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Baccalauréat 2017 - SLibanSérie S Obli. et Spé.5 Juin 2017Correction Like Math93 on Facebook / Follow Math93 on Twitter

Remarque:dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-

liter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l"examen, le temps est précieux! Il est

par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions et

d"astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.

Exercice 1. Espace6 points

Commun à tous/toutes lescandidat/e/s

Partie A

1. Montrerque le vecteur--→DFest normalauplan(EBG).

-→nest normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Théorème1

Les vecteurs

EBet--→EGne sont pas colinéaires et engendrent donc (EBG). Dans le repère?

D;--→DA;--→DC;--→DH?

on a : ?E (1 ; 0 ; 1) B (1 ; 1 ; 0) G (0 ; 1 ; 1) D (0 ; 0 ; 0) F (111))) .--→EB(((01 -1))) =0+1-1=0 DF (111))) .--→EG(((-1 1 0))) =-1+1+0=0??

DF?--→EB=0--→DF?--→EG=0

Donc le vecteur

DFest normal au plan (EBG) car il est orthogonal à deux vecteurs--→EBet--→EGnon colinéaires de ce plan.

2. Déterminerune équationcartésiennedu plan(EBG).

Soit vecteur-→unon nul et un point A de l"espace. L"unique planPpassant par A et de vecteur normal-→uest

l"ensemble des points M tels que---→AM.-→u=0. Dans un repère de l"espace, son équation est alors de la forme:

AM(((x-xA

y-yA z-zA))) .-→u(((a b c))) =0??a(x-xA)+b?y-yA?+c(z-zA)=0

Propriété1

Donc d"après la propriété 1 :

M(x;y;z)?(EBG)??--→EM(((x-1

y-0 z-1))) .--→DF(((111))) =0

M(x;y;z)?(EBG)??(x-1)+(y-0)+(z-1)=0

??(EBG) :x+y+z-2=0

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Obli. et Spé. - 5 Juin 2017

3. Endéduire les coordonnéesdu pointIintersectionde la droite (DF) et du plan(EBG).

On démontreraitde même que les coordonnées du point J intersection de la droite(DF)et du plan(AHC)sont?1

3;13;13?

Équationdeladroite(DF).

La droite (DF) passant par le pointD(0; 0; 0)et de vecteur directeur--→DF(1; 1; 1)est l"ensemble des pointsMde

l"espace tels que le vecteur---→DMsoit colinéaire à--→DF. On a alors : (DF)=?????

M(x;y;z) ;---→DM(((x-0

y-0 z-0))) =t--→DF(((111))) ,t?R????? Une représentation paramétrique de la droite (DF) est donc : (DF) :?????x=t y=t z=t,t?R

• Les coordonnées du pointIintersection de la droite (DF) et du plan (EBG) vérifient donc le système :

?x+y+z-2=0 x=t y=t z=t

Soit :

t+t+t-2=0??t=2 I=2 3 y I=2 3 z I=2 3 Les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec ladroite (FG) sont doncI?2

3;23;23?.

Partie B

Á tout réel x de l"intervalle[0 ; 1], on associe le point M du segment[DF]tel que :---→DM=x--→DF . On s"intéresse à la mesureθen

radian de l"angle

1. Que vautθsi le pointMestconfonduavecle pointD?avecle pointF?

SilepointMestconfonduaveclepointDalors le triangle EMB est isocèle. En effet les côtés de ce triangle sont tous

des diagonales de carrés de côté 1, donc de mesure? 2. La mesureθen radian de l"angle?EMBest donc deπ 3. SilepointMestconfonduaveclepointFalors le triangle EMB est rectangle et isocèle en F. La mesureθen radian de l"angle?EMBest donc deπ 2. 2.

2. a. Justifier que lescoordonnéesdu pointMsont (x;x;x).

Á tout réelxde l"intervalle [0 ; 1], on associe le pointMdu segment [DF] tel que :---→DM=x--→DF, de ce fait :

DM=x--→DF???????x-0=x×1

y-0=x×1 z-0=x×1

Les coordonnées du pointMsont donc :

M(x;x;x), avecxréel de l"intervalle [0 ; 1].

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2. b. Montrerque : cosθ=3x2-4x+13x2-4x+2. On pourrapour celas"intéresserau produitscalairedes vecteurs--→MEet---→MB.

• D"une part on a : ?M (x;x;x) B (1 ; 1 ; 0) E (1 ; 0 ; 1)??????? =?--→ME(((1-x -x

1-x)))

.---→MB(((1-x 1-x -x))) =(1-x)2-2x(1-x) .??--→ME.---→MB=3x2-4x+1 • D"autre part :

ME=MB=??????--→ME??????

2(1-x)2+x2

Donc =ME2×cos?EMB =ME×MB×cos=?2(1-x)2+x2?×cos?EMB • Donc : L"expression?3x2-4x+2?est un expression du second degré de la forme?ax2+bx+c?. Avec : ?a=3 b=-4 c=2??????? =?Δ=-8<0

Le discriminantΔétant strictement négatif, la fonction polynôme du second degréx?-→?3x2-4x+2?n"admet pas de

racine réelle. De ce fait on peut diviser les deux membres de l"égalité précédente par?3x2-4x+2?et l"on obtient :

cosθ=3x2-4x+1

3x2-4x+2

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3.On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x→3x2-4x+13x2-4x+2.

x

Variations def

0231
1 2 1 2 -12-12 00 1 3 0

On rappelle que les coordonnées du point I intersection de ladroite(DF)et du plan(EBG)sont I?23;23;23?

et que celles du point J intersection de la droite(DF)et du plan(AHC)sont J?1

3;13;13?

Pour quellespositions du pointMsur le segment [DF]:

3. a. le triangleMEBest-il rectangleenM?

Le triangleMEBest rectangle enMsi, et seulement si, cos(θ)=0. Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle [a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l"équationf(x)=kadmet une unique solution dans [a;b]. Remarque: Le première démonstration rigoureuse de ce théorème est due au mathémati- cien autrichien Bernard Bolzano (1781-1848). Théorème 2(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) •Applicationdu corollairesur? 0;2 3? -La fonctionfestcontinueetstrictement décroissantesur l"intervalle? 0;2 3? -Le réelk=0 est compris entref(0)=1

2etf?23?

=-12 -Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x)=0 admet une solution uniqueαsur l"intervalle? 0;2 3? -D"après le tableau de variation on aα=1 3. •Sur?2 3; 1?

Sur cet intervalle la fonctionfest continue, croissante et atteint son maximum 0 pourx=1. de ca fait l"équation

f(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle, qui estx=1. •Conclusion. LetriangleMEBest rectangleenMsi,etseulement si,cos(θ)=0et doncsietseulement six=1

3oux=1soitquand

Mest de coordonnées?1

3;13;13?

ou (1 ; 1 ; 1).

Les seules positions du point M sur le segment [DF] pour lesquelles le triangle MEB est rectangle en M sont donc

lorsque M est confondu avec le pointJ?1

3;13;13?

ou confondu avec le pointF(1 ; 1 ; 1).

3. b. l"angleθest-il maximal?

La fonction cos est décroissante sur l"intervalle [0 ;π]. De ce fait l"angleθest maximal quand cosθest minimal.

D"après le tableau de variation proposé, la fonctionfatteint son minimum pourx=2 3. L"angleθest maximal quandMest confondu avec le pointI?2

3;23;23?

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Exercice 2. Probabilités6 points

Commun à tous/toutes lescandidat/e/s

Partie A

On appelle durée d"attente le temps qui s"écoule entre le moment où la voiture se présente à l"entrée du parking et le moment où

elle franchit la barrière d"entrée du parking. le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d"attente en minute[0 ; 2[[2 ; 4[[4 ; 6[[6 ; 8[Total

Centres des classes1357X

Nombre de voiture7519105109

1. Proposerune estimationde la durée d"attente moyenne d"une voiture à l"entrée du parking.

En utilisant le centre des classes on peut calculer une estimation de la moyenne des temps d"attente :

Une estimation de la durée d"attente moyenne d"une voiture àl"entrée du parking est d"environ2min .

2. Onmodélise cette durée par une variableTsuivantla loiexponentiellede paramètreλ(exprimé enminute).

2. a. Justifier que l"onpeut choisirλ=0,5 min.

Soitλun réel strictement positif.

Une variable aléatoire à densitéTsuit la loi exponentielle de paramètreλsi sa densité de probabilité est la fonc-

tionfdéfinie surR+par : f(x)=λe-λx

En outre la variableTest d"espérance :E(T)=1

Définition 1

On choisissantλ=0,5 min, on onbtent une loi exponentielle de moyenne :

E(T)=1

λ=10,5=2

Ce résultat est cohérent avec la moyenne estimée lors de la question (1.).

2. b. Une voiture se présente à l"entrée du parking. Quelle est la probabilité qu"elle mette moins de deux minutes pour

franchir la barrière?

Soitλun réel strictement positif.

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