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DIRO

IFT 6150

TRAITEMENT D"IMAGES

BINARISATION ET MORPHOLOGIE

MATHÉMATIQUE

Max Mignotte

Département d"Informatique et de Recherche Opérationnelle. Http : //www.iro.umontreal.ca/≂mignotte/ift6150

E-mail : mignotte@iro.umontreal.ca

BINARISATION ET MORPHOLOGIEMATHÉMATIQUE

SOMMAIRE

Seuillage

Seuillage par Inspection . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 2 Seuillage Optimale . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 4 Seuillage Locale . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 7 Seuillage & Filtrage . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. 9

Morphologie Mathématique

Théorie des Ensembles .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 10 Translation . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 11 Dilatation .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 12 Érosion . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 15 Détection des Contours . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . 17 Estimation de Squelette . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . 18 Remplissage . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 19 Détection . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 20 Ouverture . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 21 Fermeture . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 22 Propriétés de l"Ouverture/Fermeture . .. . . .. . 23 Filtrage Morphologique . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 24 Autres Applications .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 25 Morphologie en Niveaux de Gris .. . . .. . . .. . . . 26 Exemples . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 27 1

BINARISATION

SEUILLAGE PAR INSPECTION (1)

Seuillage par inspection de l"histogramme

2

BINARISATION

SEUILLAGE PAR INSPECTION (2)

Seuillage par inspection de l"histogramme

3

BINARISATION

SEUILLAGE OPTIMAL (1)

Seuillage optimal

Soit deux régions (arrière-plan et objet)

présent dans une image La probabilitéP(z)d"avoir une valeur de niveau de gris z(z?[0,255]par ex.) dans l"image est donnée par p(z) =P1p1(z) +P2p2(z) Pi: prop. de pixels appartenant à la régioni(P1+P2=1) p(z): Histogramme de l"image p i(z): proba. d"un pixel?régionid"avoir un ng=z Si nous supposons quep1(z)etp2(z)sont distribués selon une loi normale, nous obtenons p

1(z) =1

⎷2πσ1exp? -(z-μ1)22σ21? p

2(z) =1

⎷2πσ2exp? -(z-μ2)22σ22? 4

BINARISATION

SEUILLAGE OPTIMAL (2)

p(z)devient alors p(z) =P11 ⎷2πσ1exp? -(z-μ1)22σ21? +P21⎷2πσ2exp? -(z-μ2)22σ22? SoitE1, la probabilité de classer un pixel dans la classe1 lorsqu"il appartient à la classe2etE2, la proba. de clas- ser un pixel dans la classe2lorsque celui-ci appartient

à la classe1.

Les probabilités d"erreur sont données par

E

1(T) =?

T p

2(z)dzetE2(T) =?

T p

1(z)dz

La probabilité d"erreur totale est alors donnée par

E(T) =P2E1(T) +P1E2(T)

Cherchons une valeur deTqui minimiseE(T)

E ?(T) =-P1p1(T) +P2p2(T) = 0 P

1p1(T) =P2p2(T)

5

BINARISATION

SEUILLAGE OPTIMAL (3)

Après simplification, nous obtenons une expression de la forme AT

2+BT+C= 0

Avec

A=σ21-σ22

B= 2(μ1σ22-μ2σ21)

C=μ22σ21-μ21σ22+ 2σ21σ22ln?σ2P1

σ1P2?

•Lorsque les variances sont égales

21=σ22=σ2

T=μ1+μ2

2+σ2μ1-μ2ln?P2P1?

•Lorsque les variances et les proportions sont égales P 1=P2

T=μ1+μ2

2 6

BINARISATION

SEUILLAGE LOCALE (1)

7

BINARISATION

SEUILLAGE LOCALE (2)

8

BINARISATION

SEUILLAGE & FILTRAGE

Le bruit complique la sélection d"un seuil

?Filtrage passe-bas 9

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

THÉORIE DES ENSEMBLES

?Traitement d"image basé sur la théorie des ensembles

Quelques images binaires

A,B=Ens. des pixels=Ens. des coordonnées

A?B={x|x?Aoux?B}Union

A∩B={x|x?Aetx?B}Intersection

A

C={x|x??A}Complément

A-B={x|x?A,x??B}Différence

(A)C={x|x=a+c, a?A}Translation

A={x| -x?A}Inversion

10

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

TRANSLATION

Translation

11

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

DILATATION (1)

Dilatation

B : Élément structurant

12

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

DILATATION (2)

13

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

DILATATION (3)

Propriétés de la dilatation

Érosion

14

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

ÉROSION (2)

15

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

ÉROSION (3)

Propriétés de l"érosion

16

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

DÉTECTION DE CONTOURS

17

MORPHOLOGIE MATHÉMATIQUE

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