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AlgorithmiqueI-CoursetTravauxDiri g´es

L3,Ecol eNormaleSup´er ieuredeLyon

Cours

AnneBe noit

TravauxDirig´es(200 8-2009)

BenjaminDepardon,Chris topheMouilleron,Cl´ement Resvoy

Septembre2009

2

Tabledesmati` eres

1In troduction:calculdex

n 9 1.1 Enonc´eduprobl`eme.. ..... ....................... ... .9

1.2Algorit hmena¨ıf............ ............... ... .. ... ..9

1.3M´et hodebinaire............. ................. ... ... 9

1.4M´et hodedesfacteurs......... ......... ................10

1.5Arbre deKnuth.... ...... .............. ... ... ... ... .10

1.6R´es ultatssurlacomplexit´e...... ......... ...... .........11

1.7Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 12

1.8R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................14

2D iviserpourr´egner15

2.1Algorit hmedeStrassen........ ...... ..................15

2.2Prod uitdedeuxpolynˆomes... ...... ............ .........17

2.3Maste rtheorem....... .................. ... .. ... ... .18

2.4R´es olutiondesr´ecurrences...... ........ ................19

2.4.1R´esol utiondesr´ecurrenceshomog`ene s........ ............19

2.4.2R´esolu tiondesr´ecurrencesavecsecon dmembre.. .............19

2.5Mult iplicationetinversiondematrices....... ...... ...........20

2.6Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..21

2.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................23

3P rogrammationdynamique25

3.1Pi`e cesdeMonnaies......... ...... .................. .. 25

3.2Leprob l`e medusac`ados............. ...... ..... ...... .26

3.2.1Englouton ...... ........... ... ... ... ... ... .. .26

3.2.2Parprogr ammationd ynamique................ ........26

3.3Quel quesexemplesdeprogrammationd ynamique................ ..27

3.3.1Chaˆın esdematrices............ ...... ............27

3.3.2Pluslon guesous-suite. ........... .................28

3.3.3Locationd eskis.......... ..... ............ ... ..30

3.4Exe rcices.................... ... ... ... ... ... ... .. 32

3.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................34

4A lgorithmesgloutons35

4.1Exem pledugymnase.......... ...... .............. ... .35

4.2Route `asuivrepourl eglouton. ................. ........ ..36

4.3Colori aged'ungraphe...... ........... ............ ... .37

4.3.1Algorithm eglouton1.............. ............ ... 38

4.3.2Algorithm eglouton2.............. ............ .. .38

3

4.3.3Graphed 'intervalles.... ..........................39

4.3.4Algorithm edeBrelaz............ ...... ...........39

4.4Th´ eoriedesmatro¨ıdes..... ........ ....................41

4.4.1Matro¨ ıdes...................... ... ... ... ... ..41

4.4.2Algorith meglouton............... ........... ... ..42

4.5Ordon nancement........................... ... .. ... .42

4.6Exer cices..................... ... ... ... .. ... ... ..44

4.7R´ef ´erencesbibliographiques............. .................45

5Tri47

5.1Trif usion.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .47

5.2Trip artas:Heapsort ...... ..... ... ............... .. ..47

5.2.1D´efini tions......................... ... ... ... .47

5.2.2Tripart as........ ..... ...... ... ... ... ... .. ..48

5.2.3Inser tiond'unnouvel´el´ement.. ............ ...........48

5.2.4Suppre ssiond'un´el´ementdutas........ ........... ....49

5.2.5Comple xit´edutripartas............... ...... ......49

5.3Trir apide.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .49

5.3.1Coˆut. ............... .. ... ... ... ... ... ... .. .50

5.3.2M´edian eentempslin´eaire.... ...... .............. ...50

5.4Compl exit´edutri.................. ...... ........ ... .51

5.4.1Lesgrands th´eor` emes....... ......................51

5.4.2D´emons trationdesth´eor`emes.............. ........ ...52

5.4.3Peut-on atteindrelaborne?.. ....................... .54

5.5Exer cices..................... ... ... ... ... ... .. ..55

5.6R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................57

6G raphes59

6.1D´efi nitions....................... ... ... ... ... .. ... 59

6.2Arbre s............. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 59

6.2.1Caract´e risation............................. ... .59

6.2.2Parcours d'arbresbinaires... ..................... ...60

6.2.3Arbresb inairesderecherc he.................. ...... ..63

6.3Stru cturesdedonn´eespourlesgraphes... ...... ...............65

6.4Acce ssibilit´e............................ ... ... .. ... 69

6.4.1Rappel ssurlesrelationsbinai res..... ......... .........69

6.4.2Chemin sdanslesgraphes........ ......... ......... .70

6.4.3Fermet uretransitive.............. ................70

6.5Plus courtschemins .............. .................... 73

6.5.1D´efin itions........................ ... ... ... ..73

6.5.2Pr´es entationdespluscourtschemins....... ......... .....74

6.5.3Avecdes poidspositi fs...... ............ ...........74

6.5.4Chemin salg´ebriquesdanslesse mi-anneaux.................75

6.5.5Algorithm edeDijkstra......... ...... .............76

6.6Parcou rsenlargeur......... ..... ............... ... .. .78

6.7Parcou rsenprofondeur...... ..... .....................80

6.7.1Premi` ereversion................. ...............80

6.7.2Analysefi neduparcoursenprof ondeur... ...... ..........81

6.8Trit opologique.. .................... ... ... ... ... ... 82

6.9Forte connexit´e... .......................... ... .. ... 83

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