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La stratification de pression s'en trouve changée, le gradient de pression crée le mouvement Dans le cours nous avons jusqu'`a présent négligé toute variation de
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Convection Naturelle
4. "Convection Libre" ou "Convection Naturelle"
Resume
La "Convection Libre" (Free Convection), ou "Convection Naturelle" (Natural Convection;freie odernaturliche Konvektion;convezione naturale;convecc~ao natural) est le regime d'ecoulement obtenu lorsque
l'on chaue un uide sans qu'il n'y ait d'ecoulement "exterieur" impose. Cet ecoulement est inexpliquabledans le cadre precedent car aucun mouvement ne serait possible de par le decouplage entre les equations de
la dynamique et de la thermique. Pour lever ce paradoxe, on tient compte d'un phenomene que l'on avait
neglige : la legere dilatabilite du uide. C'est donc la force d'Archimede provoquee par les variations de densite induites par le chauage qui fait se deplacer le uide. La "thermique" et la "dynamique" sont alors tres fortement couplees.Nous allons donc discuter cette approximation dite "de Boussinesq" (1872) etetablir lesequations aerentes.
Nous introduirons le nombre sans dimension de la convection naturelle, le Grashof. Nous examinerons le pro-
bleme classique de l'ecoulement le long d'une plaque plane cree par son chauage. Puis nous dirons un mot
sur le probleme fondamental de Rayleigh Benard : le passage d'un regime de conduction a un regime deconvection lorsqu'un nombre sans dimension passe un certain seuil (il s'agit en fait d'une introduction a la
stabilite hydrodynamique).4.1. equations du probleme.
4.1.1. Variations de
A priorila densite est fonction de la temperature et de la pression par la loi d'etat (pour un gaz mais
aussi pour un liquide). Il est donc naturel de penser que si l'on chaue une paroi, la temperature du uideenvironnant augmente par diusion. La stratication de pression s'en trouve changee, le gradient de pression
cree le mouvement.Dans le cours nous avons jusqu'a present neglige toute variation de. Cela permettait de decoupler les equations :
la "thermique" ne retroagissait pas sur la "dynamique". Manifestement, le decouplage n'est plus valable ici
puisque c'est le chauage qui provoque le mouvement. On va donc permettre une variation de la densite avec le
chauage en supposant cependant que cette perturbation est petite. Il faut donc ici reintroduire une variation
deautour d'une position d'equilibre : le repos. En revanche la viscosite reste toujours constante.Figure1 { plaque, dans un champ de pesanteur, soumise a une temperature dierente de son environnement.
Il n'y a pas d'ecoulement impose.
Soit donc un
uide au repos et a la temperatureT1au loin, il est en presence d'une paroi chauee a la temperatureTp.Pour obtenir la dependance de, rappelons les coecients thermodynamiques classiques, respectivement le
coecient de dilatation a pression constante, le coecient d'augmentation de pression a volume constant, le
coecient de compressibilite a temperature constante : =1 @@T P ; =1p @p@T ; =1 @@p T Le developpement de Taylor de la densite au voisinage deT=T1, etp=P1: =1(1(TT1) +(pP1) +:::) Eau= 5:8104K1,=5.25 105Atm1. Air= 3:3104K1,=T1et=p1(pour un gaz parfait).Anticipons le fait que les variations de pression sont negligeables et ecrivons simplement quene depend que
deT(posons=(TpT1)) : =1(1"T+:::) - 4.1-Convection Naturelle
Nous reviendrons plus loin en4.1.5sur le bien fonde de cette hypothese compte tenu de l'ordre de grandeur
eectif des variations de pression.4.1.2. equation de continuite
L'equation de continuite
ddt +ru= 0;devient donc :1"dTdt
+1(1"T)ru= 0; au premier ordre en(en premiere approximation), le uide est incompressible :ru= 0;Retenons qu'en premiere approximation le uide est incompressible.4.1.3. equation de quantite de mouvement
Le tenseur des contraintes pour un
uide newtonien := -pI+(ru)I+ 2DAu vu du paragraphe precedent, et sachant queetsont du m^eme ordre de grandeur, on ecrira en premiere
approximation que le tenseur des contraintes n'est pas aecte par la compressibilite := -pI+ 2D Comme on etudie un ecoulement en presence de gravite, il est judicieux de poser : p=p01gz+ (p)p et donc de ne s'interesser qu'aux variations autour de la position d'equilibre hydrostatiqueLorsqu'il n'y a pas de mouvement (u= 0), les equations de quantite de mouvement deviennent suivant la
directionez (celle deg=gez @@z phyd1g= 0;la pression estphydtelle que :phyd=p01gz. Lorsqu'il y a mouvement, la projection suivantzfait appara^tre
(entre autres termes) : @@z pgque l'on reecrit(p)@@z p(1)g puisque (-1)=-1"T, il va rester une force de " ottabilite" (buoyancy force) dirigee vers le haut. Lavariation de la densite dans le produitdu=dtsera negligee (du=dt'1du=dt) puisque la vitesse est petite
et en supposant comme de coutume quevarie peu avec la temperature, l'equation dynamique s'ecrit : 1(@@t u+u ru) =(p)rp+1g"Tez +r2 u: L'ecoulement est produit par la force d'Archimede ("buoyancy force").4.1.4. equation de l'energie
Sonetablissement est un peu delicat, il passe par des transformations de la thermostatique et ces considerations
subtiles de compressibilite. C'est pour cela que nous sommes passes rapidement au chapitre sur les "Generalites,equations de la thermomecanique des
uides"On a par denition de la variation de l'energie interne par les apports de chaleurs de dissipation visqueuse,
de diusion thermique et de travail mecanique : dedt =:D rqsoitdedt =kr2T+(ru)
2pru+ 2(D:D):
- 4.2-Convection Naturelle
Or on ne peut pas utiliserde=cvdTcar le volume change lorsque l'on chaue (cfla remarque plus loin qui montre que l'on ne peut pas simplier en posantpru= 0 car dansdedt il y a un terme justement dum^eme ordre de grandeur). On va donc reecrire de maniere dierente cette equation, pour ce faire, rappelons
les relations de thermostatique bien connues (et valables en mecanique des uides de par l'hypothese de l'etat local, en fait on va retrouver la relation de MeyerCpCv=T(@P@T )V(@V@T )P) : On peut remarquer que par denition de=pI+eth=e+p=, l'equation de l'energie s'ecrit avec l'enthalpieh: ddt hddt (p=) =pru+:D rqou, commeddt (1=) =ru, le termeprudispara^t des deux membres et l'equation de l'energie ecrite en enthalpie est : ddt hddt p=:D rqOn va maintenant en fait developperdh=dt:Le premier principe :dedt
=:D rqLe second principe :Tdsdt =dedt+prud'ou l'equation generale du transfert thermique ecrite avec l'entropies(voir Landau & E. Lifshitz (1989)) :
T dsdt =kr2 T+ru2 + 2(D:D); cette ecriture nous montre bien que sans dissipation, l'entropie est constante.Revenons a la thermostatique pour ecriresen fonction des variations deTetp, par denition de la fonction
d'etats(p;T) : (variables naturelless(e;1=)) ds= (@s@p )Tdp+ (@s@T )pdT on a besoin des deriveees partielles des(ce sont les relations de Maxwell), or, sachant : dh=de+d(p=) = (Tdspd(1) +d(p=)) =Tds+1dp on en deduitTds=1dp+ (dh=dT)dTT(@s@T
)P= (@h@T )p=cpetdg=dhd(Ts) =sdT+1dp donc commesest une dierentielle totale exacte (@s@p )T= (@1@T )p d'ou l'expression de la dierentielledsen fonction dedTetdpTds=cpdT+T
(@@T )pdp:Et nalement, on obtient l'equation
c pddt T+T (@@T )pddt p=kr2T+(ru)
2+ 2(D:D)
au passage on a etabli l'identite ddt hddt p=cpddt T+T (@@T )pddt p:On peut maintenant simplier ces equations exactes. En eet on a fait appara^tre les termes faibles, on peut
maintenant negliger T (@@T )p=Tainsi queruet obtenir l'equation nale utile : c pddt T=kr2 T+ 2(D:D):L'equation de la chaleur s'ecrit bien aveccp. - 4.3-Convection Naturelle
4.1.5. Remarques
* Reprenons l'expression complete du developpement de Taylor de la densite avec la temperature et le pression :
au voisinage deT=T1, etp=P1: =1(1(TT1) +(pP1) +:::) la temperature a ete examinee, voyons la variation de pression =1(1"T+((p)p1gz)) +::: or le terme de variation de pression est nous nous en doutons : (p)1Lgou aussi (p)1U20. On a, si on estime (p)1Lg: (p) =(Lg)<< carP11pour un gaz, dans le cas d'un liquide la compressibilite est eectivement tres faible. Si on prefere l'autre estimation de pression (p)1U20, comme par ailleurs que la vitesse du son est @p@ s =c2 on voit donc que (la derivee asconstant etant supposee proche de celle aTconstant) (p) =O(1U20 1c2) qui est le nombre de Mach (U0=c) au carre, ce terme est donc petit. * Si on dit :cvddt T=kr2 T+0+2(D:D);on commet une erreur : en eet on acpcv=r. Le terme neglige -pruest d'ordre de grandeur -p1u1(TpT1)=L, maisT11(car@=@T==T) donc : p1u1(TpT1)=L=O(r1(u1=L)):OrcvTest lui aussi d'ordreO(r1(u1=L)):On a donc bien neglige
un terme du m^eme ordre de grandeur que les autres. * dans l'equation de la chaleur : ddt cpT=kr2T+ 2(D:D)
le terme 2(D:D) sera encore negligeable dans la plupart des cas.* attention rappelons que nous supposons que la dependance des coecients de transport est negligeable en
temperature. S'il n'y a pas de gravite, on pourrait imaginer que le mouvement est cree par la variation de
avec la temperature, le resultat est tres tres petit. Si (p) =O();alorsu= 0((p)1=2), la vitesse est donc tres
faible si la viscosite est elle m^eme faible. * on evitera de confondreaveca=k=(cp), (etPr==a) qui est parfois notedans la communaute ther- micienne (d'ailleurs lecoecient thermodynamique est souvent note,est la notation internationale.)* L'approximation date de 1901 est dans son livre "Theorie analytique de la Chaleur". La formule, qui n'est pas
encore de "Boussinesq" est introduite par la phrase en page VII de l'avertissement : "il fallait encore observer
que, dans la plupart des mouvements provoques par la chaleur sur nos uides pesants, les volumes ou les densitesse conservent a tres peu pres, quoique la variation correspondante dupoidsde l'unite de volume soit justement
la cause des phenomenes qu'il s'agit d'analyser. De la resulte la possibilite de negliger les variations de la
densite, la ou elles ne sont pas multipliees par la graviteg, tout en conservant, dans les calculs, leur produit
par celle-ci. Gr^ace aux simplications alors obtenues, la question, encore tres dicile et presque toujours rebelle
a l'integration n'est plus inabordable" . Page 174/175, la formule est dite ainsi : "Et le poidsgde l'unite de
volume (..) aura decru sensiblement deg, comme s'il etait adjoint, au poids primitif ou normal de l'unite de
volume, la petite force antagoniste, c'est a direascensionnelle,g. - 4.4-Convection Naturelle
4.1.6. Resume : equations nales
Compte tenu de l'hypothese de Boussinesq :=1(1-(TT1)),constant et de l'elimination dela pression hydrostatique, on obtient le systeme couple suivant regissant les ecoulements de convection libre
laminaire :8>>>><
>>>:ru= 0 1(@@t u+u ru) =(p)rp+1g"Tez +r2 u;1cp(@@t
+u r)T=kr2T+ 2(D:D);
plus les conditions aux limites d'adherence pour la vitesse, et de temperature : uj w= 0;puis (Tjw=Tpouk@nTjw=qpouh@nTjw+ (TjwTp) = 0:)4.2. Analyse phenomenologique sommaire des equations
4.2.1. Le systeme
Nous connaissons la temperature du corps, et soitLsa dimension caracteristique. La jauge de la vitesse est
inconnuea priori, adimensionnons : u=U0u; T=T1+ (TpT1)T; x=Lx; y=Ly::: et enlevons les barres (on est maintenant sans dimension) : ru= 0 (ur)u=p1U20rp+Lg(TpT1)U
20Tez +U 0Lr2 u: (ur)T=k1cpU0Lr2
T+ 2U0c
pL(TpT1)(D:D) Bien entenduU0est inconnu. Nous allons voir que plusieurs points de vue sont possibles.4.2.2. Une possibilite
Il est clair que le terme
Lg(TpT1)U
20est indispensable pour coupler thermique et dynamique. S'il existe un
ecoulement impose supplementaire de vitesseU1, on utilise cette vitesse comme jauge, le nombre precedent est
le nombre de Richardson :Ri=g(TpT1)LU
21Il s'agit du probleme fort delicat de la convection mixte... En fait siU1= 0,u vetwsont mesures avec un
U0inconnu pour l'instant. La perturbation de temperature est mesuree par T. Si on chaue la diusion est le
mecanisme qui transmet la temperature, donc : k1cpU0L= 1;doncU0=PrL
serait un bon choix (on rapelle quePr=O(1)). On prefere generalement prendre (de maniere equivalente, au
lieu d'avoir un Peclet unite, c'est le Reynolds qui vaut 1)U0=L . On a (p)=1U20. Le terme moteur qui faitchanger la vitesse est -Tgle frein estL2U0. Il appara^t donc le nombre sans dimension suivant en facteur
du terme moteur :TgL=(U20) =gTL3
2=G: - 4.5-Convection Naturelle
C'est le nombre de GrashofG. Si on avait garde pour la vitesse=(PrL) on aurait introduit ,Bo=gTPr2L3
2; le nombre de Boussinesq. Les equations, sans dimension et en supposant que ( U0c pLT) est tres petit (ce qui est souvent le cas mais qui meriterait une plus ample discussion), deviennent : ru= 0 (ur)u=rp+GTez +r2 u: (ur)T=Pr1r2 T On remarque qu'il existe donc une longueurL= [gT]1=3telle que le probleme est complet (G= 1).Ce point de vue est en fait assez adapte au cas ou on chaue de plus en plus un corps, partant de l'ecoulement
de repos. On voit en eet que si le nombreGaugmente, le terme source devient de plus en plus grand, et provoque
le mouvement (c.f.le probleme de Rayleigh Benard en n de chapitre, on remarquera dans ce cas qu'il est alors
plus judicieux d'utiliser le nombre de RayleighRa=gPrL32(mais la demarche est completement equivalente).
4.2.3. Une autre possibilite
Une maniere dierente aurait ete de poser que le termeLg(TpT1)U
20qui est indispensable pour coupler
thermique et dynamique est egal a 1. Ce point de vue est plus adpate au cas ou on observe un ecoulement etabli
(car c'est le terme moteur). Les equations sans dimension seraient alors devenues : ru= 0 (ur)u=rp+Tez +G1=2r2 u: (ur)T=Pr1G1=2r2 TCette derniere forme est plus adaptee au point de vue couche limite. Nous allons l'examiner maintenant
4.3. Exemples de couche limite laminaire sur un plan
4.3.1. Cas vertical, temperature imposee
On se donne un plan vertical, semi inni, porte a une temperature dierente de Tde la valeur loin a l'inni... C'est le probleme du radiateur. Les equations precedentes nous montrent qu'a grand nombre de Grashof : ru= 0;(ur)u=rp+Tez ;et (ur)T= 0;le mouvement ne se produit pas : la paroi est une couche singuliere. On voit directement que les termes a
recuperer etant enG1=2r2 () la couche limite sera en (G1=2)1=2=G1=4. Plut^ot que d'adopter cette demarche, nous reanalysons le probleme. - 4.6-