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Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris

Centres étrangers 2014 Enseignement spécifique Corrigé EXERCICE 1 1) réponse c) 2) réponse d) 3) réponse c) 4) réponse a) Explication 1 Notons F

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Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris

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Centres étrangers 2014 Enseignement spécifique EXERCICE 4 (5 points) ( candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité) Dans l'espace muni

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v = 2−→u Par suite, le vecteur −→ v est colinéaire à un vecteur normal au plan (ABC) et n'est pas nul On en déduit que le vecteur −→ v est un vecteur

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u soit un vecteur normal au plan (ABC) b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : x − 2y + z − 4=0 c) Le point D appartient-il au plan

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On note rn le module du nombre complexe zn : rn = zn Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points An d'affixes zn

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Centresétrangers201 4.Enseignementspécifique

EXERCICE3(7points)(c ommu nàtousl escandidats)

Lesparti esAetBsontindépend ant es

Uneima genumériqueenno iretblancestcomposéedepetits carrés(pix els)dontlacouleurvadublanc aunoiren

passantpartouteslesnua ncesdegr is.Chaquenuanceest codéepa runréelxdel afaçon suivante: •x=0pourlebla nc; •x=1pourlenoi r;

•x=0,01; x=0,02etai nsidesuitejusq u'àx=0,99parpasde0,01pourtoutes lesnuancesinterméd iaires

(duclai raufoncé).

L'imageA,ci-après,est composée dequatrepixelsetdonneu néchantillondecesnuancesavecleurscodes.

Unlo gicielderetouched'imageu tilised esfonctionsnumériquesdites"fon ctionsderetou ch e».

Unefon ctionfdéfiniesurl'in terval le[0;1]estdite"fonctionderetouche»siellepossèdelesquatrepropriétés

suivantes: •f(0)=0; •f(1)=1; •festconti nuesurl'intervalle[0;1]; •festcrois santesurl'intervalle[0;1]. Unenuan cecodéexestdite assombriepar lafonctionfsif(x)>x,etéclaircie,sif(x)Ainsi,sif(x)=x 2 ,unpixeldenuancecodée0,2prendralanuanceco dée0,2 2 =0,04.L'imageAseratransformée enl' imageBci-dessous.

Sif(x)=

x,lanuancecodée0,2prendralanuancec odée ci-dessous.

0,200,40

0,600,80

0,040,16

0,360,64

0,450,63

0,770,89

ImageAImageBIma geC

PartieA

1)Onco nsidèrelafonctionf

1 définiesurl'i nterva lle[0;1]par: f 1 (x)=4x 3 -6x 2 +3x. a)Démontrerquelafonctionf 1 estunef onctionder etouche. b)Résoudregraphiquement l'inéquationf 1 laco pie,enfaisantappa raîtrele spointillésutiles. Interprétercerésultatentermesd 'éclai rcissementoud'assombrissement.

2)Onco nsidèrelafonctionf

2 définiesurl'i nterva lle[0;1]par: f 2 (x)=ln [1+( e-1)x].

Onad metquef

2 estunef onctionder etouche. Ondé finitsurl'intervall e[0;1]lafo nctiongpar:g(x)=f 2 (x)-x. a)Établirque,pourtout xdel' intervalle[0;1]:g (x)= (e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

b)Déterminerlesvariationsdela fonctiongsurl'in tervalle[0;1].

Démontrerquelafonctiongadmetunmaximum en

e-2 e-1 ,maximumdontunevaleurarrondieau centièmeest0,12.

c)Établirquel'équatio ng(x)=0,05admetsurl'int ervalle[0;1]deuxsolut ionsαetβ,avecα<β.

Onad mettraque:0,08<α<0,09etqu e:0,85<β<0,86.

PartieB

Onre marquequ'unemodification denuancen'estperce ptiblevisuellementquesilavaleurabsoluede l'écar tentr ele

codedelan uancein itiale etlecodedelanuan cemodifiéeestsupérieureouégaleà0,05. http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.

1)Dansl'algo rithmedécritci-dessous,fdésigneunefonctionder eto uche.

Quelestler ôledeceta lgorit hme?

Variablesx(nuanceinitiale)

y(nuanceretouchée)

E(écart)

Initialisationcprendlavale ur0

TraitementPourkallantde0à100,faire

xprendlavale ur k 100
yprendlavale urf(x)

Eprendlaval eur|y-x|

SiE!0,05,faire

cprendlavale urc+1 Finsi

Finpour

Sortie:Afficherc

2)Quellevaleurafficheracetalgori thmesionl 'appliqueàlafonctionf

2 définiedansladeux ièmeque stion dela partieA?

PartieC

Danscette partie,ons'inté resseàdesfonctionsde retouc hefdontl'effetestd' éclaircir l'imagedanssaglobalité,

c'est-a-diretellesque,pourtoutréelxdel' intervalle[0;1],f(x)"x. Ondé cidedemesurerl'éc lairci ssementglobaldel'ima geencalculantl'aireA f dela portio ndeplancompriseentre

l'axedesabs cisses,lac ourbereprésentativedelafonct ionf,etlesdroitesd'équationsrespectivesx=0etx=1.

0.5 1.0

0.51.0

Entredeuxfonc tions,celleq uiaurapoure

ff etd'éc laircirleplusl'imageestcellecorrespondantàlapluspetiteaire.

Ondé sirecomparerl'e

ff etdesd euxfonct ionssuivante s,dontonadmetqu'ellessontdesfonctionsderetouche: f 1 (x)=xe (x 2 -1) f 2 (x)=4x-15+ 60
x+4

1)a) CalculerA

f1 b)CalculerA f2

2)Dece sdeuxfonc tions,laquel leapoureffetd'éc laircirleplusl' image?

http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

FEUILLESANNEXES

Annexe2,exercice 3

0,51 0,5 1 C f1 O http://www .maths-france.fr3c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. Centresétrangers201 4.Enseignementspécifique

EXERCICE3:corrigé

PartieA

1)a) •f

1 (0)=0etf 1 (1)=4-6+3=1. •Lafo nctionf 1 estconti nuesur[0,1]enta ntquefonction polynôme. •Lafo nctionf 1 estdériv ablesur[0,1]etpo urtoutxde[0,1], f 1 (x)=12x 2 -12x+3=3(4x 2 -4x+1)=3(2x-1) 2

Lafo nctionf

1 estpos itivesur[0,1]etd onclafonction f 1 estcrois santesur[0,1].

Onam ont réquelafonctionf

1 estunef onctionde retouche. b)Ré solutiongraphiquedel'inéquationf 1 (x)!x. 0,51 0,5 1 C f1 O

Enno tantquef

1 (0,5)=0 ,5,l'ensembledessolutionsdel'inéquationf 1 (x)!xest 1 2 ,1

Cecisignifi equelesgrisclairs(co désparunr éelxinférieurà0,5)sontassombrisetlesgrisfoncés(codésparunréel

xsupérieurà0,5)sontéclaircis.

2)a) Pourtoutxdel' intervalle[0;1],1+(e-1)x"1etenp art iculier,1+(e-1)x>0.Onendéduitquelafonction

gestdériv ablesur[0,1]etpo urtoutxde[0,1], g (x)= e-1

1+(e-1)x

-1= (e-1)-(1+( e-1)x)

1+(e-1)x

(e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

pourtoutré elxde[0,1],g (x)= (e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

b)Pourtoutré elde[0,1],1+(e-1)x>0.Donc,pourtoutréelxde[0,1],g (x)estdusi gnede(e-2)-(e-1)x. Or, (e-2)-(e-1)x>0⇔(e-2)>(e-1)x e-2 e-1 >x(care-1>0) ⇔x< e-2 e-1

Demê me,(e-2)-(e-1)x=0⇔x=

e-2 e-1 avec e-2 e-1 =0,418...Onno teque e-2 e-1 ∈[0,1].Deplus, http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. g e-2 e-1 =ln

1+(e-1)

e-2 e-1 e-2 e-1 =ln( e-1)- e-2 e-1 =0,12(arrondieaucentièm e). Onp eutdresserle tableaudevariationsd elafon ctiong. x0 e-2 e-1 1 f (x)+0-

0,12...

f 00 Onam ont réenparticulierqu elafon ctiongadmetunmaximum en e-2 e-1 ,maximumdontunevaleurarrondieau centièmeest0,12. c)Laf onctiongestconti nueetstrictementcroissant esu r 0, e-2 e-1 .Donc,pourtoutréelkde g(0),g e-2 e-1 [0;0,12...],l'équationg(x)=kadmetuneuniq uesolutiond ans 0, e-2 e-1 l'équationg(x)=0,05admetuneuniqu esolutionnot éeαdans 0, e-2 e-1 etmêm edans 0, e-2 e-1 Lafo nctiongestconti nueetstrictementdécroissan tes ur e-2 e-1 ,1 .Donc,pourtoutréelkde g(1),g e-2 e-1 [0;0,12...],l'équationg(x)=kadmetuneuniq uesolutiond ans e-2 e-1 ,1 l'équationg(x)=0,05admetuneuniq uesolutionn otéeβdans e-2 e-1 ,1 etmêm edans e-2 e-1 ,1

PartieB

1)L'algorithmeanalyseles101nuancesdegriscodée s0,0,01,0,02,...,0,99et1.Lecompteurcdénombreles

nuancesdegrisoùlam odifica tionserae ff ectivementperceptible.C'estce qu'affichel'algorit hme.

2)Onra ppelleque0,08<α<0,09etqu e0,85<β<0,86.Letableaudevariationsdelafonctiongétabliàla

question2)b)delaparti eAmontrequela modifi cation estperceptiblequandx∈[α,β].Donc,l'algorithmecompte

lesvaleu rs0,09,0,10,0,11,...,0,84,0,85.

Ilre vientaumêmedecompterl enomb red'entiersc ompris ausenslar geentre9et85.Ilya85entierscomprisau

senslargee ntre1et85et8entierscomprisausen slargeentre1et8.Ilyadonc85-8=77entierscomprisausen s largeentre9et85.

Sio nl'appli queàlafonctionf

2 ,l'algorithmea ffi chera77.

PartieC

1)a) Lafo nctionf

1 estconti nueetpositivesur[0,1].Donc A f1 1 0 xe x 2 -1 dx= 1 2 e x 2 -1 1 0 1 2 e 0 1 2 e -1 1 2 1- 1 e =0,32(arrondià10 -2 http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. 0.5 1.0

0.51.0

0 b)Lafo nctionf 2 estconti nueetpositivesur[0,1].Donc A f2 1 0

4x-15+

60
x+4 dx= 2x 2 -15x+60 ln(x+4) 1 0 =-13+60ln (5) -60ln(4) =-13+60 ln 5 4 =-13+60ln (1,25)=0 ,39(arrondià10 -2 0.5 1.0

0.51.0 2)Donc,lafoncti onf

1 estcelle quiéclaircit leplusl'i mage. http://www .maths-france.fr3c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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EXERCICE3(7points)(c ommu nàtousl escandidats)

Lesparti esAetBsontindépend ant es

Sif(x)=

0,200,40

0,600,80

0,040,16

0,360,64

0,450,63

0,770,89

ImageAImageBIma geC

PartieA

1)Onco nsidèrelafonctionf

2)Onco nsidèrelafonctionf

Onad metquef

1+(e-1)x

Démontrerquelafonctiongadmetunmaximum en

PartieB

1)Dansl'algo rithmedécritci-dessous,fdésigneunefonctionder eto uche.

Quelestler ôledeceta lgorit hme?

Variablesx(nuanceinitiale)

E(écart)

Initialisationcprendlavale ur0

TraitementPourkallantde0à100,faire

Eprendlaval eur|y-x|

SiE!0,05,faire

Finpour

Sortie:Afficherc

2)Quellevaleurafficheracetalgori thmesionl 'appliqueàlafonctionf

PartieC

0.51.0

Entredeuxfonc tions,celleq uiaurapoure

Ondé sirecomparerl'e

1)a) CalculerA

2)Dece sdeuxfonc tions,laquel leapoureffetd'éc laircirleplusl' image?

FEUILLESANNEXES

Annexe2,exercice 3

EXERCICE3:corrigé

PartieA

1)a) •f

Lafo nctionf

Onam ont réquelafonctionf

Enno tantquef

2)a) Pourtoutxdel' intervalle[0;1],1+(e-1)x"1etenp art iculier,1+(e-1)x>0.Onendéduitquelafonction

1+(e-1)x

1+(e-1)x

1+(e-1)x

1+(e-1)x

Demê me,(e-2)-(e-1)x=0⇔x=

1+(e-1)

0,12...

PartieB

1)L'algorithmeanalyseles101nuancesdegriscodée s0,0,01,0,02,...,0,99et1.Lecompteurcdénombreles

2)Onra ppelleque0,08<α<0,09etqu e0,85<β<0,86.Letableaudevariationsdelafonctiongétabliàla

Sio nl'appli queàlafonctionf

PartieC

1)a) Lafo nctionf

0.51.0

4x-15+

0.51.0

2)Donc,lafoncti onf