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c) Justifier rapidement et sans calcul l'égalité : P−1AP = D; d) Montrer qu'une matrice ∆ de M3(R) vérifie ∆D = D∆ si et seulement ∆ est diagonale DEUXIEME

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Une équation matricielle du second degré pour souligner, une fois encore, qu' avec les matrices, les choses diffèrent dès lors que le produit matriciel est en jeu

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Représentation matricielle des systèmes d'équations système d'équations n' admet pas de solution : ce résultat sera faux (cf troisième degrés de liberté

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de résoudre les équations polynomiales du troisième degré, comme par exemple On appelle matrice des coefficients du système (S) la matrice p×n :

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efficients de l'équation, b est le second membre Lorsque b = 0, on dit de la méthode du pivot sera de se ramener à ce type de matrice Définitions nombre d'inconnues−nombre d'équations = nombre de degrés de liberté Cette propriété

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Il reste à vérifier que la matrice du système A est inversible, auquel cas on Solution: Le système d'équations précédent s'écrit sous forme matricielle : AX = B

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Solution D1 a pour équation x = 40, D2 a pour équation x + 3y = 100 Donc le point cherché second degré dont le discriminant est ∆=(−1)2 − 4 1 (−1) = 5

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On appelle matrice de taille n×p à coefficients dans toute famille A de np éléments de présentée sous la forme d'un tableau sont sécants Si on ajoute une troisième équation : n() est noté GLn() et appelé le groupe linéaire de degré n sur

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ECRICOME 1995

On noteM3(R) l"espace vectoriel des matrices carr´ees d"ordre 3 `a coefficients dansR. On d´esigne parE= (ε1,ε2,ε3) la base canonique deR3. On rappelle que, par d´efinition :ε1= (1,0,0), ε2= (0,1,0), ε3= (0,0,1).

On pose :

A=( (16 4-4 -18-4 5

30 8-7)

Enfin, on d´esigne parul"endomorphisme deR3ayantApour matrice dans la baseE.

PREMIERE PARTIE : ´etude de la matriceA

1. a) D´eterminer les valeurs propres deA.

b)Aest-elle inversible? c)Aest-elle diagonalisable?

2. On pose

P=( (1 0-1 -2 1 1

2 1-2)

etD=( (0 0 0 0 1 0

0 0 4)

a) Montrer qu"il existe une baseE= (e1,e2,e3) deR3telle quePsoit la matrice de passage de la baseEdans la baseEet telle queDsoit la matrice deudans la baseE. b) En utilisant la m´ethode du pivot de Gauss, montrer quePest inversible et calculerP-1. c) Justifier rapidement et sans calcul l"´egalit´e :P-1AP=D; d) Montrer qu"une matrice Δ deM3(R) v´erifie ΔD=DΔ si et seulement Δ est diagonale. DEUXIEME PARTIE : r´esolution dansM3(R)de l"´equation du second degr´e:X2=A On se propose dans cette partie de d´eterminer toutes les matricesXdeM3(R) v´erifiant X 2=A

1. On consid`ereX?M3(R) telle que :X2=A; on poseY=P-1XP.

V´erifier queY2=D; montrer queY D=DY,puis ´etablir queYest de la forme : Y=( (0 0 0

0γ0

0 0 2γ?)

avecγ? {-1,1}etγ?? {-1,1}. En d´eduire la forme de la matriceXpuis montrer, sans calculer explicitement les coefficients deX2,qu"une telle matriceXv´erifie bien :X2=A.

2. Quel est le nombremde solutions dansM3(R) de l"´equation du second degr´eX2=A?

Sans calculer explicitement cesmsolutionsX1,X2,...,Xm,d´eterminer leur sommeS=X1+ X

2+···+Xmet exprimer leur produitT=X1X2···Xmen fonction deA.Ev045Page 1/ 2

TROISIEME PARTIE : calcul deAnet application `a une ´etude de suites

1. Soitn?N×; calculerDnpuis en d´eduire l"expression deAnen fonction den.

2. Soienta,betctrois r´eels.

On consid`ere les suites (pn),(qn) et (rn) d´efinies par p

0=a, q0=b, r0=cet, pour toutn?N,?

?p n+1= 16pn+ 4qn-4rn q n+1=-18pn-4qn+ 5rn r n+1= 30pn+ 8qn-7rn a) Pourn?N,on poseUn=( (p n q n r n) ExprimerUn`a l"aide deAet deU0; en d´eduire, que pourn?1,les expressions depn,qn etrnen fonction dea,b,cet den. b) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sura,betcpour que les suites (pn),(qn) et (rn) tendent vers une limite finie lorsquentend vers plus l"infini. Cette condition ´etant suppos´ee remplie, que peut-on dire des suites (pn),(qn) et (rn)?

QUATRIEME PARTIE :C(A) ={M?M3(R)telle queAM=MA}

1. Montrer queM?C(A) si et seulementP-1MPest diagonale.

2. En d´eduire queC(A) est ´egal `a l"ensemble des matrices deM3(R) de la forme :

1+bM2+cM3avec (a,b,c)?R3(1)

o`uM1,M2etM3sont trois matrices que l"on d´eterminera.

3. Montrer que (M1,M2,M3) est une famille libre d"´el´ements deC(A).En d´eduire l"unicit´e de

l"´ecriture d"une matriceMdeC(A) sous la forme (1).Ev045Page 2/ 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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