[PDF] [PDF] Applications - Injections - Surjections - Bijections - Lycée dAdultes

[PDF] INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS - Christophe Bertault

Définition (Bijection) Soit f : E −→ F une application Les assertions suivantes sont équivalentes : • f est injective sur E et surjective de E sur F • ∀y ∈ F 

[PDF] Fonctions injectives, surjectives et bijectives

Fonctions injectives, surjectives et bijectives Injection Définition Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l'image correspond au plus à un 

[PDF] Chapitre I Applications, généralités

Cours de M RUMIN réécrit par J KULCSAR Chapitre I Définition : Une application est la donnée : est injective et surjective, elle est donc bijective

[PDF] Applications - Injections - Surjections - Bijections - Lycée dAdultes

20 août 2017 · 2 3 Injectivité par stricte monotonie sur une partie de R 3 2 Surjectivité et composition f est bijective sur F si f est injective et surjective

[PDF] Fonctions et applications - Institut de Mathématiques de Toulouse

le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 1 5 5 −5 −5 La fonction g ◦ f donne l'horaire de début du cours suivi `a chaque él`eve 2

[PDF] Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

Bijection Definition Une fonction f est bijective si elle injective et surjective Cela équivaut à : pour tout y ∈ F, il existe un unique x ∈ E tel que y = f (x)

[PDF] Chapitre 5 Applications

3 – On dit que f est une bijection ou que f est bijective si elle est `a la fois injective et surjective Preuve : on va démontrer l'équivalence concernant l'injectivité

[PDF] Applications linéaires injectives, surjectives, bijectives - Base

Elément de cours des exercices Applications de bijectivité Injectivité Propriété : L'application linéaire f est injective si son noyau est réduit au vecteur nul :

[PDF] Applications injectives, surjectives, bijective - Math´ematiques - ECS1

c 2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année injective La composée de deux applications surjectives est une application surjective

[PDF] ensemble application relation exercice

[PDF] formule trigonométrique 3eme

[PDF] problèmes conduisant ? une modélisation par des fonctions.

[PDF] application des suites numériques dans la vie

[PDF] application des mathématiques ? d autres disciplines capes

[PDF] oral capes maths

[PDF] maths au quotidien college

[PDF] les maths au quotidien pdf

[PDF] application immédiate de la loi nouvelle

[PDF] l'application de la loi dans le temps dissertation

[PDF] histoire du nombre d or pdf

[PDF] le nombre d or histoire des arts

[PDF] principe de précaution définition

[PDF] etu.um5.ac.ma résultats

[PDF] fsjes souissi emploi du temps

DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 16:21

Applications - Injections -

Surjections - Bijections

Table des matières

1 Applications2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Image d"une partie, d"une application. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Image réciproque d"une partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Composition d"applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Ensemble d"applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Restriction et prolongement d"une application. . . . . . . . . . . . 4

2 Injections5

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Injection et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Injectivité par stricte monotonie sur une partie de R. . . . . . . . . 6

3 Surjections6

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Surjectivité et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Bijections7

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Application réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Bijectivité, réciproque et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE

1. APPLICATIONS

1 Applications

1.1 Définition

Définition 1 :Soit deux ensemblesEetFetfune relation deEdansF. •fest une application si tout élémentx?Epossède une image uniquef(x)?F. ?x?E,?!y?F,y=f(x) •L"ensembleEest appelé ensemble de départ defetFl"ensemble d"arrivé def.

•f(x)est appelé l"image dexparf.

Tout élémentx?Epour lequely=f(x)est appelé antécédent deyparf.

Remarque :

•On pourrait aussi donner comme définition : un application deEdansFest une partie deE×Ftelle que :?x?E,?!y?F,y=f(x) •Application et fonction sont synonymes. Des nuances d"ordre pédagogiques sont parfois faites entre les deux termes. Au lycée, on appelle fonction une re- lation deEdansFtelle que chaque élément deEpossède au plus une image dansF.

Exemples :

•Une application représentée par undiagramme sagittal. x

1etx2ont la même imagey1.

y

1a deux antécédentsx1etx2.

Chaque(xi)i?[[1,4]]a une image.

Chaque(yi)i?[[1,5]]n"a pas nécessaire-

ment un antécédent. x1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 EfF •Une applicationgdeRdansR:y1a quatre antécédentsx1,x2,x3,x4 x1x2x3x4y 1 Cg

PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE

1. APPLICATIONS

1.2 Image d"une partie, d"une application

Définition 2 :Soientfune application deEdansFetAune partie deE. •On appelle image deAparf, l"ensemble, notéef(A), telle que : f(A) ={y?F,?a?A,y=f(a)}={f(a)}a?A •L"image deEest appelée image defet notée Imf

Exemples :

•A={x1,x2,x3}

f(A) ={y1,y5}

ImE={y1,y3,y5}

x 1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 EfF A •Pour une application deRdansR: ici Img= [ymin,ymax] yminy max Cg

1.3 Image réciproque d"une partie

Définition 3 :Soientfune application deEdansFetBune partie deF. On appelle image réciproque deBparf, l"ensemble notéf-1(B), tel que : f -1(B) ={x?E,f(x)?B} ?La notationf-1(B)pourrait faire penser que la fonction réciproquef-1existe, ce qui n"est pas le cas sifn"est pas bijective. La notationf-1(B)fait simplement référence à une partie deE.

Exemples :

•Par rapport à nos deux exemples, on peut écrire : f •Soit la fonctionfdeRdansRdéfinie parf(x) =sinx. f -1([-1 ; 1])=Retf-1([0 ; 1])=? k?Z[ k2π;k2π+π]

PAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE

1. APPLICATIONS

1.4 Composition d"applications

Définition 4 :Soientfetgdeux applications,f:E→Fetg:F→G. L"application composée defsuivie deg, notéeg◦f, est telle que : g◦f:?E-→G x?-→g[f(x)] Remarque :On ne peut pas nécessairement définir la composéef◦gà partir des mêmes ensembles. Dans le cas où cela serait possible, la composée de deux applications n"est pas commutative, en général :g◦f?=f◦g

1.5 Ensemble d"applications

Définition 5 :L"ensemble des applications deEdansFest notéFEouF(E,F) ?L"ensemble des applications deEdansF: notationFE

1.6 Restriction et prolongement d"une application

Définition 6 :SoitAune partie deE.

•Soitf:E→Fune application.

On appelle restriction defàAl"application notéef|AdeAdansFtelle que : ?x?A,f|A(x) =f(x)

•Soitf:A→Fune application.

On appelle prolongement defàEl"application notéegdeEdansFtelle que : ?x?A,f(x) =g(x) Remarque :Quand une fonction admet une limite à l"une des bornes ouvertes finies de son ensemble de définition, on peut prolonger la fonction par continuité. Par exemple la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =sinx x. Or limx→0f(x) =1.

On prolonge alors la fonctionfsurR:???f(x) =sinx

xx?=0 f(0) =1

PAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE

2. INJECTIONS

2 Injections

2.1 Définition

Définition 7 :Soit l"applicationfdeEdansF.

fest injective surEsi tout élément deFpossède au plus un antécédent : ?x1,x2?E,f(x1) =f(x2)?x1=x2

Remarque :

On a le diagramme sagittal suivant :

Certains éléments deFpeuvent ne pas

avoir d"antécédent. C"est la cas ici dey4.

Imf={y1,y2,y3,y5}?=F

card(E)?card(F) x1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 EfF

Exemple :L"applicationf:z?→f(z) =z+i

z-iest injective surC/{i}car : z 1+i z1-i=z2+iz2-i?(z1+i)(z2-i) = (z1-i)(z2+i)? z

1z2+i(z2-z1) +1=z1z2+i(z1-z2) +1?z2-z1=z1-z2?

2(z2-z1) =0?z2=z1

2.2 Injection et composition

Définition 8 :Soientfetgdeux applications,f:E→Fetg:F→G. •Sifetgsont injectives alorsg◦fest injective.

•Sig◦fest injective alorsfest injective

Remarque :Sig◦fest injective alorsgrien du tout. Contre exemplefetgsont respectivement la fonction exponentielle et la fonction carrée définies surR.

•La fonction exponentielle est injective

•g◦f(x) = (ex)2=e2xdoncg◦fest injective. •La fonction carrée n"est pas injective car 4 a deux antécédents 2 et-2.

Démonstration :

•fetginjectives.

g◦f(x1) =g◦f(x2)?g[f(x1)]=g[f(x2)]ginjective?f(x1) =f(x2)finjective?x1=x2

•g◦finjective

f(x1) =f(x2)composition parg?g[f(x1)]=g[f(x2)]g◦finjective?x1=x2

PAUL MILAN5CPGE L1 -ALGÈBRE

3. SURJECTIONS

2.3 Injectivité par stricte monotonie sur une partie de R

Théorème 1 :SoientAune partie deRetfune fonction deAdansR. Sifest strictement monotone surAalorsfest injective surA

Remarque :La réciproque est fausse

carfpeut être injective surAsans être monotone surA.Dans cecaslafonction fn"est pas continue surA.

Exemples :

•La fonction cos est injective sur[0 ;π]car strictement décroissante. On en dé- duit l"implication sur[0 ;π], cosx=cosy?x=y. Il est à remarquer que cette implication n"est pas vrai surRcar la fonction cos est périodique. •Montrons que?x,y?]-1 ; 1[, arctanx+arctany=arctanx+y1-xy ?x?]-1 ; 1[, arctanx??

4;π4?

?arctanx+arctany?? -π2;π2? tan(arctanx+arctany) =tanarctanx+tanarctany1-tanarctanxtanarctany=x+y1-xy=tanarctanx+y1-xy

La fonction tan est strictement croissante sur

2;π2?

, donc injective et l"on peut alors simplifier par " tan » d"où arctanx+arctany=arctanx+y 1-xy

3 Surjections

3.1 Définition

Définition 9 :Soitfune application deEdansF.

fest surjective si tout élément deFpossède au moins un antécédent dansE.

On a alors Imf=F

?y?F,?x?E,y=f(x)

Remarque :

On a le diagramme sagittal suivant :

Certains éléments deFpeuvent avoir

plusieurs d"antécédents, iciy1.

Imf={y1,y2,y3}=F

card(E)?card(F) x1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 EfF

PAUL MILAN6CPGE L1 -ALGÈBRE

4. BIJECTIONS

Exemple :La fonction carrée est surjective deRsurR+

3.2 Surjectivité et composition

Théorème 2 :Soientfetgdeux applications,f:E→Fetg:F→G. •Sifetgsont surjectives alorsg◦fest surjective.

•Sig◦fest surjective alorsgest surjective

Remarque :Sig◦fest surjective alorsfrien du tout. Contre-exemple f:?

R-→R

x?-→ex,g:?

R-→R?+

x?-→x2?g◦f:?

R-→R?+

x?-→(ex)2=e2x g◦fest surjective de

RsurR?+maisfn"est pas surjective deRsurR, car par

exemple (-1) n"a pas d"antécédent.

Démonstration :

•gsurjective? ?z?G,?y?F,z=g(y)

fsurjective? ?y?F,?x?E,y=f(x)? ?z=g[f(x)]=g◦f(x) g◦fest surjective. •g◦fsurjective? ?z?G,?x?E,z=g[f(x)]? ?y=f(x)?F,z=g(y) gest surjective.

4 Bijections

4.1 Définition

Définition 10 :Soitfune application deEdansF.

fest bijective surFsifest injective et surjective. Tout élément deFpossède un et un seul antécédent dansE. ?y?F,?!x?E,y=f(x)

Remarque :

On a le diagramme sagittal suivant :

card(E) =card(F) x1 x 2 x 3 x 4y 1 y 2 y 3 y 4 EfF

PAUL MILAN7CPGE L1 -ALGÈBRE

4. BIJECTIONS

Exemples :

•La fonction cube est bijective surR.

•Application aux fonctions réelles.Soit une fonctionfstrictement croissante et continue sur[a,b].

-fest strictement croissante sur[a,b]doncfest injective sur[a,b], la fonction fest alors bijective sur Imf=f([a,b]) = [f(a),f(b)] -fest continue sur[a,b]doncfest surjective sur[f(a),f(b)] -fest injective et surjective doncfest bijective de[a,b]sur[f(a),f(b)] Voici démontré le théorème des valeurs intermédiaires!

4.2 Application réciproque

Théorème 3 :Si une applicationfest bijective deEsurF, alors il existe une unique application réciproque, notéf-1deFsurEtelle que : Si l"on peut trouver une application réciproquef-1à l"applicationfalorsfest bijective.

Remarque :

•L"idée d"une application réciproque est de pouvoir " revenir en arrière », c"est possible uniquement si l"application est bijective. •Dans le cas d"une bijectionfdéfinie d"une partie deRsur une partie deR, les courbesCfetCf-1sont symétriques par rapport à la 1rebissectrice d"équation y=xquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12