y2x 2+y2) " est » continue surR2. Définition 2.16 (Généralisation)Soitf:Rn→Rune fonction denvariables réelles,P0?Rnetl?R. Alors,f(P)a pourlimitelquandPtend versP0si pour tout intervalle ouvertIcontenantl, il existe une boule ouverteBcontenantP0tel que l"image deB\P0parfest contenu dansI.

On écrira

limP

0f(P) =lou limP→P0f=l.

Siu= (x1,...,xn)?Rn, lanormedeuest?u?=?x

21+···+x2n. SiP=

(x1,...,xn)?RnetQ= (y1,...,yn)?Rn, ladistancedePàQest d(P,Q) =?-→PQ?=?(y1-x1)2+···+ (yn-xn)2.

8B04 - Version du March 13, 2009

On voit alors quelimP→P0f=lsi et seulement si

La fonctionfestcontinueenP0sif(P0) =l.

Proposition 2.17Ces notions sont stables par somme, produit et quotient. Définition 2.18 (Généralisation)Unefonction vectoriellef:Rm→Rnest une méthode qui associe à certains vecteurs (ou points) deRm, un vecteur (ou point) deRn. Si on écritf(P) = (f1(P),...,fn(P)), on dit que les fonctions vectorielles f

1,...,fn:Rm→Rsont lescomposantesdef.

Exemple 2.19L"application qui à un point du cercle associe son vecteur tangent orienté normalisé est une fonction vectorielle. [DESSIN] C"est tout simplement l"application(x,y)?→(-y,x)restreinte au cercle unité. Ses composantes sont les fonctions(x,y)?→ -yet(x,y)?→x. Définition 2.20Une fonction vectorielle estcontinue(en un point) si et seulement si toutes ses composantes sont continues (en ce point). Exemple 2.21f(x,y) = (xy,(x2+y2)exy,xsin(x+y3))est continue partout. Proposition 2.22fest continue enP0si et seulement si [Démonstration] Proposition 2.23 (Généralisation)La continuité est stable par composition.

3 Différentiabilité

Définition 3.1Sif:R2→R, lesdérivées partiellesdefen(a,b)?R2sont les dérivées des fonctions partielles (si elles existent) : ∂f∂x (a,b) :=f?x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h et∂f∂x (a,b) :=f?y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h

Legradientdefen(a,b)est alors le vecteur

?f(a,b) = (∂f∂x (a,b),∂f∂y (a,b))

B04 - Version du March 13, 20099

Exemple 3.2Si

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

on afx(x,0) =f(x,0) = 0et donc∂f∂x (0,0) =f?x(0,0) = 0. Symétriquement, ∂f∂y (0,0) = 0et on a donc?f(0,0) = (0,0).

Calculons

∂f∂x (1,1). On afx(x,1) =f(x,1) =x2x

2+1et doncf?x(x,1) =2x(x2+1)-2x(x2)(x2+1)2

si bien que ∂f∂x (1,1) =f?x(1,1) =4-24 =12

En général, on écrira aussi

∂f∂x (x,y) = limΔx→0f(x+ Δx,y)-f(x,y)Δxet∂f∂y (x,y) = limΔy→0f(x,y+ Δy)-f(x,y)Δy. si bien que?f= (∂f∂x ,∂f∂y

Exemple 3.3Calculons?florsque

i) f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

On a déjà vu que?f(0,0) = (0,0).

Pour calculer

∂f∂x , on considèreycomme constant et on dérive par rapport à x. Pour(x,y)?= (0,0), on a donc ∂f∂x (x,y) =2x(x2y2)-2xy2(x2+y2)(x2+y2)2=-2xy4(x2+y2)2 et par symétrie, on aura donc ?f(x,y) = (-2xy4(x2+y2)2,-2x4y(x2+y2)2). ii) f(x,y) =? ?xyx

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

On voit facilement que

?f(x,y) =?(y(x2-y2)(x2+y2)2,x(y2-x2)(x2+y2)2) si (x,y)?= (0,0) (0,0) sinon Pour le second cas, c"est clair et pour le premier cas, il suffit par symétrie de calculer∂f∂x (x,y) =2x(xy)-y(x2+y2)(x2+y2)2=y(x2-y2)(x2+y2)2. On voit donc que?fexiste tout le temps mais pourtant,fn"estpascontinue en0!

10B04 - Version du March 13, 2009

Définition 3.4Étant donné une fonctionf:R2→R, un pointP:= (a,b)et un vecteurv= (α,β), ladérivée de directionvenPdefest la dérivée enPde la fonction directionnellet?→f(a+tα,b+tβ): f ?(α,β)(a,b) = limt→0f(a+tα,b+tβ)-f(a,b)t

On a en particulierf?x=f(1,0)etf?y=f?(0,1).

Exemple 3.5La fonction de direction(1,1)en(0,0)associée à f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

estt?→t22 et sa dérivée est donc la fonction identiquet?→t. On voit donc que f ?(1,1)(0,0) = 0. Définition 3.6Leproduit scalairede deux vecteurs de(α,β)et(h,k)deR2est (α,β)·(h,k) =αh+βk. Définition 3.7Une fonctionf:=R2→Restdifférentiableen(a,b)si elle admet des dérivées partielles en(a,b)et qu"en plus, lim (a,b)(x-a)-∂f∂y (a,b)(y-b)⎷h

2+k2= 0.

La fonctionfestdifférentiablesifest différentiable en tout point deDf.

Exemple 3.8La fonction

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

est différentiable en(0,0):

En effet, on a

?(x,y) =f(x,y)-f(0,0)- ?f(0,0)·(x,y)⎷x 2+y2 x2y2(x2+y2)⎷x

2⎷x

2+y2=x2⎷x

et bien sûr,|x| →0quandρ→0(car|x|< ρ).

B04 - Version du March 13, 200911

Rappelons que leproduit scalairede deux vecteurs de(α,β)et(h,k)deR2est (α,β)·(h,k) =αh+βk. Si on poseΔP= (x-a,y-b)etΔf(P) =f(x,y)-f(a,b), la condition de différentiabilité en(x,y)se réécrit :

Δf(P) =?f(P0)·ΔP+o(ΔP).

Théorème 3.9Sif:R2→Rest différentiable en(a,b), alorsfest continue en (a,b). [Démonstration] Définition 3.10Une fonctionf:R2→Restde classeC1si ses dérivées partielles existent et sont continues (sur son domaine de définition).

Exemple 3.11Avec

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

on calcule pour(x,y)?= (0,0), ∂∂x (x,y)-∂∂x

4|= 2|x| →0.

On voit dont que

∂∂x est continue et il en va de même de∂∂y par symétrie. Notre fonction est donc de classeC1. Théorème 3.12Sifest de classeC1, alorsfest différentiable. [Démonstration]

Exemple 3.13i) La fonctionf(x,y) =x3yx

4+y2prolongée par0à l"origine est

continue, possède des dérivées partielles mais n"est pas différentiable (et donc pas de classeC1). On vérifiera ça plus tard. ii) La fonctionf(x,y) =xy3x

4+y2prolongée par0à l"origine est de classeC1

(exercice). Elle est donc différenciable et en particulier continue. Proposition 3.14Sif:R2→Retg:R2→Rsont différentiables en (a,b), alors f+gest différentiable en(a,b)et on a ??∂(f+g)∂x (a,b) =∂f∂x (a,b) +∂g∂x (a,b) ∂(f+g)∂y (a,b) =∂f∂y (a,b) +∂g∂y (a,b)

12B04 - Version du March 13, 2009Figure1 - Surface pincéez=x3yx

4+y2Figure2 - Surface lissez=xy3x

4+y2

B04 - Version du March 13, 200913

i)ii)fgest différentiable en(a,b)et ??∂(fg)∂x (a,b) =g(a,b)∂f∂x (a,b) +f(a,b)∂g∂x (a,b) ∂(fg)∂y (a,b) =g(a,b)∂f∂y (a,b) +f(a,b)∂g∂y (a,b) iii) Sig(a,b)?= 0, alorsfg est différentiable en(a,b)et ???∂(fg )∂x (a,b) =1g(a,b)2[g(a,b)∂f∂x (a,b)-f(a,b)∂g∂x (a,b)] ∂(fg )∂y (a,b) =1g(a,b)2[g(a,b)∂f∂y (a,b)-f(a,b)∂g∂y (a,b)] [Démonstration] Corollaire 3.15Sifetgsont de classeC1alorsf+g,fgetfg aussi. Corollaire 3.16Une fonction rationnelle est de classeC1. Proposition 3.17Supposons quef:R2→Rest différentiable en(a,b)?R2. i) Sih:R→Rest dérivable enf(a,b), alorsh◦fest dérivable en(a,b)et ?(h◦f) =h?(f(a,b))?f(a,b), c"est à dire ∂(h◦f)∂x (a,b) =h?(f(a,b))∂f∂x (a,b) et∂(h◦f)∂y (a,b) =h?(f(a,b))∂f∂y (a,b) ii) Siγ:R→R2est dérivable ent0(ses composantesγ1etγ2sont dérivables) etγ(t0) = (a,b), alorsf◦γest dérivable ent0et (f◦γ)?(t0) =?f(a,b)·(γ?1(t0),γ?2(t0)), c"est à dire, (f◦γ)?(t0) =∂f∂x (a,b)γ?1(t0) +∂f∂y (a,b)γ?2(t0)) [Démonstration]

Exemple 3.18i) On sait que la fonction

f(x,y) =x2y2x 2+y2 se prolonge en une fonctionC1surR2et que son gradient est nul en0. Il suit que la fonction g(x,y) = sin(x2y2x 2+y2) " est » estC1surR2et que son gradient aussi est nul en0.

14B04 - Version du March 13, 2009

ii) La fonctionf(x,y) =x3yx

4+y2prolongée par0à l"origine n"est pas différen-

tiable : en effet, si on poseα(t) = (t,t2), on a (f◦α)(t) =t3t2t

4+t4=t2

qui est aussi valide pourt= 0si bien que(f◦α)?(t) =12 . Or on a ?f(0,0)·(α?1(0),α?2(0)) = (0,0)·(0,0) = 0. Proposition 3.19Sif:R2→Rest différentiable en(a,b), alors toutes les déri- vées directionnelles existent en(a,b)et on f ?(α,β)(a,b) =?f(a,b)·(α,β) On résume enf?v=?f·v. Il suit quef?vest maximal dans la direction de?f(pour ?v?fixé). [Démonstration]

Exemple 3.20Avec

f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si (x,y)?= (0,0)

0 sinon

comme d"habitude, on retrouve bienf?(1,1)(0,0) = (0,0)·(1,1) = 0. Définition 3.21 (Généralisation)Soitf:Rn→Rune fonction réelle den variables réelles.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50