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Ainsi, l'étude de la concavité et de convexité de ces fonctions repose pleinement sur la détermination de la matrice Hessienne Par ailleurs, ce chapitre se veut

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On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme quadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des

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1Concavit´e et convexit´e des fonctions de

plusieurs variables

Samir Kenouche - D

´epartement des Sciences de la Mati`ere - UMKB

Module : M

´ethodes Math´ematiques et Algorithmes pour la Physique

Version corrig

´ee, am´elior´ee et actualis´ee le 10/10/2020 R

´esum´e

Ce chapitre d´ebute par un bref rappel sur des notions ´el´ementaires portant notamment sur la ca-

ract´erisation de la convexit´e, de la concavit´e ainsi que les points stationnaires. Ces notions fondamentales sont

indispensables et n´ecessaires afin d"appr´ehender le fonctionnement et le fondement des algorithmes d"optimi-

sation trait´es dans le deuxi`eme chapitre. Les probl`emes rencontr´es en physique, sont tr`es souvent complexes

n´ecessitant des mod`eles math´ematiques multidimensionnels, il est donc fr´equent de recourir `a des fonctions

de plusieurs variables. Ainsi, l"´etude de la concavit´e et de convexit´e de ces fonctions repose pleinement sur la

d´etermination de la matriceHessienne. Par ailleurs, ce chapitre se veut avant tout introductif afin de tester

et de consolider les connaissances math´ematiques des ´etudiants (es).

Table des mati`eres

I Introduction1

II Notations diff´erentielles1

IIIConvexit´e et concavit´e2

III-AG´en´eralisation aux fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

III-BD´efinition du point-selle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.IntroductionL

"optimisation num´erique de probl`emes complexes, issus de la physique, a connu un essor consid´erable

ces derni`eres ann´ees grˆace notamment au d´eveloppement de l"informatique et des moyens de calcul tr`es

puissants. Une op´eration d"optimisation se pr´esente syst´ematiquement comme l"ultime ´etape apr`es avoir mis en

´equation ou mod´eliser le probl`eme physique en question. Nous comprenons ainsi ais´ement que la compr´ehension

du formalisme inh´erent `a la d´etermination ainsi qu"`a l"analyse des points critiques (encore appel´es points

stationnaires) est une ´etape cruciale et indispensable afin de mener `a bien cette op´eration d"optimisation.

Il convient de pr´eciser que ce premier chapitre se veut introductif pour le deuxi`eme, dans lequel une ´etude

avanc´ee et d´etaill´ee des algorithmes d"optimisation sera conduite.

II.Notations diff´erentielles

Nous entamons ces notes de cours en rappelant succinctement la notion de la d´eriv´ee. Cette quantit´e

math´ematique joue un rˆole central dans la d´efinition et la d´etermination des points stationnaires. Soit la

fonction continue d"une seule variablef: [a,b]?R-→R. On d´efinit sa fonction d´eriv´ee par l"expression :

df(x)dx =?Δf(x)Δx? Δx≈0= limΔx→0f(x+ Δx)-f(x)Δx=f?(x) (1)

S. Kenouche est docteur en Physique de l"Universit´e des Sciences et Techniques de Montpellier et docteur en Chimie de

l"Universit´e A. Mira de B´ejaia page web personnelle : h ttp://www.sites.univ-biskra.dz/kenouche 1

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La variation totale absolue defengendr´ee par un accroissement dex+Δxs"´ecrit Δf=f(x+Δx)-f(x).

Par cons´equent, la variation totale relative est la quantit´e :

Δf(x)Δx(2)

Rappelons que pour une variation infinit´esimale (Δx-→0), nous pouvons ´ecrire :

Δx-→dx

Δf-→df

Ayant un pointx0appartenant `a l"intervalle de d´efinition def, le nombref?(x0) exprime la pente, au point

(x0,f(x0)), de la droite tangente `a la courbey=f(x). En effet, le rapport : f ?(x0) = limΔx→0f(x0+ Δx)-f(x0)Δx(3)

vaut la pente de la droite passant par les points (x0,f(x0)) et (x0+ Δx,f(x0+ Δx)). Cette pente exprime

le taux de changement def(x) caus´e par la variation Δx. Il en ressort que l"´equation de la droite tangente `a

la courbey=fT(x) au point (x0,y0) s"´ecrit simplement : y-y0=f?(x0)(x-x0) =?fT(x) =y0+f?(x0)(x-x0) (4)

Cette approximation est d"autant plus vraie que Δx-→0. Lorsque la limite de l"Eq. (3) existe, on dira que

fest d´erivable enx0. Dans le cas o`u la fonctionfest d´erivable pour toutx?[a,b]?R, on dira qu"elle est

d´erivable sur [a,b]?Ret on aura par cons´equent la fonctionf?(x). Cette derni`ere peut ´egalement ˆetre d´erivable

et on auraf??(x) ... etc. Notons que la notion de lad´eriv´ee directionnellesera d´efinie dans le prochain chapitre.

Pour une fonction de deux variablesf(x,y)?R, lorsque les deux variables sont modifi´ees dex+ Δxet

y+ Δy, la variation totale defs"obtient selon :

Δf=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) (5)

En d´eveloppant le premier terme du second membre ens´eries de Taylor, il vient : f(x+dx,y+dy) =f(x,y) +∂f(x,y)∂x dx+∂f(x,y)∂y dy+O(dx2,dy2) (6)

En substituant (6) dans (5), nous obtenons :

Δf=∂f(x,y)∂x

dx+∂f(x,y)∂y dy(7)

La variation totale de la fonctionf(x,y) s"´ecrit ainsi en fonction des variations partielles defpar rapport

aux deux variables.

III.Convexit´e et concavit´e

Nous rappelons que la d´eriv´ee traduit les variations, croissance (f?(x)>0) et d´ecroissance (f?(x)<0), d"une

fonction. Une d´eriv´ee nulle, en un pointx0, est caract´eris´ee par une tangente horizontale et donc la fonction

admet un point stationnaire : un minimum, un maximum ou un point selle. Cette condition est n´ecessaire pour

l"existence d"un extremum, mais elle n"est pas suffisante. A titre d"exemple, la fonctionf(x) =x3n"admet pas

d"extremum local enx0= 0 bien que sa d´eriv´eef?(x) = 3x2s"y annule, ce point estsingulier.

Chapitre

1Concavit´e et convexit´e des fonctions de plusieurs variables2

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D´efinition 1: La courbe def(x)est diteconvexesi tous les points de la courbey=f(x)se trouvant au dessous de la tangente

1en un point quelconque de l"intervalle de d´efinition de la fonction, autrement dit :

?x?[a,b]f(x)< fT(x). Cette condition est satisfaite sif??(x)<0. D´efinition 1": La courbe def(x)est diteconcavesi tous les points de la courbey=f(x)se trouvant

au dessus de la tangente en un point quelconque de l"intervalle de d´efinition de la fonction, autrement dit :

?x?[a,b]f(x)> fT(x). Cette condition est satisfaite sif??(x)>0.

Ces r´esultats se d´emontrent ais´ement en d´eveloppant la fonctionfen s´erie deTaylorau voisinage du point

critiquex0, soit : f(x0+δx) =f(x0) +f?(x0)δx+f??(x0)δx2+?(δx3) (8) Avecx0est un point critique par cons´equentf?(x0) = 0, il vient : ?Δf=f??(x0)δx2+?(δx3) (9)

Ainsi la nature du point critique est d´etermin´ee par le signe def??(x0). Sif??(x0)>0?Δf >0 alors

f(x0+δx)> f(x0). Nous en d´eduisons que la fonctionfprend des valeurs sup´erieures au voisinage (x0+δx)

alors il s"agit n´ecessairement d"un minimum. Nous concluons pour les fonctions d"une seule variable, les

conditionsf?(x0) = 0 etf??(x0)>0 sont suffisantes pour que la fonctionf(x) admette un minimum local

(concavit´e). Les conditionsf?(x0) = 0 etf??(x0)<0 prouvent l"existence d"un maximum local (convexit´e).

Propri´et´es: Six0est un optimum local alors c"est un optimum global. Ainsi, le plus petit des minima locaux

est un minimum global. De la mˆeme fa¸con, le plus grand des maxima locaux est un maximum global.

A.G´en´eralisation aux fonctions de plusieurs variables

R´e´ecrivons les r´esultats obtenus pour le cas monodimensionnel au cas multidimensionnel. Soitfune fonction

de classeC2([D ?Rn]). La d´etermination de la nature des extremums sera conduite en analysant la s´erie de

Taylorg´en´eralis´ee au cas des fonctions de plusieurs variables. Afin de simplifier le formalisme, prenonsn= 2

et travaillons avecX?R2etf(X)?R. a)Th´eor`eme: SoitX?= (x0,y0)T?R2un point critique def(X)? ?f(X?) = 0. Nous posons

D= (δa,δb)T, c"est l"accroissement infinit´esimal defalors?η >0tel que pour tous(δa,δb)T? D ?R2

v´erifiant?(δa,δb)T?2< η, nous avons : f(X+D) =∞? n=0(D· ?)nf(X)n!(10)

Autrement dit, trouver la nature d"un point critique (maximum, minimum, selle, singulier) revient `a ´etudier

localement le comportementde la fonctionfdans son voisinage?(δa,δb)T?2< η, c"est-`a-dire :x0+δa?

[x0-η , x0+η] ety0+δb?[y0-η , y0+η]. Tenant compte de (10), la s´erie deTaylorau voisinage du point

critique (x0+δa,y0+δb)Tse d´eveloppe comme suit : f(x0+δa,y0+δb) =f(x0,y0) +(D· ?)f(X)1! f(x0,y0) +(D· ?)2f(X)2! f(x0,y0) +······ (D· ?)pf(X)p!f(x0,y0) +······+(D· ?)(n+1)f(X)(n+ 1)!f(x0,y0)

1. Nous rappelons que l"´equation de la tangente au pointx0vaut :fT(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0)????

δx.

Chapitre

1Concavit´e et convexit´e des fonctions de plusieurs variables3

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Tronquons la s´erie deTaylor`a l"ordre deux, il vient : f(x0+δa,y0+δb) =f(x0,y0) +(D· ?)f(X)1! f(x0,y0) +(D· ?)2f(X)2! f(x0,y0) +?(δa3,δb3) (11)

Avec?=?∂∂x

,∂∂y

est l"op´erateur diff´erentiel. Calculons les termes lin´eaire et quadratique de la s´erie (11) :

(D· ?)f=? (δa,δb)·?∂∂x ,∂∂y f(12)

δa∂f∂x

+δb∂f∂y (13) (14)

De fa¸con analogue pour l"ordre quadratique,

(D· ?)2f=? (δa,δb)·?∂∂x ,∂∂y 2 f(15)

δa∂f∂x

+δb∂f∂y 2 (16) =δa2∂2f∂x

2+ +2δaδb∂2f∂x∂y

+δb2∂2f∂y 2(17) (18) Substituons (14) et (18) dans la s´erie (11), nous obtenons : f(x0+δa,y0+δb) =f(x0,y0) +?

δa∂f∂x

+δb∂f∂y +12 δa

2∂2f∂x

2+ 2δaδb∂2f∂x∂y

+δb2∂2f∂y 2? +?(δa3,δb3) (19) ?Δf=?

δa∂f∂x

+δb∂f∂y +12 δa

2∂2f∂x

2+ 2δaδb∂2f∂x∂y

+δb2∂2f∂y 2? +?(δa3,δb3) (20) Le vecteurX?= (x0,y0)T´etant un point critique alors : ∂f(x0,y0)∂x =∂f(x0,y0)∂yquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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´esum´e

Table des mati`eres

I Introduction1

II Notations diff´erentielles1

IIIConvexit´e et concavit´e2

I.IntroductionL

II.Notations diff´erentielles

Δf(x)Δx(2)

Δx-→dx

Δf-→df

Δf=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) (5)

En substituant (6) dans (5), nous obtenons :

Δf=∂f(x,y)∂x

III.Convexit´e et concavit´e

Chapitre

1Concavit´e et convexit´e des fonctions de plusieurs variables2

1en un point quelconque de l"intervalle de d´efinition de la fonction, autrement dit :

1. Nous rappelons que l"´equation de la tangente au pointx0vaut :fT(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0)????

δx.

Chapitre

1Concavit´e et convexit´e des fonctions de plusieurs variables3

Avec?=?∂∂x

δa∂f∂x

De fa¸con analogue pour l"ordre quadratique,

δa∂f∂x

2+ +2δaδb∂2f∂x∂y

δa∂f∂x

2∂2f∂x

2+ 2δaδb∂2f∂x∂y

δa∂f∂x

2∂2f∂x

2+ 2δaδb∂2f∂x∂y