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Durée : 3 heures

?Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010?

EXERCICE15points

Commun à tous les candidats

1. ex?3

2.ln?x2+x+1?=0??ln?x2+x+1?=ln1??

2+x+1=1??x2+x=0??x(x+1)=0??x=0 oux=-1.

Ces deux nombres sont bien solution.

3.ex=e-x??x=-x??2x=0??x=0, donc une seule solution.

4.Pour toutx?[1 ;+∞[,1

x?f(x)?1??1x2?f(x)x?1x. Comme la limite des deux termes extrême est nulle, on a lim x→+∞f(x) x=0.

5.Sigest une primitive defsurI, alorsg?(x)=f(x); orgest croissante surI, doncg?(x)=

f(x)>0 : la fonctionfest positive surI.

EXERCICE25points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

PartieA : Étude statistique

1.La dette moyenne (ce qui n"apporte aucune information) est égale à 478,8.

Année19901992199419961998200020022004

Rang de l"annéexi01234567

Detteyien mil-

liards d"euros271,7321,4443540,1613,1683,5773,4872,6

3.En utilisant la question précédente (calcul de l"indice) onobtient un taux global d"évolution

de 321,2-100=221,2%

4.De1990 à 2004 la dette a été multipliée par 3,212.Sitest taux en pourcentage d"augmentation de cette dette on a :

(1+t)7=3,212??1+t=3,2121

7??t=3,21217-1≈0,1814.

De 1990 à 2014 la dette a augmenté en moyenne de 18,1% tous les deux ans. PartieB : Interpolationetextrapolationde données

1.La calculatrice donney=86,4x+262,3 (coefficients arrondis au dixième).

2.On résout l"inéquation :86,4x+262,3>1000??86,4x>837,7??x>737,7

86,4.
Or 737,7

86,4≈8,5, donc il faut prendrex=9 soit attendre 2008.

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.On résout de même l"inéquation :86,4x+262,3>2×683,5??86,4x>1104,7??x>1104,7

86,4.
Or

1104,7

86,4≈12,7.

Il faut prendrex=13 c"est-à-dire attendre 2016.

EXERCICE25points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On a bienu0=50 et chaque annéens"il y aunmilliers d"arbres on en abat 0,05un: il en reste

doncun-0,05un=0,95unet on en plante 3 milliers, donc u n+1=0,95un+3.

2. a.Quel que soit le natureln,

0,95-un?

=0,95(60-un)=0,95vn. L"égalitévn+1=0,95vnmontre que la suite(vn)est géométrique de raison 0,9. b.Le premier termev0=60-u0=60-50=10.

On sait quevn=v0×0,95n=10×0,95n

c.On avn=60-un??un=60-vn=60-10×0,95npour tout entier natureln.

3.2015 correspond àn=5, d"oùu5=60-10×0,955≈52,262, donc 52262 arbres.

4. a.un+1-un=60-10×0,95n+1-(60-10×0,95n)=-10×0,95n+1+10×0,95n=10×0,95n(1-

0,95)=0,5×0,9n.

u n>0 quel que soitn: la suite est donc croissante.

5.10% de 50 représentent 0,1×50=5. Il faut donc résoudre l"inéquation :

ln0,95. Or ln0,5 ln0,95≈13,5 : il faudra donc attendre 14 ans, soit en 2024.

6.Comme 0<0,95<1, on sait que limn→+∞0,95n=0, donc

lim n→+∞10×0,95n=0 et limn→+∞un=60 soit 60000 arbres.

EXERCICE35points

Commun à tous les candidats

1.p(G)=0,4 etpG(W)=0,6.

2. G 0,4W 0,6 W0,4 G0,6W 23
30
W7 30

On suppose que la probabilité de W est :p(W)=7

10.

Centres étrangers211 juin 2010

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

4.On a d"après la loi des probabilités totales :

p(W)=p(G∩W)+p?

G∩W?

, soit : p?

G∩W?

=p(W)-p(G∩W)=0,70-0,24=0,46. 5.pW? G? =p?

W∩

G? p(W)=0,460,7=4670=2335.

6.Tableau de la loi de probabilités du coût de revient des deux options.

p(X=)0,240,160,460,14

Coût181260

7.Calculer l"espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat.

En moyenne le coût de revient par téléphone toutes options confondues est de 9 euros.

EXERCICE45points

Commun à tous les candidats

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

-11 23
CfT e xy O EA B D C

1. a.Le point B a une ordonnée nulle, donc 1+ln(x)=0??ln(x)= -1??eln(x)=e-1??

x=e-1=1 e.

B?e-1; 0?.

b.Six?1 ealors

2. a.Une équation de Teest :y-f(e)=f?(e)(x-e).

On sait quef(e)=2.

fest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle : f ?(x)=1 x, doncf?(x)=1e=e-1.

Une équation de la tangente est donc :

y-2=e-1(x-e)??y=e-1x-1+2??y=e-1x+1.

Centres étrangers311 juin 2010

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.Les coordonnées de C vérifient l"équation de la tangente et son ordonnée est nulle, d"où :

e -1x+1=0??e-1x=-1??x=-e (en multipliant chaque membre par e).

C(-e ; 0).

c.On vérifie bien que le milieu de [EC] a pour coordonnées?-e+e

2;0+02?

=(0 ; 0). Le milieu de [EC] est l"origine : les deux points E et C sont symétriques autour de O. On considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=xlnx.

3. a.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur intervalle :

g ?(x)=lnx+x×1 x=lnx+1=f(x).

Gest donc une primitive degsur ]0 ;+∞[.

b.On a vu que six?1 e,f(x)?0, donc l"aire du domaine limité parCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationx=1 eetx=e est égal à l"intégrale :?e 1 e(1+lnx)dx=[G(x)]e

1e=G(e)-G?1e?

=eln(e)-1eln1e=e+e-1ln(e)=e+e-1. (environ

3,086 unités d"aire)

4.Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie seraprise en compte.

Soit D le point de la tangente T

ed"abscisse1 e; son ordonnée est donc : y=e-1×1 e+1=1+e-2.

L"aire de la surface grisée est égale à la différence de l"aire du trapèze BDAE et de l"aire du

domaine calculé à la question précédente. Or l"aire du trapèze est égale à(BD+AH)×BE

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Durée : 3 heures

EXERCICE15points

Commun à tous les candidats

2.ln?x2+x+1?=0??ln?x2+x+1?=ln1??

2+x+1=1??x2+x=0??x(x+1)=0??x=0 oux=-1.

Ces deux nombres sont bien solution.

3.ex=e-x??x=-x??2x=0??x=0, donc une seule solution.

4.Pour toutx?[1 ;+∞[,1

5.Sigest une primitive defsurI, alorsg?(x)=f(x); orgest croissante surI, doncg?(x)=

EXERCICE25points

PartieA : Étude statistique

1.La dette moyenne (ce qui n"apporte aucune information) est égale à 478,8.

Année19901992199419961998200020022004

Rang de l"annéexi01234567

Detteyien mil-

3.En utilisant la question précédente (calcul de l"indice) onobtient un taux global d"évolution

4.De1990 à 2004 la dette a été multipliée par 3,212.Sitest taux en pourcentage d"augmentation de cette dette on a :

7??t=3,21217-1≈0,1814.

1.La calculatrice donney=86,4x+262,3 (coefficients arrondis au dixième).

2.On résout l"inéquation :86,4x+262,3>1000??86,4x>837,7??x>737,7

86,4≈8,5, donc il faut prendrex=9 soit attendre 2008.

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.On résout de même l"inéquation :86,4x+262,3>2×683,5??86,4x>1104,7??x>1104,7

1104,7

86,4≈12,7.

EXERCICE25points

1.On a bienu0=50 et chaque annéens"il y aunmilliers d"arbres on en abat 0,05un: il en reste

2. a.Quel que soit le natureln,

0,95-un?

On sait quevn=v0×0,95n=10×0,95n

3.2015 correspond àn=5, d"oùu5=60-10×0,955≈52,262, donc 52262 arbres.

4. a.un+1-un=60-10×0,95n+1-(60-10×0,95n)=-10×0,95n+1+10×0,95n=10×0,95n(1-

0,95)=0,5×0,9n.

5.10% de 50 représentent 0,1×50=5. Il faut donc résoudre l"inéquation :

6.Comme 0<0,95<1, on sait que limn→+∞0,95n=0, donc

EXERCICE35points

Commun à tous les candidats

1.p(G)=0,4 etpG(W)=0,6.

On suppose que la probabilité de W est :p(W)=7

Centres étrangers211 juin 2010

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

4.On a d"après la loi des probabilités totales :

G∩W?

G∩W?

W∩

6.Tableau de la loi de probabilités du coût de revient des deux options.

Coût181260

7.Calculer l"espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat.

EXERCICE45points

Commun à tous les candidats

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

1. a.Le point B a une ordonnée nulle, donc 1+ln(x)=0??ln(x)= -1??eln(x)=e-1??

B?e-1; 0?.

2. a.Une équation de Teest :y-f(e)=f?(e)(x-e).

On sait quef(e)=2.

Une équation de la tangente est donc :

Centres étrangers311 juin 2010

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

C(-e ; 0).

2;0+02?

3. a.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur intervalle :

Gest donc une primitive degsur ]0 ;+∞[.

1e=G(e)-G?1e?

3,086 unités d"aire)

4.Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie seraprise en compte.

Soit D le point de la tangente T

2=?e-e-1??1+e-2+2?2=?e-e-1??3+e-2?2=

3e-2e-1-e-3

3e-2e-1-e-3

2-?e+e-1?=e-4e-1-e-32≈0,5984

Centres étrangers411 juin 2010