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primitives et calcul intégral

Table des matières

1 introduction

2

2 primitives d"une fonction

4

2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12

3 intégrale d"une fonction

13

3.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13

3.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 32

3.6.1 algorithme et calcul d"aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 32

3.7 évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 36

3.8 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 47

3.8.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 48

3.8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 51

1

1 introduction

1. en un certain lieu, soit????f(x) =x+ 1la valeur de la température en degrés mesurée à l"heurexoux?[0;7]

par exemple : ?à la datex= 1il faitf(1) = 1 + 1 = 2degrés

à la datex= 6il faitf(6) = 6 + 1 = 7degrés

01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

2. on cherche à déterminer la valeur de

???Vm(f),????température moyenne entre les heuresx= 1etx= 6 graphiquement on peut estimer que la valeur moyenne vaut ???Vm(f)?4

01234567

0 1 2 3 4 5 6A BCDC

f

3. par définition, la valeur moyenne cherchée est telle que

l"aire sous la courbe entrex= 1etx= 6notéeA=? 6 1 f(x)dx("intégrale de1à6defdex,dx") est égale à l"aire du rectangleABCDde même largeur ( entrex= 1etx= 6) soitlargeur×hauteur= (6-1)×Vm(f) ce qui donne 6 1 f(x)dx= (6-1)×Vm(f) donc :

Vm(f) =16-1×?

6 1 f(x)dx, il reste à déterminer???? ?6 1 f(x)dx("intégrale de1à6defdex,dx")

01234567

0 1 2 3 4 5 6A BCDC

f01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

4. pour cela on utilise le théorème?

?b a f(x)dx=F(b)-F(a)où? ???Fest une primitive def sachant que ???Fest une primitive def??F?(x) =f(x) il suffit alors de trouver une primitive defoùf(x) =x+ 1 orF(x) =1 2x2+x est telle queF?(x) =1

2×2x+ 1 =x+ 1 =f(x)

donc

F(x) =12x2+xest une primitive de????f(x) =x+ 1

on a donc : 6 1 f(x)dx=F(6)-F(1)avec???????F(6) =1

2×62+ 6 = 18 + 6 =????24

F(1) =1

2×12+ 1 = 0,5 + 1 =????1,5

soit : 6 1 f(x)dx= 24-1,5 =? ???22,5 ce qui signifie que l"aire sous la courbe defpourxallant de1à6est de? ???22,5unités d"aires( on peut dénombrer 22,5 carrés d"une unité d"aire sous la courbe) finalement

Vm(f) =1

6-1×?

6 1 f(x)dx=15×22,5 = 4,5 la valeur moyenne defpour allant de1à5est donc d"exactement? ???4,5 ce qui est cohérent avec le résultat évalué graphiquement graphiquementVm(f)?4et algébriquementVm(f) = 4,5

01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

5. synthèse :(sous certaines conditions vues dans le cours)

valeur moyenne defpourxcompris entreaetb=Vm(f) =1b-a? b a f(x)dx intégrale defpourxcompris entreaetb=I=? b a f(x)dx=F(b)-F(a) ???Fest une primitive def??F?(x) =f(x)

2 primitives d"une fonction

2.1 activités

activité 1 soientF1etfles fonctions respectivement définies surRpar :?F1(x) = 5x3+ 10x2-5x f(x) = 15x2+ 20x-5

1. montrer queF?1(x) =f(x)(on dit sous cette condition queF1est une primitive def)

2. montrer queF2définie surRparF2(x) = 5x3+ 10x2-5x+ 1est aussi une primitive def

3. que dire deFdéfinie parF(x) = 5x3+ 10x2-5x+koùk?Rest un réel quelconque?

4. combien la fonctionfadmet-elle de primitives?

5. soitGune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.

pour cela, on considère la fonctionHdéfinie parH(x) =G(x)-F1(x) (a) montrer queH?(x) = 0 (b) en déduire queH(x) =k= constante pour toutx?R (c) en déduire queG(x) =F1(x) +kpour toutx?R (d) quelle est nécessairement la forme d"une primitive def? (e) en déduire la seule et unique primitiveFdeftelle queF(0) = 10 activité 2 soit la fonctionftellef(x) = 1 +x+ex-1x2+1xdéfinie surR?

1. montrer queF1telle queF1(x) =x+x2

2+ex+1x+lnxest une primitive def

2. trouver une autre primitiveF2def

3. trouver la primitiveFdefqui vaut 0 pourx= 1

activité 3 donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableaudes dérivées

1.f(x) = 0a par exemple pour primitive : ...

2.f(x) = 10a par exemple pour primitive : ...

3.f(x) =xa par exemple pour primitive : ...

4.f(x) =x2a par exemple pour primitive : ...

5.f(x) =x3a par exemple pour primitive : ...

6.f(x) =1

xa par exemple pour primitive : ...

7.f(x) =1

x2a par exemple pour primitive : ...

8.f(x) =1

x3a par exemple pour primitive : ...

9.f(x) =exa par exemple pour primitive : ...

activité 4 démontrer chaque proposition

1. siFetGsont des primitives respectives defetgalorsH=F+Gest une primitive deh=f+g

2. siFest une primitive defetk?Rest un réel alorsH=kFest une primitive deh=kf

2.2 corrigés activités

corrigé activité 1 soientF1etfles fonctions respectivement définies surRpar :?F1(x) = 5x3+ 10x2-5x f(x) = 15x2+ 20x-5

1.F?1(x) = 15x2+ 20x-5etf(x) = 15x2+ 20x-5

F ?1(x) =f(x) F

1est donc une primitive def

2.F?2(x) = 15x2+ 20x-5etf(x) = 15x2+ 20x-5

F ?2(x) =f(x) F

2est donc aussi une primitive def

3.Fdéfinie parF(x) = 5x3+ 10x2-5x+koùk?Rest aussi une primitive defcar

F ?(x) =f(x)

4. la fonctionfadmet alors une infinité de primitives

5. soitGune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.

pour cela, on considère la fonctionHdéfinie parH(x) =G(x)-F1(x) a.H(x) =G(x)-F1(x) H ?(x) =G?(x)-F?1(x)

H(x) =f(x)-f(x) = 0

H ?(x) = 0 b.Hest une fonction constante car sa dérivée est nulle pour toutx?R

H(x) =k= constante pour toutx?R

c.H(x) =G(x)-F1(x) =kpour toutx?R

G(x) =F1(x) +kpour toutx?R

d. une primitive defest nécessairement la formeF(x) =F1(x) +k e. la seule et unique primitiveFdeftelle queF(0) = 10est telle que

F(x) =F1(x) +kavecF(0) = 10

F(x) = 15x2+ 20x-5 +kavecF(0) = 10

F(0) = 15×02+ 20×0-5 +k= 10

-5 +k= 10??k= 15

F(x) = 15x2+ 20x-5 + 15

F(x) = 15x2+ 20x-10

corrigé activité 2 soit la fonctionftellef(x) = 1 +x+ex-1x2définie surR?

1.F1telle queF1(x) =x+x2

2+ex+1xest une primitive def, en effet :

F ?1(x) = 1 +1

2×2x+ex+-1x2

F ?1(x) = 1 +x+ex-1 x2=f(x)

2. une autre primitiveF2defest :F2(x) =x+x2

2+lnx+1x+koùk?R

3. primitiveFdefqui vaut 0 pourx= 1

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